高考重庆卷理科数学试题及详细答案.doc

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2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（理工农医类）
数学试题（理工农医类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂共他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字后，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A、B互斥，那么．
如果事件A、B相互独立，那么．
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
．
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的．
（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（CUA）∪（CUB）=
（A）{1，6} （B）{4，5}
（C）{2，3，4，5，7} （D）{1，2，3，6，7}
（2）在等差数列{a n}中，若a4+ a6=12，Sn是数列{a n}的前n项和，则S9的值为
（A）48 （B）54 （C）60 （D）66
（3）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为
（A）y =－3x 或 （B）y = 3x 或
（C）y =－3x或 （D）y = 3x 或

（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l
（A）平行 （B）相交
（C）垂直 （D）互为异面直线
（5）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为
（A）－540 （B）－162
（C）162 （D）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是
（A）20 （B）30
（C）40 （D）50
（7）与向量的夹角相等, 且模为1的向量是

（A） （B）或

（C） （D）或

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配
方案有

（A）30种 （B）90种
⌒
（C）180种 （D）270种
⌒
（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为表示弧AB 与弦AB所围

成的弓形面积的2倍，则函数的图象是

（10）若a, b, c > 0且,则的最小值为
（A） （B）

（C） （D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．
1 + 2i
3 + i3
（11）复数 的值是_______．

（12）_______．

（13）已知_______．

（14）在数列中, 若（n≥1）, 则该数列的通项_______．
（15）设函数有最大值, 则不等式的解集为_______．
（16）已知变量满足约束条件,, 若目标函数（其中）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）(本小题满分13分)
设函数ωx + sinωxcosωx + a（其中ω> 0, a∈R）, 且的图象在y
轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果在区间上的最小值为, 求a的值．

（18）(本小题满分13分)
某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5
位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为, 用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；

（Ⅱ）随机变量的期望．

（19）(本小题满分13分)
如图, 在四棱锥中, 底面ABCD,
为直角, E、F分
别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：平面BEF；
（Ⅱ）设, 且二面角的平面角大于30°, 求k的取值范围．
（20）(本小题满分13分)
已知函数, 其中为常数．

（Ⅰ）若, 讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若, 且 试证：．

（21）(本小题满分12分)
已知定义域为R的函数满足．
（Ⅰ）若, 求； 又若；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数, 使得,求函数的解析表达式．

（22）(本小题满分12分)
已知一列椭圆
, n = 1, 2, …, 若椭圆Cn上有一点
Pn, 使Pn到右准线ln的距离dn是| Pn Fn |与
| Pn Gn |的等差中项, 其中Fn、Gn分别是Cn
的左、右焦点．
（Ⅰ）试证： （n≥1）；
（Ⅱ）取,并用Sn表示△PnFnGn的面积,试证： （n≥3）．

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）答案

一、选择题：每小题5分，满分50分.
（1）D （2）B （3）A （4）C （5）A （6）C
（7）B （8）B （9）D （10）D
二、填空题：每小题4分，满分24分.
（11） （12） （13）
（14） （15）（2，3） （16）a>1
三、解答题：满分76分.
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）

依题意得
解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又当时，
故，
从而上取得最小值
因此，由题设知.
（18分）（本小题满分13分）
解法一：（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，5.
由等可能性事件的概率公式得

从而ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P

（Ⅱ）由（Ⅰ）得ξ的期望为

解法二：（Ⅰ）考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验.
故即

由此计算ξ的分布列如解法一.
（Ⅱ）
解法三：（Ⅰ）同解法一或解法二
（Ⅱ）由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等.
即 从而
（19）（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）证：由已知且∠DAB为直角，故ABFD是矩形，从而CD⊥BF.
又PA⊥底面ABCD, CD⊥AD, 故由三垂线定理知CD⊥PD. 在△PDC中, E、F分
别为PC、CD的中点，故EF//PD，从而CD⊥EF，由此得CD⊥面BEF.

（Ⅱ）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接
EG，则在△PAC中易知EG//PA，又因
PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底
面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连接
EH，由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为
二面角E—BD—C的平面角.
设AB=A，则在△PAC中，有

以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2），连结GD，

因
故
在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得
而，从而得

因此
由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，必须

解之得，k的取值范围为
解法二：
（Ⅰ）如图，以A为原点, AB所在直线为x轴, AD所在直线为y轴, AP所在直线为z轴建立
空间直角坐标系，设AB=a，则易知点A，B，C，D，F的坐标分别为
A（0，0，0），B（a，0，0），C（2a，2a，0），
D（0，2a，0），F（a，2a，0）

从而，

设PA=B，则P（0，0，b），而E为PC中点，故
. 从而

由此得CD⊥面BEF.
（Ⅱ）设E在xOy平面上的投影为G, 过G作为GH⊥BD垂足为H, 由三垂线定理知EH⊥BD.
从而∠EHG为二面角E—BD—C的平面角.
由.
设，则，
由，即
①
又因，且的方向相同，故，即
②
由①②解得. 从而.

由k>0知∠EHG是锐角，由∠EHG>30°，得，即
故k的取值范围为
（20）（本小题13分）
解：（Ⅰ）求导得
因有两根；

令；
又令，
故当是增函数；当是增函数；但
当是减函数.
（Ⅱ）易知，因此

所以，由已知条件得

因此
解得.
（21）（本小题12分）
解：（Ⅰ）因为对任意，所以

又由，得
若
（Ⅱ）因为对任意，
又因为有且只有一个实数
所以对任意，
在上式中令
又因为
若，即

但方程有两个不同实根，与题设条件矛盾，故
若=1, 则有易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为

（22）（本小题12分）
证：（Ⅰ）由题设及椭圆的几何性质有

.
设，则右准线方程为

因此，由题意d应满足

即
即
从而对任意
（Ⅱ）设点Pn的坐标为及椭圆方程易知

因的面积为，从而

令，由

得两根 从而易知函数内是增函数，而在
内是减函数.
现在由题设取是增数列，又易知
，
故由前已证，知S1<S2，且.

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