2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷(理科)(解析新版)-(1).doc

2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，则（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x12若，是第三象限的角，则=（）ABCD3复数=（）A0B2C2iD2i4已知xR，命题“若x20，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D35由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积是（）AB1CD6某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）AB9+3C18D12+37设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD8已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D329已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），则实数t的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）10已知双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）ABCD11函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD12在平行四边形ABCD中， =0，沿BD将四边形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，则三棱锥ABCD的外接球的半径为（）A1BCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13根据如图所示的程序语句，若输入的值为3，则输出的y值为_14观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a11+b11=_15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），则该问题中圆周率的取值为_16ABC中，点D是边BC上的一点，B=DAC=，BD=2，AD=2，则CD的长为_三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和Sn满足Sn=（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=an3an（nN+），求数列bn的前n项和Tn18调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限x（万元）23578年推销金额y（万元）33.546.58（）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（）利用（）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额附： =， =19长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P为A1B1中点，M，N，Q分别为棱AB，AA1，CC1上的点，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求证：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值20平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F是椭圆C1的右焦点（）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若=2，求直线l的方程21已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）g（x）对任意的x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：ln2ln3lnn（n2，nN+）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E（）证明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值选修4-5：不等式选讲24已知a，b为实数（）若a0，b0，求证：（a+b+）（a2+）9；（）若|a|1，|b|1，求证：|1ab|ab|2016年黑龙江省哈尔滨师大附中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=R，M=x|y=ln（1x），N=x|2x（x2）1，则（UM）N=（）Ax|x1Bx|1x2Cx|0x1Dx|0x1【考点】指数函数单调性的应用；交、并、补集的混合运算；函数的定义域及其求法【分析】先化简集合A、B，再求出CUM，从而可求交集【解答】解：M=x|y=ln（1x）=（，1），N=x|2x（x2）1=（0，2），全集U=R，CUM=1，+）（CUM）N=1，+）（0，2）=1，2）故选B2若，是第三象限的角，则=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系【分析】根据的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案【解答】解：是第三象限的角sin=，所以sin（+）=sincos+cossin=故选A3复数=（）A0B2C2iD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】直接通分，然后化简为a+bi（a、bR）的形式即可【解答】解：=i+i=2i故选D4已知xR，命题“若x20，则x0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】四种命题间的逆否关系【分析】根据四种命题之间的关系，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断真假【解答】解：命题“若x20，则x0”的逆命题是“若x0，则x20”，是真命题；否命题是“若x20，则x0”，是真命题；逆否命题是“若x0，则x20”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2故选：C5由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积是（）AB1CD【考点】定积分【分析】先确定积分区间，再利用定积分表示面积，即可求出结论【解答】解：由直线x=0，y=0与y=cos2x（x0，）所围成的封闭图形的面积S=cos2xdx=sin2x|=，故选：D6某几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）AB9+3C18D12+3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是直四棱柱，由梯形、矩形的面积公式求出各个面的面积求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是直四棱柱，其中底面是等腰梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，则梯形的腰是=，侧棱与底面垂直，侧棱长是3，该几何体的表面积S=+=12+3，故选：D7设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若（1，2为实数），则1+2的值为（）A1B2CD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】作出图形，根据向量的线性运算规则，得，再由分解的唯一性得出1与2的值即可【解答】解：由题意，如图，因为AD=AB，BE=BC，又（1，2为实数），1+2=故选C8已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则=（）A1+B1C3+2D32【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据等差中项的性质可知得2（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案【解答】解：依题意可得2（）=a1+2a2，即，a3=a1+2a2，整理得q2=1+2q，求得q=1，各项都是正数q0，q=1+=3+2故选C9已知函数y=f（x）在R上为偶函数，当x0时，f（x）=log3（x+1），若f（t）f（2t），则实数t的取值范围是（）A（，1）B（1，+）C（，2）D（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】利用f（x）的奇偶性及在x0上的单调性，由f（x）的性质可把f（t）f（2t），转化为具体不等式，解出即可【解答】解：当x0时，f（x）=log3（x+1），函数在x0上为增函数，函数y=f（x）在R上为偶函数，f（t）f（2t），|t|2t|，t1，实数t的取值范围是（1，+）故选：B10已知双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程，利用双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率【解答】解：双曲线mx2ny2=1化为标准方程为：双曲线mx2ny2=1（m0，n0）的离心率为2，m=3n椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=椭圆mx2+ny2=1的离心率为故选C11函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解：是偶函数，排除A，当x=2时，排除C，当时，排除B、C，故选D12在平行四边形ABCD中， =0，沿BD将四边形折起成直二面角ABDC，且2|2+|2=4，则三棱锥ABCD的外接球的半径为（）A1BCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知中=0，可得ABBD，沿BD折起后，由平面ABD平面BDC，可得三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，进而根据2|2+|2=4，求出三棱锥ABCD的外接球的半径【解答】解：平行四边形ABCD中，=0，ABBD，沿BD折成直二面角ABDC，平面ABD平面BDC三棱锥ABCD的外接球的直径为AC，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4外接球的半径为1，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13根据如图所示的程序语句，若输入的值为3，则输出的y值为2【考点】伪代码【分析】根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由x=3，满足条件1x4，从而计算可得y的值【解答】解：根据已知中的程序框图可得：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的函数值，由于：x=3，满足条件1x4，可得：y=31=2故答案为：214观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a11+b11=199【考点】归纳推理【分析】观察1，3，4，7，11，的规律，利用归纳推理即可得到第11个数的数值【解答】解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第11项对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，第11项为199，故答案为：19915九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著的，书中有如下问题：“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？答曰：二千一百一十二尺术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），则该问题中圆周率的取值为3【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，利用圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），求出V，再建立方程组，即可求出圆周率的取值【解答】解：由题意，圆柱体底面的圆周长20尺，高4尺，圆堡瑽（圆柱体）的体积V=（底面的圆周长的平方高），V=，=3，R=，故答案为：316ABC中，点D是边BC上的一点，B=DAC=，BD=2，AD=2，则CD的长为7【考点】三角形中的几何计算【分析】设AB=x，在ABD中由条件和余弦定理求出AB和cosBDA，由ADB+ADC=和诱导公式求出cosCDA，由平方关系求出sinADC，根据内角和定理、DAC=和两角和的正弦公式求出sinC，在ADC中由正弦定理求出CD的长【解答】解：如图所示：设AB=x， 在ABD中，B=，BD=2，AD=2，则由余弦定理得，AD2=AB2+BD22ABBDcosB28=，则x22x24=0，解得x=6或x=4（舍去），cosBDA=ADB+ADC=，cosCDA=cosBDA=，则sinADC=，DAC=，sinC=sin（DAC+ADC）=sinDACcosADC+cosDACsinADC=在ADC中，由正弦定理得，CD=7，故答案为：7三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知数列an的前n项和Sn满足Sn=（nN+）（）求数列an的通项公式；（）设bn=an3an（nN+），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（）当n=1时，a1=S1=1，当n2时，an=SnSn1，即可得出数列an的通项公式；（）把（）中求出的数列an的通项公式代入bn=an3an，求出数列bn的通项公式，再利用错位相减法求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（）当n2时，Sn1=，an=SnSn1=n；当n=1时，a1=S1=1，符合上式综上，an=n（）bn=an3a=n3n（nN+），则数列bn的前n项和Tn，Tn=13+232+333+n3n，3Tn=132+233+334+n3n+1，2Tn=3+32+33+3nn3n+1，2Tn=n3n+1，Tn=+（）3n+1，数列bn的前n项和Tn，Tn=+（）3n+118调查某公司的五名推销员，某工作年限与年推销金额如表：推销员ABCDE工作年限x（万元）23578年推销金额y（万元）33.546.58（）画出年推销金额y关于工作年限x的散点图，并从散点图中发现工作年限与年推销金额之间关系的一般规律；（）利用最小二乘法求年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程；（）利用（）中的回归方程，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额附： =， =【考点】线性回归方程【分析】（）根据表中数据，画出散点图，利用散点图估计月推销金额y与工作时间x有线性相关关系；（）利用公式求出线性回归方程即可；（）根据线性回归方程计算x=10时y的值，即可得到预报值【解答】解：（）年推销金额y关于工作年限x的散点图：从散点图可以看出，各点散布在从左下角到右上角的区域里，因此，工作年限与年推销金额之间成正相关，即工作年限越多，年推销金额越大（）=5， =5，b=，a=5=，年推销金额y关于工作年限x的回归直线方程为y=x+（）当x=10时，y=10+=，预测工作年限是10年的推销员的年推销金额为万元19长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，AA1=3，BC=2，P为A1B1中点，M，N，Q分别为棱AB，AA1，CC1上的点，且AB=4MB，AA1=3AN，CC1=3CQ（）求证：PQ平面PD1N；（）求二面角PD1MN的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PQ平面PD1N（）求出平面PD1M的法向量和平面D1MN的法向量，利用向量法能求出二面角PD1MN的余弦值【解答】证明：（）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，如图建立空间直角坐标系，则P（2，2，3），Q（0，4，1），D1（0，0，3），M（2，3，0），N（2，0，1），=（2，2，2），=（2，2，0），=（2，0，2），=0， =0，PQD1P，PQD1N，D1PD1N=D1，PQ平面PD1N解：（） =（2，3，3），=（2，2，0），=（2，0，2），设平面PD1M的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得平面PD1M的一个法向量为=（3，3，1），设平面D1MN的法向量为=（a，b，c），则，取a=3，得=（3，1，3），cos=，由图知二面角PD1MN的平面角为钝角，二面角PD1MN的余弦值为20平面直角坐标系xOy中，椭圆C1： +y2=1（a1）的长轴长为2，抛物线C2：y2=2px（p0）的焦点F是椭圆C1的右焦点（）求椭圆C1与抛物线C2的方程；（）过点F作直线l交抛物线C2于A，B两点，射线OA，OB与椭圆C1的交点分别为C，D，若=2，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【分析】（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解出即可得出椭圆C1的方程利用=c，解得p，即可得出抛物线C2的方程（）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）直线方程与抛物线方程联立可得：y2my4=0，利用斜率计算公式可得kOA，进而定点直线OA的方程，与椭圆方程联立可得=2，进而得到，利用向量数量积运算性质可得：，利用=2，及其根与系数的关系解出m，即可得出【解答】解：（）由已知可得：2a=2，b=1，c=，解得a=，b=c=1椭圆C1的方程为： =1又F（1，0），=1，解得p=2抛物线C2的方程为y2=4x（）设直线l的方程为：x=my+1，A，B，C（x3，y3），D（x4，y4）联立，化为：y2my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4=16m2+160，kOA=，直线OA的方程为：x=y，得=2， =，同理=，=+y1y2=3，=x3x4+y3y4=+y3y4=y3y4，=2，y3y4=，=，m2=，m=，直线l的方程为：x=y+121已知函数f（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x1）（aR）（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）g（x）对任意的x1，+）恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：ln2ln3lnn（n2，nN+）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定a的具体范围即可；（）得到lnx，令x=n（n2，nN*），得lnn，x取不同的值，相乘即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=lnx+1，设g（x）=f（x），g（x）=，令g（x）0，得x1，g（x）0，得0x1，g（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，g（x）min=g（1）=2，f（x）0在（0，+）上恒成立，f（x）的递增区间为（0，+），无递减区间（）设h（x）=（x1）lnxax+a，由（）知：h（x）=lnx+=1a=g（x）a，g（x）在（1，+）递增，g（x）g（1）=2，（1）当a2时，h（x）0，h（x）在1，+）递增，h（x）h（1）=0，满足题意（2）当a2时，设（x）=h（x），（x）=，当x1时，（x）0，（x）在1，+）递增，（1）=2a0，（ea）=1+ea0，x0（1，ea），使（x0）=0，（x）在1，+）递增，x（1，x0），（x）0，即h（x）0，当x（1，x0时，h（x）h（1）=0，不满足题意综上，a的取值范围为（，2（）由（）知，令a=2，（x+1）lnx2（x1），x1，lnx（当且仅当x=1取“=”），令x=n（n2，nN*）得lnn，即ln2，ln3，ln4，ln（n2），ln（n1），lnn，将上述n1个式子相乘得：ln2ln3lnn=，原命题得证请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，其中AB=AC，ABD=CBD，AC与BD交于点F，直线BC与AD交于点E（）证明：AC=CE；（）若DF=2，BF=4，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（）利用等腰三角形的性质，证明CAE=E，即可证明：AC=CE；（）证明ADFBDA，即可求AD的长【解答】证明：（）AB=AC，ABC=ACB，ABC=2DBC，ACB=DBC，ACB=ADB，ADB=2DBC，ADB=DBC+E，DBC=E，DBC=CAE，CAE=E，AC=CE解：（）由（）知ABD=DBC=CAD，ADF=ADB，ADFBDA，=，AD2=DFBD=12，AD=2选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程（）设P（2cos，sin），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出【解答】解：（）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（为参数）上，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程： =1同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y1）2=1可得曲线C3的极坐标方程为：22sin=0，化为=2sin（）设P（2cos，sin），C（0，1），则|PC|2=（2cos）2+（sin1）2=4cos2+sin22sin+1=+，当sin时， =PQ的最大值为+1选修4-5：不等式选讲24已知a，b为实数（）若a0，b0，求证：（a+b+）（a2+）9；（）若|a|1，|b|1，求证：|1ab|ab|【考点】不等式的证明【分析】（I）使用基本不等式证明；（II）使用分析法证明【解答】证明：（）a0，b0，a+b+3，3（a+b+）（a2+）33=9（）欲证|1ab|ab|，只需证：（1ab）2（ab）2，即1+a2b2a2b20只需证：（a21）（b21）0|a|1，|b|1，显然上式成立|1ab|ab|2016年10月5日22 / 22