【课标版】高三数学全国高考模拟重组预测试卷B.doc

试卷类型：B
2012届高三全国高考模拟重组预测试卷四
数 学
适用地区：新课标地区
考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 、立体几何、解析几何概率统计

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案填在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．[2011·广东卷]已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数且y＝x}，则A∩B的元素个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

2．某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该几何体的体积为（　　）
A.24 B. 80 C. 64 D. 240
3．（理）[2011·广东卷]甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.B.C.D.
（文）[2011·安徽“江南十校”联考]第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自A大学2名和B大学4名的共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．[2011·山东济南调研]右图是 年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　）
A. B. C. D.
5．[2011·山东济宁一模]将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是（　　）
A． （4，－2） B．（4，－3） C． （3，） D． （3，－1）
6．[2011·山东济宁一模]平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足，则三角形ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．（理）[2011·天津卷]在6的二项展开式中，x2的系数为(　　)
A．－B.C．－D.
（文）一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻的速度为米/秒, 那么, 此人(　　)
A. 可在7秒内追上汽车
B. 可在9秒内追上汽车
C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米
D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米
8．（理）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）
A．152 B.126 C.90 D.54
（文）[2011·皖南八校二模]抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．2
9．设等差数列的前项和为，已知，，则
(　　　)
A．－2008 B．2008 C．－2010 D．2010
10．[2011·湖南卷]设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为(　　)
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)
C．(1,3) D．(3，＋∞)
11.[2011·安徽“江南十校”联考]已知函数的图象的一条对称轴是，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）
A．1 B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上）

13．（理）[2011·辽宁卷]调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
（文）[2011·江苏南京一模]在集合中随机取一个元素，在集合中随机取一个元素，得到点，则点P在圆内部的概率为.
14．[2011·天津南开中学月考]已知椭圆的左右焦点为F1，F2，点P在椭圆上，且|PF1|=6，则=．
15．[2011·陕西卷]观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为__________________________________________________．
16．[2011·安徽卷]在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．

三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知函数的图象
与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别
为和．

18.（本小题满分12分）[2011·天津红桥区一模]设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，求证：．
19.（理）[2011·湖南卷]如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是AB的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．

（文）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，△,△,△,△都是正三角形．
(1)证明:直线；
(2)求棱锥的体积.

20.（本小题满分12分）
（理）[2011·辽宁卷]某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：

品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xn的样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为样本平均数．
（文）[2011·东北三省四市质检]某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（１）甲班10名同学成绩标准差乙班10名同学成绩标准差（填“>”，“<”）；
（２）从甲班4名及格同学中抽取两人，从乙班2名80分以下的同学中取一人，求三人平均分不及格的概率.

甲

乙
257
368
24
68
7
8
9
10
89
678
1235
1

21.（本小题满分12分）[2011·课标全国卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B点在直线y＝－3上，M点满足∥，·＝·，M点的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．
22．（本小题满分14分）[2011·辽宁卷]已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a＞0，证明：当0＜x＜时，f＞f；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′(x0)＜0.

试卷类型：Ｂ
2012届高三全国高考模拟重组预测试卷四参考答案
数学

1.【答案】C
【解析】集合A表示以原点为圆心的单位圆，集合B表示过原点的直线，显然有两个交点，故选C.
2.【答案】B
【解析】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
ks5u
底面是边长为8和6的长方形，棱锥的高是5，∴由棱锥的体积公式得，故选B．
3. （理）【答案】D
【解析】根据互斥事件概率与独立事件概率得：第一局甲就胜了，概率为；另一种情况为第一局甲输了，第二局甲胜了，概率为×＝，所以甲胜的概率为＋＝.
（文）【答案】C
【解析】，另解：，故选C.
4. 【答案】C
【解析】,
5. 【答案】A
【解析】由条件，以（10，0）和（－6，8）为端点的线段的垂直平分线方程为y＝2x，则与点（－4，2）重合的点即为求点（－4，2）关于直线y＝2x的对称点，求得为（4，－2），选A．
6. 【答案】B
【解析】由得即，，
即，
故为等腰三角形，选B．
7.（理）【答案】C
【解析】由二项式展开式得，Tr＋1＝C6－rr＝r22r－6Cx3－r，
令r＝1，则x2的系数为·22×1－6C＝－.
（文）【答案】D
【解析】根据题意构造函数，可求当t=6秒时，S(t)的最小值为7．故选D.
8.（理）【答案】B
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确.
（文）【答案】C
【解析】由题意可求得，离心率．
9．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，因为
的等差数列，所以由 可知等差数列的公差d=2，所以.

直线x＋y＝1与y＝mx的交点为.由图可知，当x＝，y＝时，目标函数z＝x＋my有最大值小于2，则有＋m×<2，得1－<m<1＋.
又因为m>1，故m的取值范围为1<m<1＋，故选A.
11. 【答案】B
【解析】，∴，∴，
，∴，故选B.
12. 【答案】D
【解析】由题意得，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小，即．
13. （理）【答案】0.254
【解析】由题意得2－1＝[0.254(x＋1)＋0.321]－[0.254x＋0.321]＝0.254，即家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．
（文）【答案】
【解析】由题意得到的点有：，共计6个，在圆的内部的点有，所以概率为．
14.【答案】
【解析】由|PF1|=6，可求|PF2|=4，且,
故,=．
15. 【答案】
【解析】由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，…，(3n－2)，对结果找规律为12,32,52，…，(2n－1)2，所以第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
16.【答案】①③⑤
【解析】 ①正确，比如直线y＝x＋，不与坐标轴平行，且当x取整数时，y始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；⑤正确，比如直线y＝x－只经过一个整点(1,0)．
17．解：（1）由题意可得，即，，
．又，由，
,．
，所以，，
又是最小的正数，．
（2），
，，
，
.
18．解：（1）由，

．
（2）数列为等差数列，公差．
从而，
①
②
①－②得
从而．

又PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD，而AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.
(2)在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，
由(1)知，平面POD⊥平面PAC，所以OH⊥平面PAC.
又PA⊂面PAC，所以PA⊥OH.
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，则有PA⊥平面OGH.从而PA⊥HG.
故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝.
在Rt△POD中，OH＝＝＝.
在Rt△POA中，OG＝＝＝.
在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝.
所以cos∠OGH＝＝＝.
故二面角B－PA－C的余弦值为.
解法二：(1)如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则

O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·＝0，n1·＝0，得

所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n2·＝0，n2·＝0，得
所以x2＝－z2，y2＝z2，
取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
因为n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2.从而平面POD⊥平面PAC.
(2)因为y轴⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝.
由图可知，二面角B－PA－C的平面角与θ相等，所以二面角B－PA－C的余弦值为.
（文）解：（１）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以，OG=OD=2，
同理，设是线段DA与FC延长线的交点，有
又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.
在△GED和△GFD中，由和OC，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
（２）由OB=1，OE=2，，
而△OED是边长为2的正三角形，故
所以
过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以
20.（理）解：(1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
即X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P

X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
甲＝(403＋397＋390＋404＋388＋400＋412＋406)＝400.
s＝[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
乙＝(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
s＝[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12]＝56.
由以上结果可以看出， 品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．

（文）解：（１）>．
（２）抽取情况为：
92，94，78； 92，94，79； 92，106，78； 92，106，79；
92，108，78； 92，108，79； 94，106，78； 94，106，79；
94，108，78；94，108，79； 106，108，78；106，108，79．
总共有12种．
这12种平均分不及格是92，94，78； 92，94，79共2种．
所以三人平均分不及格的概率为．

21．解：(1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)．
所以＝(－x，－1－y)，＝(0，－3－y)，＝(x，－2)．
再由题意可知(＋)·＝0，
即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0，
所以曲线C的方程为y＝x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝x2－2上一点，
因为y′＝x，所以l的斜率为x0.
因此直线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，
即x0x－2y＋2y0－x＝0.
则O点到l的距离d＝，又y0＝x－2，
所以d＝＝≥2，
当x0＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
22．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)单调增加．
②若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝，且当x∈时，f′(x)＞0，当x＞时，f′(x)＜0.所以f(x)在单调增加，在单调减少．
(2)设函数g(x)＝f－f，则
g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a＝.
当0＜x＜时，g′(x)＞0，而g(0)＝0，所以g(x)＞0.
故当0＜x＜时，f＞f.
（3）由（1）得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，故a＞0，从而f（x）的最大值为，且.不妨设,则.由（2）得，从而于是.由（1）知，.