陕西高考理科数学试题及参考答案.doc

2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1.集合A=，B=，则=（ D ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面上对应的点位于（ A ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.对于函数f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是（ B ）
A. 在上是递增的 B.的图象关于原点对称
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为2
4. 展开式中的系数为10，则实数等于（ D ）
A.-1 B. C.1 D.2
5.已知函数若，则实数等于（ C ）
A. B. C.2 D.9
6.右图是求样本，，…，平均数的程序框图，
图中空白框中应填入的内容为（ A ）
A. B.
C. D.
7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ C ）
A. B.
C.1 D.2

8.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为（ C ）
A. B. 1 C.2 D.4
9.对于数列，“”是“为递增数列”的（ B ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]( [x]表示不大于x的最大整数)可以表示为（ B ）
A. B. C. D.
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
11.已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m= -1 .
12.观察下列等式：，，，…，根据上述规律，第五个等式为 .
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为 .
14.铁矿石A和B的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：

a
B(万吨)
C（百万元）
A
50％
1
3
B
70％
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为 15 （万元）.
15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．（不等式选做题）不等式的解集为 .
B. (几何证明选做题)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则 .
C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（a为参数）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则直线l与圆C的交点的直角坐标系为 (-1,1),(1,1) .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）
已知是公差不为零的等差数列，且成等比数列
（1） 求数列的通项公式
（2） 求数列的前n项和
解：（1）由题设知公差d≠0
由且成等比数列得
解得d=1,d=0（舍去） 故的通项
（2）由（1）知，由等比数列前n项和公式得

17. （本小题满分12分）
如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知海里，

在中，由正弦定理得

=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得

=
30（海里），则需要的时间（小时）。
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
AP=AB=2,BC=,E,F分别是AD,PC的中点。
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。

解法一：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立 空间直角坐标系。
∵ ，四边形ABCD是矩形
∴ A,B,C,D,P的坐标为
又E,F分别是AD,PC的中点，
∴ ∴ ,
∴ ∴
∴ ∴ 平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面BEF的法向量,
平面BAP的法向量， ∴ =8
设平面BEF与平面BAP的家教为θ，
则，
∴ ，∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为
解法二：（Ⅰ）连接PE,EC，在和中，
PA=AB=CD,AE=DE, ∴ PE=CE,即是等腰三角形，
又F是PC的中点， ∴EF⊥PC，
又是PC的中点，
∴ 又
（Ⅱ）∵ PA⊥平面ABCD, ∴ PA⊥BC, 又ABCD是矩形，∴ AB⊥BC,
∴ BC⊥平面BAP，BC⊥PB, 又由（Ⅰ）知PC⊥平面BEF,
∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
在中，PB=BC, ,
所以平面BEF与平面BAP的夹角为
19. （本小题满分12分）
为了解学生升高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该校男生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~18cm之间的概率。
解：（Ⅰ）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人。
（Ⅱ）由统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，
样本容量为70，所以样本中学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5
（Ⅲ）样本中女生身高在165~180cm之间的人数为10，身高在170~180cm之间
的人数为4，设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任取2人，
至少有1人身高在170~180cm之间”，
则（或）
20. （本小题满分13分）
如图，椭圆的顶点为，焦点为 ，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设n是过原点的直线，是与n垂直相交于F点、与椭圆相交于A,B亮点的直线，||=1，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）由知， ①
由知a=2c， ②
又 ， ③
由①②③解得，故椭圆C的方程为
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为，
假设使成立的直线存在，
（ⅰ）当不垂直于x轴时，设的方程为，由与垂直相交于P点且||=1得，即
∵，||=1， ∴
=
= 1+0+0-1=0,
即
将代入椭圆方程，得
由求根公式可得， ④
⑤

=
=
将④，⑤代入上式并化简得
⑥
将代入⑥并化简得，矛盾 即此时直线不存在
（ⅱ）当垂直于x轴时，满足的直线的方程为x=1或x=-1，
当X=1时，A,B,P的坐标分别为，
∴， ∴
当x=-1时，同理可得，矛盾 即此时直线也不存在
综上可知，使成立的直线不存在
21. （本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
（Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
（Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明：
.
解：（Ⅰ），
由已知得 解得，
∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，
∴ 切线的方程为
（Ⅱ）由条件知
∴
（ⅰ）当a>0时，令，解得，
∴ 当时，在上递减；
当时，在上递增
∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点
∴最小值
（ⅱ）当时，在上递增，无最小值，
故的最小值的解析式为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
对任意的
①
②
③
故由①②③得

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