圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含标准答案).doc
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圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案) 一.选择题(共7小题) 1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是( ) A.(﹣,0),(,0) B.(﹣2,0),(2,0) C.(0,﹣),(0,) D.(0,﹣2),(0,2) 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 3.设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 4.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A. B.3 C.2 D.4 7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 二.填空题(共6小题) 8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 . 9.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 . 10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大. 11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= . 12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= . 13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 . 三.解答题(共13小题) 14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; ②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程. 16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴; (Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. 17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值. 18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”; (2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值; (3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由. 22.已知函数f(x)=﹣lnx. (Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2; (Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 23.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1. (Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间; (Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=; (Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x. (1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. 25.已知函数f(x)=ex﹣ax2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 26.已知函数f(x)=﹣x+alnx. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2. 圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共7小题) 1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是( ) A.(﹣,0),(,0) B.(﹣2,0),(2,0) C.(0,﹣),(0,) D.(0,﹣2),(0,2) 【解答】解:∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1, 由此可得c==2, ∴该双曲线的焦点坐标为(±2,0) 故选:B. 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 【解答】解:由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线 y=,即bx﹣ay=0,F(c,0), AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形, F是AB的中点,EF==3, EF==b, 所以b=3,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得, 可得:,解得a=. 则双曲线的方程为:﹣=1. 故选:C. 3.设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( ) A. B.2 C. D. 【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y=x, ∴点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b, ∴|OP|===a,cos∠PF2O=, ∵|PF1|=|OP|, ∴|PF1|=a, 在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O, ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2), 即3a2=c2, 即a=c, ∴e==, 故选:C. 4.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0), 直线AP的方程为:y=(x+a), 由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c), 代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c, ∴题意的离心率e==. 故选:D. 5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 【解答】解:∵双曲线的离心率为e==, 则=====, 即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x, 故选:A. 6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A. B.3 C.2 D.4 【解答】解:双曲线C:﹣y2=1的渐近线方程为:y=,渐近线的夹角为:60°,不妨设过F(2,0)的直线为:y=, 则:解得M(,), 解得:N(), 则|MN|==3. 故选:B. 7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 【解答】解:函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数, 可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1, 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:1, 则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:y=x. 故选:D. 二.填空题(共6小题) 8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 2 . 【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c, 可得:=b=, 可得,即c=2a, 所以双曲线的离心率为:e=. 故答案为:2. 9.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;双曲线N的离心率为 2 . 【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,),可得:,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1), 解得e=. 同时,双曲线的渐近线的斜率为,即, 可得:,即, 可得双曲线的离心率为e==2. 故答案为:;2. 10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大. 【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2), 由P(0,1),=2, 可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2(y2﹣1), 即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3, 又x12+4y12=4m, 即为x22+y12=m,① x22+4y22=4m,② ①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m, 可得y1﹣2y2=﹣m, 解得y1=,y2=, 则m=x22+()2, 即有x22=m﹣()2==, 即有m=5时,x22有最大值16, 即点B横坐标的绝对值最大. 故答案为:5. 11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= 2 . 【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0), ∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1), 联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=,x1x2=1, ∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4, ∵M(﹣1,1), ∴=(x1+1,y1﹣1),=(x2+1,y2﹣1), ∵∠AMB=90°=0,∴•=0 ∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, 整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣(y1+y2)+2=0, ∴1+2+﹣4﹣+2=0, 即k2﹣4k+4=0, ∴k=2. 故答案为:2 12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= ﹣3 . 【解答】解:曲线y=(ax+1)ex,可得y′=aex+(ax+1)ex, 曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2, 可得:a+1=﹣2,解得a=﹣3. 故答案为:﹣3. 13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x . 【解答】解:∵y=2ln(x+1), ∴y′=, 当x=0时,y′=2, ∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x. 故答案为:y=2x. 三.解答题(共13小题) 14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex的导数为 f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex. 由题意可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0, 可得(a﹣2a﹣1+2)e=0, 解得a=1; (Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(2a+1)x+2]ex=(x﹣2)(ax﹣1)ex, 若a=0则x<2时,f′(x)>0,f(x)递增;x>2,f′(x)<0,f(x)递减. x=2处f(x)取得极大值,不符题意; 若a>0,且a=,则f′(x)=(x﹣2)2ex≥0,f(x)递增,无极值; 若a>,则<2,f(x)在(,2)递减;在(2,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(x)在x=2处取得极小值; 若0<a<,则>2,f(x)在(2,)递减;在(,+∞),(﹣∞,2)递增, 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意; 若a<0,则<2,f(x)在(,2)递增;在(2,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(x)在x=2处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(,+∞). 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. ①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; ②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程. 【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为, ∵焦点F1(﹣,0),F2(,0),∴. ∵∴,又a2+b2=c2=3, 解得a=2,b=1. ∴椭圆C的方程为:,圆O的方程为:x2+y2=3. (2)①可知直线l与圆O相切,也与椭圆C,且切点在第一象限, ∴可设直线l的方程为y=kx+m,(k<0,m>0). 由圆心(0,0)到直线l的距离等于圆半径,可得. 由,可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k2+1)(4m2﹣4)=0, 可得m2=4k2+1,∴3k2+3=4k2+1,结合k<0,m>0,解得k=﹣,m=3. 将k=﹣,m=3代入可得, 解得x=,y=1,故点P的坐标为(. ②设A(x1,y1),B(x2,y2), 由⇒k<﹣. 联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0, |x2﹣x1|==, O到直线l的距离d=, |AB|=|x2﹣x1|=, △OAB的面积为S===, 解得k=﹣,(正值舍去),m=3. ∴y=﹣为所求. 16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (Ⅰ)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴; (Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)证明:可设P(m,n),A(,y1),B(,y2), AB中点为M的坐标为(,), 抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上, 可得()2=4•, ()2=4•, 化简可得y1,y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根, 可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2, 可得n=, 则PM垂直于y轴; (Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点, 可得m2+=1,﹣1≤m<0,﹣2<n<2, 由(Ⅰ)可得y1+y2=2n,y1y2=8m﹣n2, 由PM垂直于y轴,可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2| =(﹣m)• =[•(4n2﹣16m+2n2)﹣m]• =(n2﹣4m), 可令t== =, 可得m=﹣时,t取得最大值; m=﹣1时,t取得最小值2, 即2≤t≤, 则S=t3在2≤t≤递增,可得S∈[6,], △PAB面积的取值范围为[6,]. 17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值. 【解答】解:(Ⅰ)设椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c, 由椭圆的离心率为e=, ∴=; 又a2=b2+c2, ∴2a=3b, 由|FB|=a,|AB|=b,且|FB|•|AB|=6; 可得ab=6, 从而解得a=3,b=2, ∴椭圆的方程为+=1; (Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),由已知y1>y2>0; ∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2; 又|AQ|=,且∠OAB=, ∴|AQ|=y, 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2; 由方程组,消去x,可得y1=, ∴直线AB的方程为x+y﹣2=0; 由方程组,消去x,可得y2=; 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3, 两边平方,整理得56k2﹣50k+11=0, 解得k=或k=; ∴k的值为或. 18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0). (1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 【解答】解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵线段AB的中点为M(1,m), ∴x1+x2=2,y1+y2=2m 将A,B代入椭圆C:+=1中,可得 , 两式相减可得,3(x1+x2)(x1﹣x2)+4(y1+y2)(y1﹣y2)=0, 即6(x1﹣x2)+8m(y1﹣y2)=0, ∴k==﹣=﹣ 点M(1,m)在椭圆内,即, 解得0<m ∴. (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), 可得x1+x2=2, ∵++=,F(1,0),∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0,y1+y2+y3=0, ∴x3=1, ∵m>0,可得P在第一象限,故,m=,k=﹣1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1,|FB|=2﹣x2,|FP|=2﹣x3=. 则|FA|+|FB|=4﹣,∴|FA|+|FB|=2|FP|, 联立,可得|x1﹣x2|= 所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=, ∴该数列的公差为±. 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 【解答】解:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足; 设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2), 则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1, ∴直线l的方程y=x﹣1; 方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=, ∴θ=,则直线的斜率k=1, ∴直线l的方程y=x﹣1; (2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|) 由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4, 以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D, 由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4, 则D(3,2), 过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16.. 20.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 【解答】解:(1)c==1, ∴F(1,0), ∵l与x轴垂直, ∴x=1, 由,解得或, ∴A(1.),或(1,﹣), ∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣, 证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°, 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB, 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0, A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<, 直线MA,MB的斜率之和为kMA,kMB之和为kMA+kMB=+, 由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得kMA+kMB=, 将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k)=0 从而kMA+kMB=0, 故MA,MB的倾斜角互补, ∴∠OMA=∠OMB, 综上∠OMA=∠OMB. 21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”. (1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”; (2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值; (3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由. 【解答】解:(1)证明:f′(x)=1,g′(x)=2x+2, 则由定义得,得方程无解,则f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”; (2)f′(x)=2ax,g′(x)=,x>0, 由f′(x)=g′(x)得=2ax,得x=, f()=﹣=g()=﹣lna2,得a=; (3)f′(x)=﹣2x,g′(x)=,(x≠0), 由f′(x0)=g′(x0),得b=﹣>0,得0<x0<1, 由f(x0)=g(x0),得﹣x02+a==﹣,得a=x02﹣, 令h(x)=x2﹣﹣a=,(a>0,0<x<1), 设m(x)=﹣x3+3x2+ax﹣a,(a>0,0<x<1), 则m(0)=﹣a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0, 又m(x)的图象在(0,1)上连续不断, 则m(x)在(0,1)上有零点, 则h(x)在(0,1)上有零点, 则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点. 22.已知函数f(x)=﹣lnx. (Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2; (Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 【解答】证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=﹣lnx, ∴x>0,f′(x)=﹣, ∵f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等, ∴=﹣, ∵x1≠x2,∴+=, 由基本不等式得:=≥, ∵x1≠x2,∴x1x2>256, 由题意得f(x1)+f(x2)==﹣ln(x1x2), 设g(x)=,则, ∴列表讨论: x (0,16) 16 (16,+∞) g′(x) ﹣ 0 + g(x) ↓ 2﹣4ln2 ↑ ∴g(x)在[256,+∞)上单调递增, ∴g(x1x2)>g(256)=8﹣8ln2, ∴f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2. (Ⅱ)令m=e﹣(|a|+k),n=()2+1, 则f(m)﹣km﹣a>|a|+k﹣k﹣a≥0, f(n)﹣kn﹣a<n(﹣﹣k)≤n(﹣k)<0, ∴存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a, ∴对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点, 由f(x)=kx+a,得k=, 设h(x)=,则h′(x)==, 其中g(x)=﹣lnx, 由(1)知g(x)≥g(16), 又a≤3﹣4ln2,∴﹣g(x)﹣1+a≤﹣g(16)﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0, ∴h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减, ∴方程f(x)﹣kx﹣a=0至多有一个实根, 综上,a≤3﹣4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 23.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1. (Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间; (Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=; (Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 【解答】(Ⅰ)解:由已知,h(x)=ax﹣xlna,有h′(x)=axlna﹣lna, 令h′(x)=0,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,0) 0 (0,+∞) h′(x) ﹣ 0 + h(x) ↓ 极小值 ↑ ∴函数h(x)的单调减区间为(﹣∞,0),单调递增区间为(0,+∞); (Ⅱ)证明:由f′(x)=axlna,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线的斜率为lna. 由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线的斜率为. ∵这两条切线平行,故有,即, 两边取以a为底数的对数,得logax2+x1+2logalna=0, ∴x1+g(x2)=; (Ⅲ)证明:曲线y=f(x)在点()处的切线l1:, 曲线y=g(x)在点(x2,logax2)处的切线l2:. 要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线, 只需证明当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),x2∈(0,+∞)使得l1与l2重合, 即只需证明当a≥时,方程组 由①得,代入②得: ,③ 因此,只需证明当a≥时,关于x1 的方程③存在实数解. 设函数u(x)=,既要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1﹣(lna)2xax,可知x∈(﹣∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减, 又u′(0)=1>0,u′=<0, 故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即. 由此可得,u(x)在(﹣∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减, u(x)在x=x0处取得极大值u(x0). ∵,故lnlna≥﹣1. ∴=. 下面证明存在实数t,使得u(t)<0, 由(Ⅰ)可得ax≥1+xlna,当时,有 u(x)≤=. ∴存在实数t,使得u(t)<0. 因此,当a≥时,存在x1∈(﹣∞,+∞),使得u(x1)=0. ∴当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. 24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x. (1)若a=0,证明:当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0; (2)若x=0是f(x)的极大值点,求a. 【解答】(1)证明:当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x,(x>﹣1). ,, 可得x∈(﹣1,0)时,f″(x)≤0,x∈(0,+∞)时,f″(x)≥0 ∴f′(x)在(﹣1,0)递减,在(0,+∞)递增, ∴f′(x)≥f′(0)=0, ∴f(x)=(2+x)ln(1+x)﹣2x在(﹣1,+∞)上单调递增,又f(0)=0. ∴当﹣1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0. (2)解:由f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x,得 f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+﹣2=, 令h(x)=ax2﹣x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1), h′(x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1). 当a≥0,x>0时,h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)>h(0)=0,即f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,故x=0不是f(x)的极大值点,不符合题意. 当a<0时,h″(x)=8a+4aln(x+1)+, 显然h″(x)单调递减, ①令h″(0)=0,解得a=﹣. ∴当﹣1<x<0时,h″(x)>0,当x>0时,h″(x)<0, ∴h′(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴h′(x)≤h′(0)=0, ∴h(x)单调递减,又h(0)=0, ∴当﹣1<x<0时,h(x)>0,即f′(x)>0, 当x>0时,h(x)<0,即f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, ∴x=0是f(x)的极大值点,符合题意; ②若﹣<a<0,则h″(0)=1+6a>0,h″(e﹣1)=(2a﹣1)(1﹣e)<0, ∴h″(x)=0在(0,+∞)上有唯一一个零点,设为x0, ∴当0<x<x0时,h″(x)>0,h′(x)单调递增, ∴h′(x)>h′(0)=0,即f′(x)>0, ∴f(x)在(0,x0)上单调递增,不符合题意; ③若a<﹣,则h″(0)=1+6a<0,h″(﹣1)=(1﹣2a)e2>0, ∴h″(x)=0在(﹣1,0)上有唯一一个零点,设为x1, ∴当x1<x<0时,h″(x)<0,h′(x)单调递减, ∴h′(x)>h′(0)=0,∴h(x)单调递增, ∴h(x)<h(0)=0,即f′(x)<0, ∴f(x)在(x1,0)上单调递减,不符合题意. 综上,a=﹣. 25.已知函数f(x)=ex﹣ax2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1; (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=ex﹣x2. 则f′(x)=ex﹣2x, 令g(x)=ex﹣2x,则g′(x)=ex﹣2, 令g′(x)=0,得x=ln2. 当x∈(0,ln2)时,g′(x)<0,当x∈(ln2,+∞)时,g′(x)>0, ∴g(x)≥g(ln2)=eln2﹣2•ln2=2﹣2ln2>0, ∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1, 解:(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程ex﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根, ⇔a=在(0,+∞)只有一个根, 即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点. G, 当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0, ∴G(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增, 当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞, ∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=. 26.已知函数f(x)=﹣x+alnx. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a﹣2. 【解答】解:(1)函数的定义域为(0,+∞), 函数的导数f′(x)=﹣﹣1+=﹣, 设g(x)=x2﹣ax+1, 当a≤0时,g(x)>0恒成立,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数, 当a>0时,判别式△=a2﹣4, ①当0<a≤2时,△≤0,即g(x)>0,即f′(x)<0恒成立,此时函数f(x)在(0,+∞)上是减函数, ②当a>2时,x,f′(x),f(x)的变化如下表: x (0,) (,) (,+∞) f′(x) ﹣ 0 + 0 ﹣ f(x) 递减 递增 递减 综上当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上是减函数, 当a>2时,在(0,),和(,+∞)上是减函数, 则(,)上是增函数. (2)由(1)知a>2,0<x1<1<x2,x1x2=1, 则f(x1)﹣f(x2)=(x2﹣x1)(1+)+a(lnx1﹣lnx2)=2(x2﹣x1)+a(lnx1﹣lnx2), 则=﹣2+, 则问题转为证明<1即可, 即证明lnx1﹣lnx2>x1﹣x2, 即证2lnx1>x1﹣在(0,1)上恒成立, 设h(x)=2lnx﹣x+,(0<x<1),其中h(1)=0, 求导得h′(x)=﹣1﹣=﹣=﹣<0, 则h(x)在(0,1)上单调递减, ∴h(x)>h(1),即2lnx﹣x+>0, 故2lnx>x﹣, 则<a﹣2成立. 31 / 31- 配套讲稿:
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