高考数学一轮复习分层限时跟踪练55.doc

分层限时跟踪练(五十五)(限时40分钟)一、选择题1(2015韶关模拟)在区间0,2之间随机抽取一个数x，则x满足2x10的概率为()A.B.C.D.【解析】由2x10得x，故所求概率P.【答案】A2如图1032，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是()图1032A.B.C.D.【解析】由题意知，当MNR时，MON，所以所求概率为1.【答案】D3在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为()A. B. C. D.【解析】正方体中到各面的距离不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1131，而原正方体的体积为V3327，故所求的概率为P.【答案】A4.(2015河南三市联考)在区间，内随机取两个数分别为a，b，则使得函数f(x)x22axb22有零点的概率为()A1B1C1D1【解析】函数f(x)x22axb22有零点，需4a24(b22)0，即a2b22成立而a，b，建立平面直角坐标系，满足a2b2，点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为P1.【答案】B5(2015昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是()A. B.C. D.【解析】作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域，当点在AED区域内时，点到直线y20的距离大于2.P.【答案】D二、填空题6(2015烟台模拟)在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_【解析】当x时，由0cos x，得x或x，由几何概型概率公式得P.【答案】7(2015武汉调研)在区间(0,1)内随机地取出两数，则这两数之和小于的概率是_【解析】设随机取出的两个数分别为x，y，则0x1,0y1，依题意有xy，由几何概型知，所求概率为P.【答案】8如图1033所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，则BM1的概率为_图1033【解析】因为B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).【答案】三、解答题9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥MABCD的体积小于的概率【解】如图，正方体ABCDA1B1C1D1.设MABCD的高为h，则SABCDh，又SABCD1，h，即点M在正方体的下半部分，所求概率P.10身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A，B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过10分钟当天A，B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为15分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率【解】设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当|yx|时，姐弟俩会面，又正方形的面积为，阴影部分的面积为，所求概率P.1在ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，则使ABD为钝角三角形的概率为()A.B.C.D.【解析】如图，当BE1时，AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，ABD为钝角三角形；当BF4时，BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C、F点)上时，ABD为钝角三角形，所以ABD为钝角三角形的概率为.【答案】C2(2015佛山二模)已知函数f(x)x2bxc，其中0b4,0c4.记函数f(x)满足条件为事件A，则事件A发生的概率为()A. B.C. D.【解析】由题意，得即表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为，故选C.【答案】C3如图1034所示，图中实线围成的部分是长方体(图)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是_图1034【解析】设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P，解得h3或h(舍去)，故长方体的体积为1133.【答案】34.如图1035，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_图1035【解析】如图，设OA2，S扇形AOB，SOCD11，S扇形OCD，在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S121，所有阴影面积为2.故所求概率P1.【答案】15将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，求该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率【解】画出关于x，y的不等式组所构成的三角形区域，如图，三角形ABC的面积为S1346，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S2，所以其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为P11.6已知关于x的一元二次方程x22(a2)xb2160.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a2,6，b0,4，求一元二次方程没有实数根的概率【解】(1)基本事件(a，b)共有36个，且a，b1,2,3,4,5,6，方程有两个正实数根等价于a20,16b20，0，即a2，4b4，(a2)2b216.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A).(2)试验的全部结果构的区域(a，b)|2a6,0b4，其面积为S()16.设“一元二次方程没有实数根”为事件B，则构成事件B的区域为B(a，b)|2a6,0b4，(a2)2b216，其面积为S(B)424.故所求的概率为P(B).7(2015山西质量检测)如图1036，一个靶子由四个同心圆组成，且半径分别为1,3,5,7.图1036规定：击中A，B，C，D区域分别可获得5分，3分，2分，1分，脱靶(即击中最大圆之外的某点)得0分(1)甲射击时脱靶的概率为0.02，若未脱靶则等可能地击中靶子上的任意一点，求甲射击一次得分的数学期望；(2)已知乙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过4，丙每次射击击中的位置与圆心的距离不超过5.乙、丙二人各射击一次，且二人击中各自范围内每一点的可能性相等，求乙得分比丙高的概率；乙、丙二人各射击一次，记U，V分别为乙、丙二人击中的位置到圆心的距离，且U，V取各自范围内的每个值的可能性相等，求乙获取(即UV)的概率【解】(1)设甲射击一次得分为X，则X的所有可能取值为5,3,2,1,0，P(X5)(10.02)0.02，P(X3)(10.02)0.16，P(X2)(10.02)0.32，P(X1)(10.02)0.48，P(X0)0.02，故X的数学期望E(X)50.0230.1620.3210.4800.021.7.(2)设乙、丙射击一次的得分分别为Y，Z，则Y的所有可能取值为5,3,2，Z的所有可能取值为5,3,2，P(Y5)，P(Y3)，P(Y2)，P(Z5)，P(Z3)，P(Z2).故所求概率P1.由题意得不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，根据几何概型的概率计算公式可知乙获胜的概率P2.