毕业设计(论文)-一些不同阶线性微分方程组的解.docx

楚雄师范学院本科论文（设计）

编号

楚 雄 师 范 学 院

本科生毕业论文（设计）

题 目 一些不同阶线性微分方程组的解
专 业 数学与应用数学
年级班级 2011级1班
学 号
学生姓名
指导教师 职称： 副教授

教务处印制

目录

摘要 3
关键词 3
Abstract 3
Key words 4
1、引言 4
2、预备知识 5
3、主要结果 7
3.1拉普拉斯变换法 7
3.2化为一阶线性方程组 11
4、应用实例 14
5、总结 16
参考文献 17
致谢 18

一些不同阶线性微分方程组的解

摘要：解一些不同价线性微分方程组的问题, 一般很复杂也很困难。求微分方程组的解有三种方法：矩阵的特征值特征向量法、消元法、拉普拉斯变换法。但只要掌握微分方程组的一些特点和正确运用所学知识，就能比较容易解决。 这篇文章介绍了利用拉普拉斯变换法求解线性方程组的解。

关键词：不同阶；线性；微分方程组；解法；拉普拉斯变换法；

Some different order linear differential equations

Abstract: The problem of linear differential equations of some different price generally very complex and difficult. There are three ways of solution of differential equations: matrix characteristic value of characteristic vector method, elimination method and Laplace transform method. But as long as the master some characteristics of the system of differential equations and the correct use of knowledge, can be easier to solve. This article introduces the solution of Laplace transform method is used to solve the linear system of equations.

Key words: Different order; linear; System of differential equations; solution; The Laplace transform method;

1、引言
常微分方程是现代数学中一个重要的分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、物理、力学、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用，这些应用也为微分方程的进一步发展提出来新的问题，对微分方程要加与更深的研究，才能适应科学技术飞速发展的需求。常微分方程在所有自然领域和众多的社会科学领域都有着广泛的应用，凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程模型来研究。因此，了解线性微分方程组的解，以及能灵活运用一些不同阶线性微分方程组的计算就显得极其重要。常系数线性微分方程组的求解通常有2种基本方法:复若当标准形法和指数矩阵法。特别是高阶线性微分方程组转化为一阶线性微分方程组的应用广泛。在解一些不同阶线性微分方程组中，最重要的一种方法是利用拉普拉斯变换。
在文【1】中，作者基于Riccati 方程的解，研究了其与一类变系数线性微分方程组一个非零解间的关系，基础上给出了这一类变系数线性微分方程组的基解矩阵的计算公式。
在文【2】中，作者基于微分方程组解法的分析，给出一般方阵化Jordon 标准型过程中的非奇异矩阵过渡的求法，从而从另一个角度来分析微分方程X ' = AX基解矩阵新的求解方法。
文【3】中，作者给出了常系数线性微分方程组新的求解方法。研究对基本方法作一些结构上的改进,以提高计算的效率。以广义特征向量链、指数矩阵和矩阵的秩为工具, 分三种情形讨论了重根情形下常系数线性微分方程组的解矩阵表示, 建立了统一的代数结构, 以说明方法的有效性。
本文主要研究以下具有两个不同阶的线性常微分方程组
x''y'=A11A12A21A22xy
其中， x∈Rn1， y∈Rn2， A11∈Rn1×n1，A12∈Rn1×n2， A21∈Rn2×n1，A22∈Rn2×n2
初始条件是：x0=x0， x'0=0， y0=y0
研究此方程组的解和基解矩阵，可推广到更一般的情形。
2、预备知识

定义1【4】：
设函数ft在t≥0上有定义，且积分Fs=0+∞f(t)e-stdt （s是复参变量）对复平面上某一范围的s收敛，则由这个积分所确定的函数可写为
Fs=0+∞f(t)e-stdt （2.1.1）
称为函数ft的拉普拉斯变换，简称为ft的拉氏变换，并记作Lf(t)，即
Fs=Lf(t)=0+∞f(t)e-stdt
在式（2.1.1）中的Fs称为 ft的像函数，ft称为 Fs的像原函数.
若Fs是ft的拉氏变换，则称ft为Fs的拉氏逆变换（或称为像原函数），记作
f(t)=L-1Fs
由式（2.1.1）可知，函数f(t)t≥0的拉氏变换，实际上就是函数ftu(t)e-βt 的傅式变换.
定义2【6】
n 级方阵A称为可逆的，如果有n 级方阵B，使得
AB=BA=E
这里的E是n 级单位矩阵.
如果矩阵B适合AB=BA=E，那么B就称为A的逆矩阵，记为A-1.
拉普拉斯变换的性质【5】
性质1（线性性质）设α，β是常数，F1s=Lf1(t), F2s=Lf2(t),则
Lαf1t+βf2t=αLf1t+βLf2t
L-1αf1s+βf2s=αL-1f1s+βL-1f2s
性质2（微分性质）若Lft=Fs,此处假设fnt存在且连续，则
Lf't=sFs-f0
Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-⋯-fn-10
性质3（积分性质）设Fs=Lft，则
L0tfτdτ=1sFs
性质4（位移性质）若Lft=Fs，则有
Leatft=Fs-a，Res-a>c0
性质5（延迟性质）若Lft=Fs，又t<0时ft=0，则对于任一非负实数τ，有
Lft-τ=e-sτFs
L-1e-sτFs=ft-τ
性质6（相似性质）设Lft=Fs，则对a>0有
Lfat=1aFsa Res>ac0
公式1【1】
如果A是一个n×n 常数矩阵，就定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和：
expA=k=0∞Akk!=E+A+A22!+⋯+Amm!+⋯
其中E为n阶单位矩阵，Am是矩阵A的m次幂.
公式2【1】
非齐次线性微分方程组x'=Ax+ft 的解就是
φt=expt-t0Aη+t0texpt-sAfsds
在这里A是n×n 常数矩阵，ft是已知的连续向量函数，φt0=η是初值条件.
3、主要结果

3.1拉普拉斯变换法：
主要研究以下形式的方程组
x''y'=A11A12A21A22xy (1)
期中，x∈Rn1，y∈Rn2，A11∈Rn1*n1，A12∈Rn1*n2， A21∈Rn2*n1，A22∈Rn2*n2
初始条件是：x0=x0， x'0=0， y0=y0
利用拉氏变换的微分性质
Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-⋯-fn-10.
先对方程组的两个方程两边取拉普拉斯变换：
设 Lxt=Xs， Lyt=Ys 并考虑到初始条件，则
Lx''t=s2Xs-sx0-x'0Ly't=sYs-y0
把初始条件代入里面整理化简为
Lx''t=s2Xs-sx0Ly't=sYs-y0
于是，我们就可以把方程组（1）写为以下形式:
A11A12A21A22XsYs=s2XssYs-sx0 y0
即： s2XssYs=A11A12A21A22XsYs+sx0 y0
⇒ s2XssYs-A11A12A21A22XsYs=sx0 y0
⇒ In1s200In2sX(s)Y(s)-A11A12A21A22X(s)Y(s)=sx0 y0
⇒ In1s2-A11-A12-A21In2s-A22XsYs=sx0 y0
其中，In1=1⋱1（其中未写出的元均为零），In1∈Rn1*n1；In2=1⋱1（其中未写出的元均为零），In1∈Rn2*n2；
⇒XsYs=In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1sx0 y0 (2)
下面求In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1
设A1A2B1B2In1s2-A11-A12-A21In2s-A22=In100In2 (3)
把（3）式整理、化简并计算的过程如下：
A1（In1s2-A11）+A2（-A12）A1-A12+A2In2s-A22B1（In1s2-A11）+B2（-A12）B1-A12+B2In2s-A22=In100In2
根据矩阵对应相等得到下面的四个等式：
A1（In1s2-A11）+A2-A12=In1 (4) A1-A12+A2In2s-A22=0 (5)
B1（In1s2-A11）+B2-A12=0 (6) B1-A12+B2In2s-A22=In2 (7)
再由上面的四个式子可以分别求解出A1，A2，B1，B2
先根据（4）和（5）两个式子把A1，A2求解出来，把（4）式的左右两边右乘（In1s2-A11）-1得到：
A1+A2-A12（In1s2-A11）-1=（In1s2-A11）-1
然后进行整理得：
A1=（In1s2-A11）-1-A2-A12（In1s2-A11）-1 (8)
再把（8）代入（5）中得到：
（In1s2-A11）-1-A2-A12（In1s2-A11）-1-A12+A2In2s-A22=0
化简得：
（In1s2-A11）-1-A12-A2-A12（In1s2-A11）-1-A12+A2In2s-A22=0
所以，通过整理、计算得到A2的解：
A2=（In1s2-A11）-1-A12
∙-A12（In1s2-A11）-1-A12-In2s-A22-1 (9)
再把计算出来的9，A2的结果直接带入（8）中来计算出A1
A1=（In1s2-A11）-1-（In1s2-A11）-1-A12
∙-A12（In1s2-A11）-1-A12-In2s-A22-1-A12（In1s2-A11）-1
再根据（6）和（7）两个式子把B1，B2求解出来.
把（7）式的左右两边乘以-A12-1得到：
B1+B2In2s-A22-A12-1=-A12-1
然后进行整理得到：
B1=-A12-1-B2In2s-A22-A12-1 （10）
再把代换出来的（10）代入（6）中得到：
-A12-1（In1s2-A11）-B2In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）+B2-A12=0
进行化简，通过整理、计算得到A2的解：
⇒B2=-A12-1（In1s2-A11）In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）--A12-1 （11）
再把计算出来的11，B2的结果直接带入（10）中来计算出B1
B1=-A12-1--A12-1（In1s2-A11）
∙In2s-A22-A12-1（In1s2-A11）--A12-1In2s-A22-A12-1
所以，我们就可以得到In1s2-A11-A12-A21In2s-A22-1=A1A2B1B2 （12）
然后把（12）带入到（1）中得到：
XsYs=A1A2B1B2sx0y0
即
XsYs=A1sx0+A2y0B1sx0+B2y0
上式两边取拉普拉斯逆变换得到：
xtyt=L-1A1sx0+A2y0B1sx0+B2y0
3.2化为一阶线性方程组：
把主要研究的以下形式的方程组
x''y'=A11A12A21A22xy (1)
期中，x∈Rn1，y∈Rn2，A11∈Rn1*n1，A12∈Rn1*n2， A21∈Rn2*n1，A22∈Rn2*n2
初始条件是：x0=x0， x'0=0， y0=y0
研究此方程组的解和基解矩阵，可推广到更一般的情形，将方程组中的二阶项化为一阶，利用一阶线性方程组的方法来求解。
x''y'=A11A12A21A22xy=A11x+A12yA21x+A22y
所以，原方程课变形为x''=A11x+A12yy'=A21x+A22y
令x1=x ， x2=x' ， x3=y，则元初值问题可化为：
x1'=x'=x2x2'=A11x1+A12x3x3'=A21x1+A22x3 且 x10=x0=x0x20=x'0=0y10=y0=y0
即：x'=010A110A12A210A22x
求出x'=010A110A12A210A22x 的基解矩阵.
因为 A=010A110A12A210A22=00000000A22+010000000+000A1100000+000000A2100+00000A12000这五个矩阵是可以交换的，我得到：
expAt=exp00000000A22t∙exp010000000t∙exp000A1100000t∙exp000000A2100t∙exp01000A12000t
下面先分别求出每一个矩阵级数的值：
exp00000000A22t
=100010001+00000000A22t+00000000A222t22+00000000A223t36
=100010001+A22t+00000000t22A222+00000000t36A223=100010001+A22t+t22A222+t36A223
exp010000000t
=100010001+010000000t+0100000002t22+0100000003t36=1t0010001
exp000A1100000t
=100010001+000A1100000t+000A11000002t22+000A11000003t36=100A11t10001
exp000000A2100t
=100010001+000000A2100t+000000A21002t22+000000A21003t36=100010A21t01
exp00000A12000t
=100010001+00000A12000t+00000A120002t22+00000A120003t36=10001A12t001
接着计算出矩阵指数 expAt 如下：
100010001+A22t+t22A222+t36A223∙1t0010001∙100A11t10001∙100010A21t01∙10001A12t001
=1t0010001+A22t+t22A222+t36A223∙100A11t10001∙100010A21t01∙10001A12t001
=1+A11t2t0A11t10001+A22t+t22A222+t36A223∙100010A21t01∙10001A12t001
=1+A11t2t0A11t10A21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223∙10001A12t001
=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223
所以解出了
expAt=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223
代入公式 φt=expt-t0Aη+t0texpt-sAfsds 得
φt=1+A11t2tA12t2A11t1A12tA21t+A212t2+t32A21A222+t46A22301+A22t+t22A222+t36A223∙x00y0
计算上面矩阵乘积如下：
φt=x0+A11t2x0+A12t2y0A11tx0+A12ty0A21tx0+A212t2x0+t32A21A222x0+t46A223x0+y0+A22ty0+t22A222y0+t36A223y0
4、应用实例

例 求解下面微分方程组
x''y'=1001xy
初始条件是：x0=1， x'0=0， y0=1
解 利用拉氏变换的微分性质
Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f'0-⋯-fn-10.
先对方程组的两个方程两边取拉普拉斯变换：
设 Lxt=Xs， Lyt=Ys 并考虑到初始条件，则
Lx''t=s2Xs-sx0-x'0Ly't=sYs-y0
把初始条件代入里面整理化简为
Lx''t=s2Xs-sLy't=sYs-1
于是，我们就可以把x''t，y't代入题目中得到如下形式：
1001XsYs=s2XssYs-s1
s2XssYs-1001XsYs=s1
⇒ s200sX(s)Y(s)-1201X(s)Y(s)=s1
⇒s2-100s-1 XsYs=s1
⇒XsYs=s2-100s-1-1s1 （13）
根据求解出来的（13）我们知道只要把s2-100s-1-1求解出来，便可以利用拉普拉斯逆变换解出此研究的问题.
下面求s2-100s-1-1
s2-100s-11001→10011s2-1001s-1
所以，s2-100s-1-1=1s2-1001s-1代入（13）中得到：
XsYs=1s2-1001s-1s1
解此方程组得到：
XsYs=ss2-11s-1
把它分别写出来为：
Xs=ss2-1Ys=1s-1
然后再取拉普拉斯逆变换得到：
xtyt=L-1ss2-11s-1
对于Ys=1s-1取它的逆变换便可以得出所求函数yt，故
yt=L-11s-1=et
对于Xs=ss2-1取它的逆变换便可以得出所求函数xt，故
xt=L-1ss2-1=ch t
所以，原方程组的解为xt=ch tyt=et

5、总结

线性微分方程组可以用拉普拉斯变换来解, 但是方程的个数要与未知函数的个数相同。首先要对方程组中的每一个方程进行拉普拉斯变换, 未知函数的变换可以由所得的方程组用代数方法解出, 也就是将求线性微分方程组的问题化为求解线性代数方程组的问题。最后再作拉普拉斯反变换, 可求出未知函数的解。
参考文献

[1]冯录祥. 基于Riccati 方程的一阶线性微分方程组的基解矩阵. 陕西宝鸡：宝鸡文理学院，1001 － 4926(2011)02 － 0015 － 05.
[2] 程开敏，冉思蜀. 常线性微分方程组的求解方法. 重庆万州：重庆三峡学院数学与计算机科学学院，1009-8135（2008）03-0076-04.
[3] 桑波, 伊继金, 刘文健. 常系数线性微分方程组的解矩阵. 山东聊城: 聊城大学数学科学学院，1673-5862.2010 .03 .006.
[4] 王高雄等编．常微分方程(第三版) [M]．北京：北京高等教育出版社，2006．7（2012．12重印）．
[5] 包革军，邢宇明，盖云英. 复变函数与积分变换（第三版）[ M] . 北京：科学出版社，2013.
[6] 王萼芳等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[7] 宋苏罗. 复变函数与积分变换 [ M] . 北京：国防工业出版社，2009.9.

致谢

在毕业论文的撰写过程中是徐登国老师耐心的指导下完成的，在此我要感谢那些在我论文撰写过程中帮助过我的老师和同学，尤其是我的论文指导老师徐登国老师。从选题那一刻开始，徐登国老师就不断的监督、督促着我，不论遇到什么困难，徐登国老师总是细心、耐心地指导我。在写论文过程中，徐老师不管工作量再怎么大，时间再怎么紧，总是抽时间细心地帮我看论文，指出其中的错误和不足，有时还兼顾我的时间安排。现在我的毕业论文顺利完成了，在此，我再次向徐登国老师表示衷心的感谢！
最后，我也要感谢开题报告给我意见和建议的郎开禄老师和陈静老师，是您们的建议让我在写论文的过程中更加顺利。在此，我再次向您们表示由衷的感谢！我还要感谢大学四年来给予我帮助和关心的老师和同学们。
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73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统
74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究
75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统
76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究
77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用
78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究
79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究
80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发
81. 基于Cygnal单片机的μC/OS-Ⅱ的研究
82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究
83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现
84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究
85. 基于单片机γ-免疫计数器自动换样功能的研究与实现
86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现
87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统
88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现
89. 单片机监测系统在挤压机上的应用
90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用
91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用
92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用
93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发
94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计
95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计
96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发
97. 锅炉的单片机控制系统
98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计
99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制
100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现
101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计
102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现
103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制
104. 基于ADμC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究
105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计
106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究
107. 单片机实现的寻呼机编码器
108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究
109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究
110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究
111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制
112. PIC单片机在空调中的应用
113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究
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