高考数学专题期末复习解析几何.doc

专题复习讲座（四）--------解析几何
俗话说：“知己知彼，才能百战百胜”，这一策略，同样可以用于高考复习之中。我们不仅要不断研究教学大纲、考试说明和教材，而且还必须研究历年高考试题，从中寻找规律，这样才有可能以不变应万变，才有可能在高考中取得优异成绩。纵观近几年的高考解析几何试题，可以发现有这样的规律：小题灵活，大题稳定。
一、解决解析几何问题的几条原则
1．重视“数形结合”的数学思想
2．注重平面几何的知识的应用
3．突出圆锥曲线定义的作用
二、解析几何中的一类重要问题
直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。
弦长问题：|AB|=。
弦的中点问题：中点坐标公式-----注意应用判别式。
三、高考解析几何解答题的类型与解决策略
Ⅰ.求曲线的方程
1．曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1 ：已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.
所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.
例2：在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给M O D N x
P
y
定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
例3 :M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：
P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.
当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。
这种方法叫做直接法。
O A x
B
C
例4 ：给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0
若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)。
当a=1时，方程表示抛物线弧；当0<a<1时，方程表示椭圆弧；当a>1时，方程表示双曲线一支的弧。
一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。
例5 ：已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 则
，代入
，得：(x-1)2+(y-1)2=1.
注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| |xP|=|xR2|代替，这样就简单多了。
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
1．有关最值问题
例6 :设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率e= ，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。
设椭圆方程为，则由e=得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.
设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:
|PQ|==(-byb).
若b<，则-<-b,当y=-b时|PQ|max=.
解得：b=->与b<矛盾；若b，则当y=-时|PQ|max=,解得:b=1,a=2.
2．有关范围问题
例7 （2001春季高考题）
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
,
所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。
例8 ：已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：.
分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。
由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上，所以，
，从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：

例9 (2000年高考题)
已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。
A O B x
D
C
y
E
分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
由,即(x0+c,y0)= (-x0,h-y0)得:x0=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得
将（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.
依题设得,解得.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
例10 已知抛物线y2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。
分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。
又=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：
0<p<.

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