高考数学一轮复习分层限时跟踪练54.doc

分层限时跟踪练(五十四)
(限时40分钟)

一、选择题
1．(2014·江西高考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【解析】　掷两颗骰子，点数有以下情况：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，
共36种，其中点数和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，故所求概率为＝.
【答案】　B
2.(2015·广东高考)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(　　)
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【解析】　记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．
故其概率为P(A)＝＝0.6.
【答案】　B
3.(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
【答案】　C
4．(2014·陕西高考)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　取两个点的所有情况有10种，两个点距离小于正方形边长的情况有4种，所以所求概率为＝.故选B.
【答案】　B
5．(2015·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．
因为m⊥n，即m·n＝0，
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，
故所求的概率为.
【答案】　A
二、填空题
6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
【解析】　从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为.
【答案】　
7．(2015·唐山模拟)一枚质地均匀的正方体玩具，四个面标有数字1，其余两个面标有数字2，抛掷两次，所得向上数字相同的概率是________．
【解析】　由题意知抛掷两次向上的数字情况为16个(1,1)，8个(1,2)，8个(2,1)，4个(2,2)，故所求概率P＝＝.
【答案】　
8．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．
【解析】　若a＝0，则b＝－1,0,1,2，此时(a，b)的取值有4个；
若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9个．
∴(a，b)的个数为4＋9＝13.
【答案】　13
三、解答题
9．(2015·衡水模拟)随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图10­2­3，其中甲班有一个数据被污损．

图10­2­3
(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm，求污损处的数据；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
【解】　(1)设甲班的未知数据为a，由＝＝170，
解得a＝179，所以污损处的数据是9.
(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A，
从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学有：{181,173}，{181,176}，{181,178}，{181,179}，{179,173}，{179,176}，{179,178}，{178,173}，{178,176}，{176,173}，共10个基本事件，
而事件A有{181,176}，{179,176}，{178,176}，{176,173}，共4个基本事件，
所以P(A)＝＝.
即身高为176 cm的同学被抽中的概率为.
10．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
【解】　(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“A1被选中且B1未被选中”，所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

1．(2015·商丘二模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】　f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.
【答案】　D
2．(2015·石家庄一模)某单位计划在3月1日至7日举办人才交流会，某人随机选择其中的连续两天参加交流会，那么他在1日至3日期间连续两天参加交流会的概率为(　　)
A. B. C. D.
【解析】　在1日至7日选连续两天，有基本事件：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，共6个，
符合条件的基本事件：(1,2)，(2,3)，共2个，
∴所求概率P＝＝，故选B.
【答案】　B
3．袋中有形状和大小都相同的小球5个，球的编号依次为1,2,3,4,5，从袋中依次取三次球，每次取1个球，取后放回，若每个球被取出的可能性均等，则取出的球的最大号码为3的概率为________．
【解析】　根据题意，从袋中依次有放回地取三次球，有5×5×5＝125 (种)情况；为求出取出的球的最大号码为3的情况数目，用间接法：先算只有1,2,3三个球的情况，再排除其中只有1,2的情况，则取出的球的最大号码为3的情况有33－23＝19(种)，则其概率为.
【答案】　
4．若将(x－a)(x－b)逐项展开得x2－ax－bx＋ab，则x2出现的概率为，x出现的概率为，如果将(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)(x－e)逐项展开，那么x3出现的概率为________．
【解析】　(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)(x－e)的展开式共有25＝32项(未合并同类项之前)，其中要出现x3项的话，就要在5个括号中选择3个x相乘，其余的2个括号都不选x，因此共有10种不同的情况，即在(x－a)(x－b)(x－c)(x－d)(x－e)的展开式中含有10个x3项，故所求概率为＝.
【答案】　
5．(2015·四川高考)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1

(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
【解】　(1)余下两种坐法如下表所示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A)＝＝.
即乘客P5坐到5号座位的概率是.
6．(2016·宁德二模)某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过20分钟，则学校推迟5分钟上课．为此，校方随机抽取100个非住校生，调查其上学路上单程所需时间(单位：分钟)，根据所得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)从统计学的角度说明学校是否需要推迟5分钟上课；
(3)若从样本单程时间不小于30分钟的学生中，随机抽取2人，求恰有一个学生的单程时间落在[40,50]上的概率．

图10­2­4
【解】　(1)时间分组为[0,10)的频率为1－10×(0.06＋0.02＋0.003＋0.002)＝0.15，
∴a＝＝0.015，所以所求的频率直方图中a的值为0.015.
(2)100个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：
x＝0.15×5＋0.6×15＋0.2×25＋0.03×35＋0.02×45＝16.7，
因为16.7<20，所以该校不需要推迟5分钟上课．
(3)依题意满足条件的单程所需时间在[30,40)中的有3人，不妨设为a，b，c，
单程所需时间在[40,50)中的有2人，不妨设为A，B，
从单程所需时间不小于30分钟的5名学生中，随机抽取2人共有以下10种情况：
(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的有以下6种：(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，
故恰有一个学生的单程所需时间落在[40,50]中的概率P＝＝.