热点探究课三角函数与解三角形中高考热点问题.doc

热点探究课(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题
[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．
热点1　三角函数的图象与性质(答题模板)
要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．
　(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
[思路点拨]　(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期．
(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值．
[规范解答]　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)3分
＝cos x＋sin x＝2sin，5分
于是T＝＝2π.6分
(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.8分
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，10分
∴g(x)＝2sin∈[－1,2].11分
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.12分
[答题模板]　解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：
第一步(化简)：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．
第二步(用辅助角公式)：构造f(x)＝·.
第三步(求性质)：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．
第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[温馨提示]　1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin α＋bcos α＝ sin (α＋φ)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注.
2．求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．
[对点训练1]　(2016·石家庄模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.2分
又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，4分
所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．
故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.5分
(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z).7分
由≤k＋≤，解得≤k≤，9分
又k∈Z，知k＝5，10分
由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.12分
热点2　解三角形
从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．
　(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
(1)求；
(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．
[解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，
S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.2分
因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.
由正弦定理，得＝＝.5分
(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.7分
在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.9分
故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.
由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.12分
[规律方法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．
[对点训练2]　(2016·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.
(1)求B；
(2)若cos A＝，求sin C的值．
[解]　(1)在△ABC中，由＝，
可得asin B＝bsin A．2分
又由asin 2B＝bsin A，得
2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，
所以cos B＝，得B＝.5分
(2)由cos A＝，可得sin A＝，则
sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
＝sin A＋cos A＝.12分
热点3　三角恒等变换与解三角形的综合问题
以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．
　(2017·东北三省四市一联)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝.
(1)求的值；
(2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．
[解]　(1)由题意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，2分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin Acos C)．
∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)．
∵A＋B＋C＝π，
∴sin A＝2sin B，∴＝2.5分
(2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0，
∴b>.　①7分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，　②
由①②得b的范围是(，3).12分
[规律方法]　1.以三角形为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理．
2．解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件)，此时应首先确定三角形的边角关系，然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化．
[对点训练3]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan ＝2.
【导学号：31222140】
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
[解]　(1)由tan＝2，得tan A＝，
所以＝＝.5分
(2)由tan A＝，A∈(0，π)，得
sin A＝，cos A＝.7分
由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3.9分
由sin C＝sin(A＋B)＝sin，得sin C＝.
设△ABC的面积为S，则S＝absin C＝9.12分
热点探究训练(二)
三角函数与解三角形中的高考热点问题
1．(2016·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos的值．
[解]　(1)因为cos B＝，0<B<π，
所以sin B＝＝＝.2分
由正弦定理知＝，
所以AB＝＝＝5.5分
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，
于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos
＝－cos Bcos ＋sin Bsin .7分
又cos B＝，sin B＝，
故cos A＝－×＋×＝－.9分
因为0<A<π，所以sin A＝＝.
因此，cos＝cos Acos ＋sin Asin
＝－×＋×＝.12分
2．(2016·山东高考)设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．
[解]　(1)f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1，3分
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).6分
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，8分
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin＋－1的图象，
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1，
所以g＝2sin ＋－1＝.12分
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝，sin(A＋B)＝，ac＝2，求sin A和c的值．
[解]　在△ABC中，
由cos B＝，得sin B＝，2分
因为A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝，4分
又sin C<sin B，
所以C<B，可知C为锐角，
所以cos C＝，
所以sin A＝sin(B＋C)
＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝.8分
由＝，
得a＝＝＝2c，
又ac＝2，所以c＝1.12分
4．(2017·郑州二次质量预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
[解]　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝2，3分
化简得sin A＝，故A＝或A＝.5分
(2)由正弦定理＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，7分
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin
＝3sin B－cos B＝2sin.9分
因为b≥a，所以≤B<，≤B－<，
所以2b－c＝2sin∈[，2).12分