高考数学专题复习讲练测——专题一专题复习导引重视教学思想.doc

2重视数学思想一、复习要点常用的数学思想主要有：函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想1函数思想 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法 函数思想的应用主要有：在求变量的取值范围时，考虑能否把该变量表示为另一变量的函数，从而转化为求该函数的值域；构造函数是函数思想的重要体现；运用函数思想要抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，从而更快更好地解决问题 2数形结合思想 空间形式和数量关系是初等数学研究的两个主要方面在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开根据辩证统一的思想，“数”和“形”在一定的条件下可以相互换化、相互渗透也就是说，代数问题可以几何化（借形辅数），几何问题也可以代数化（以数促形）这样，既能避免繁杂冗长的推理与运算，又能沟通数学各分支之间的内在联系我们把这种解决问题的方法称之为数形结合的思想 数形结合思想的本质是：数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系 3分类讨论思想 自从初中引入字母表示数以来，分类讨论便逐渐渗透于整个中学数学了解决分类讨论问题的关键是找出分类的动机，即为什么分类；找出分类的对策，即怎样分类 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下四个方面： （1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论； （2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论； （3）由图形的不确定性引起的讨论； （4）由于题目含有参数而引起的讨论 分类讨论的解题步骤一般是： （1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全域； （2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复； （3）逐类（或逐段）讨论，分级进行； （4）归纳总结作出整个题目的总结 需要指出的是，并非含有参数的问题都需要讨论，讨论有时也可以回避含有参数的问题，并非解题一开始就要进行讨论，何时讨论?一般来说，当它影响我们往下解题时，便可考虑对其进行讨论 4等价转化 等价转化是指同一命题的等价形式可以通过变更问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现等价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍是原来要求的结果 等价转化是使用最多的一种化归，但也并非是永远可行的数学解题有时还必须施行某些非等价转化来促使问题的解决非等价转化时，易出现“翻译”失真，必须对“失真”部分另作处理，才能获得原问题的完全解决尽管如此，非等价转化仍不失为一种极有用的数学化归方法，运用得当不但可使解题成功，还能起到等价转化时所无法解决的作用 常用的转化策略主要有：已知与未知的转化；正向与反面的转化；数与形的转化；一般与特殊的转化；复杂与简单的转化 二、例题讲解 例1设且0，抛物线2被轴截得的弦长为，求证： 2 讲解：由于弦长随变量、的变化而变化，所以若能建立关于、的函数关系，那么结论相当于确定该函数的值域 为了确定函数的值域，需要做好三件事：一是求函数的解析式，这可利用弦长公式和韦达定理来完成；二是化多元函数为一元函数，也就是实施减元的策略，可考虑应用条件0；三是确定这个一元函数的定义域，可利用条件及0 ，且0， 0，0 440 故方程20必有两个不相等的实根、，即抛物线2与轴必相交，且两个交点的横坐标分别为、从而有 （）4（2）4（）4（）（） 由于0、0，而的正负不能确定，所以可将（）代入消去 4（）（）4（）（）14（12）3 显然，是关于（）的二次函数，下面确定该函数的定义域，也就是（）的取值范围 ，且0， 22， 即202， 2（）（12） 又4（）（12）3在（2，（12）上是减函数， 312，故2 例2求函数（，）（3）（27）的最小值 讲解：观察函数表达式的结构，不难看出，它具有两点间距离的平方这一特点，所以本题可从数形结合的角度考虑来解决 图1-1设A（，）、（3，27），则A点的轨迹为半圆1（0），B点的轨迹为双曲线9（0）位于第一象限的那一支（如图1-1）连结OA、，则 设OB交半圆于C点，则，从而有 因此，的最小值即为1的最小值 设B（，），则3，当且仅当3，即B点在（3，3）时，取得最小值为2 31 故（a,b）（31）196 例3设函数（），其中0 （1）解不等式（）1； （2）求的取值范围，使（）在区间0，）上是单调函数 讲解：（1）不等式（）1，即为1 这是一个标准的无理不等式，若按无理不等式的一般解法，需分类讨论但若注意到11，则可避免一次讨论 1，11，即0 又0，0 这时，原不等式等价于不等式组（1（1），0，即0，（1）2当01时，原不等式的解集为0，2（1）； 当1时，原不等式的解集为0，） （2）设0，则 （）（）（） （）（）（） 1当1时， 0， （）（）1， （）（）0 又0， （）（）0，即（）（） 故当1时，（）在区间0，）上是减函数 2当01时， 在区间0，）上存在两个实数2（1），0，使0，且满足（）（）1，所以（）在0，）上不是单调函数 综上所述，当且仅当1时，函数（）在0，）上是单调函数 说明：（）虽然我们一开始就通过挖掘题目的隐含条件1，避免了一次大规律的讨论，但是两个小题还都各进行了一次小范围内的讨论（）本题也可以应用数形结合的思想来解决，留给读者去完成 例4对任意的1，1，函数（）（4）42的值总大于零，求的取值范围 讲解：本题看上去是一个关于的二次不等式问题，可通过讨论求解但若仔细观察，可将变量的函数（）转化为参数的新函数（），且（）是关于的一次函数 设（）（2）44 当1，1时，（）0恒成立，（1）0，（1）0，即（2）440，（2）440解得1或3 故所求的取值范围是（，1）（3，） 说明：本题通过主变量与参变量的转化，抓住了问题的本质，寻找到了解题的最佳切入点；又通过数和形的转化，建立了关于的不等式，简化了解题过程 三、专题训练 1已知关于的不等式的解集为（0，4，则实数的取值范围是（） 00 00 2对每个实数，设（）为41、2和24三个函数中的最小值，那么函数（）的最大值是（） 13238352 3函数（）的值域是（） 4，2，04，2，0 4，2，04，4，0，2 4当1时，函数（）21的值有正也有负，则实数的取值范围是（） （1，（13）（1，） （13），） （，1）（13），） 5若三条直线20、30、50在坐标平面上不能构成三角形，则实数的所有取值之和为_ 6设（）（）（），当取最大值时，_ 7已知20，30，且（6），（6），则 （238）_ 8已知实数、满足（3）（2）（1），求的取值范围 9已知集合（，）20，（，）10，且02如果，求实数的取值范围 10设（）是定义在区间（，）上以2为周期的函数对，用表示区间（21，21，已知当时，（） （1）求（）在上的解析表达式； （2）对自然数，求集合使方程（）在上有两个不相等的实根5 / 5