浙江省十二校新高考研究联盟2012届第一次联考数学试题.doc

浙江省十二校新高考研究联盟2012届第一次联考
数学（理科）试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件,互斥，那么 棱柱的体积公式

如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高
棱锥的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示棱锥的底面积,表示棱锥的高
棱台的体积公式
球的表面积公式
球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积,
其中表示球的半径 表示棱台的高
第I卷（选择题 共50分)
一、选择题(共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上.）
1．已知函数则 （ ）
A． B． C． D．
2．设则 是“”成立的 ( ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件
3．设是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( ）
A．过且与平行的平面有且只有一个
B．过且与垂直的平面有且只有一个
C．与所成的角的范围是
D．过空间一点与、均平行的的平面有且只有一个
4． 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数。给出四个函数: ，，，。 则“同形”函数是 ( )
开始

否

是
输出
结束
(第5题)
A．与 B．与
C．与 D．与
5．右面的程序框图输出的数值为 ( )
A．　 B．
C． D．
6．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为，则为 ( )
O

x
ｙ
２
A．1 B． C．2 D．
7．是双曲线的右支上一点，点分别是圆和上的动点，则的最小值为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．4
8．函数 的部分图象
如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
（第8题)
9．已知集合

若存在，使得，则的最大值是 ( ）
A． B． C. D。
10。 已知函数与函数有一个相同的零点，则与
A．均为正值 B．均为负值 C。 一正一负 D。 至少有一个等于 ( )
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本题共7道小题，每题4分,共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）
俯视图
正视图
侧视图
1
1
（第12题）
1
2
11．复数的模是_______。
12．已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为 。
13．正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为,侧棱与底面所成的角为，则 。
14．二项式的展开式中，常数项的值为 .
15．如果一个平面与一个圆柱的轴成()角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当时,椭圆的离心率是 。
16．设函数若不存在，使得与同时成立,则实数的取值范围是 .
17．已知三点不共线，其中. 若对于的内心，存在实数，使得，则这样的三角形共有 个.

三、解答题（本大题共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：
18．（本题满分14分）设函数
(Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值是的集合;
（Ⅱ）已知中，角的对边分别为若求的最小值。

19．（本题满分14分）已知数列，满足：,当时，；对于任意的正整数,．设的前项和为。
(Ⅰ）计算,并求数列的通项公式；
（Ⅱ）求满足的的集合.
20题
20．（本题满分14分） 如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点,过三点的平面交于，交于
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当平面平面时，求的值.

21题
21．（本题满分15分）如图，已知点，点是⊙：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.
(Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）已知⊙：（)的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证:对于任意一条切线总有。

22．（本题满分15分）已知函数(常数）。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ)设如果对于的图象上两点，存在，使得的图象在处的切线∥,求证：.

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考
数学(理科）答题卷
题号
一
二
三
总分
1~10
11～17
18
19
20
21
22
得分

学好

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题:本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在下面横线上。

11、 12、
13、 14、
15、 16、 17、
三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
18、(本小题满分14分）

19、（本小题满分14分）

20题

20、（本小题满分14分）

21题
21、(本小题满分15分）

22、（本小题满分15分)

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考试题
数学（理科)答案及评分标准
一、选择题：BCADB BCACD
二、填空题:11 12 13 14
15 16 17 30
三、解答题c
18（Ⅰ）
……………………
的最大值为……………………分
要使取最大值，
故的集合为 ……………………分
注：未写“”扣1分;结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分。
(Ⅱ）由题意，，即
化简得……………………分
，，只有,…………………分
在中,由余弦定理,……………分
由知，即，当时取最小值……………分
注:不讨论角的范围扣1分。
19（Ⅰ）在中，取，得，又，,故同样取可得……………………分
由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为，而，故是公差为的等差数列,……………………分
注:猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分。
(Ⅱ)在中令得……………………分
又，与两式相减可得：,,即当时，
经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分
。

相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得:……………………11分
可见,，……………………12分
经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分
20（Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面;…………2分
是平面与平面的交线,所以∥,故∥;…………4分
而在平面外，所以∥平面……6分
注：不写“在平面外"等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分。
（Ⅱ)解法一：取中点、中点则由∥知在同一平面上,并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线,因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………10分
于是,∽
…………12分
即…………14分
注:几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.
(Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点。 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系。
则在平面中，，
向量
设平面的法向量，则由
即
得……………………9分
在平面中,，向量
设平面的法向量，由
得……………………12分
平面平面，，即……………………14分
注:使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分。
图1
21、（I）由题意，，
∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，
∴曲线C的轨迹方程是。………………分

（II)先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则
由与⊙O相切得 即
①……………7分
由，消去得，,
设，,则由韦达定理得
，……………………9分
图2

②……………………10分
由于其中一条切线满足，对此
结合①式可得…………………………………………12分
于是，对于任意一条切线，总有，进而
故总有。 …………………………………………14分
最后考虑两种特殊情况:（1）当满足的那条切线斜率不存在时,切线方程为
代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到,同上可得:任意一条切线均满足;(2）当满足的那条切线斜率存在时,，，对于斜率不存在的切线也有.
综上所述,命题成立。 …………………………………………15分

22、（I)的定义域为
…………………………。.………。。…….2分
①时，的增区间为，减区间为
②时，的增区间为，减区间为
③时，减区间为
④时，的增区间为，减区间为…………6分

（II）由题意

又：………………………….。…………….9分
（）在上为减函数
要证，只要证
即， 即证……………。.。。……。13分
令 ,
在为增函数

，即
即
得证………………………..………15分