高数第一章例题及答案(终)理工类吴赣昌.doc
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1、第一章函数、极限与连续内容概要名称 主要内容函数邻域(即 )()函数两个要素:对应法则以及函数的定义域由此,两函数相等两要素相同;(与自变量用何字母表示无关)解析表示法的函数类型:显函数,隐函数,分段函数;特性局部有界性对集合,若存在正数,使对所有,恒有,称函数在上有界,或是上的有界函数;反之无界,即任意正数(无论多大),总存在(能找到),使得局部单调性区间,对区间上任意两点,当时,恒有:,称函数在区间上是单调增加函数;反之,若,则称函数在区间上是单调减小函数;奇偶性设函数的定义域关于原点对称;若,恒有,则称是偶函数;若,恒有,则称是奇函数;周期性若存在非零常数,使得对,有,且,则称是周期函数
2、;初等函数几类基本初等函数:幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数;反函数求法和性质;复合函数性质;初等函数课后习题全解习题1-1 1求下列函数的定义域:知识点:自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合;思路:常见的表达式有 ,( ) , ( ) ()等解:(1); (2); (3); (4); (5); 2下列各题中,函数是否相同?为什么?(1) 与;(2)与知识点:函数相等的条件;思路:函数的两个要素是(作用法则)及定义域D(作用范围),当两个函数作用法则相同(化简 后代数表达式相同)且定义域相同时,两函数相同;解:(1)的定义域D=,的定义域,虽然作用法则
3、相同,但显然两者定义域不同,故不是同一函数; (2),以为自变量,显然定义域为实数;,以为自变量,显然定义域也为实数;两者作用法则相同“”与自变量用何记号表示无关,故两者为同一函数; 3设,求,并做出函数的图形知识点:分段函数; 思路:注意自变量的不同范围;解:,;如图:图1-1-3 4试证下列各函数在指定区间内的单调性 : (1) (2),知识点:单调性定义。单调性是局部性质,函数在定义域内不一定有单调性,但是可以考查定义域的某个子区间上函数的单调性的问题 。思路:利用单调性的定义即可。解: (1)设,当时,由单调性的定义知是单调增函数;(2)设,由,知,故(对数函数的性质),则有, 得结论
4、是单调增函数; 5设为定义在内的奇函数,若在内单调增加,证明:在内也单调增加知识点:单调性和奇偶性的定义。思路:从单调增加的定义出发,证明过程中利用奇函数的条件;证明:设, 则,由在内单调增加得,又为定义在内的奇函数,则(1)式变形为,即,则结论成立。 6设下面所考虑函数的定义域关于原点对称,证明:(2) 两个偶函数的和仍然是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(3) 两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数。知识点:函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质。 本题可作为结论应用。思路:按定义证明即可。证明:设函数定义域分别是(是关于原点对称区间);(1)设,
5、定义域为,显然也关于原点对称,当均为偶函数时, 得为偶函数;当均为奇函数时,得为奇函数;(2)令,定义域为,关于原点对称, 当均为奇函数时,得为偶函数; 当均为偶函数时,得为 偶函数;当为一奇一偶时, 得为奇函数; 7下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数?(1); (2); (3);(4) 。知识点:函数奇偶性定义,奇偶性是函数的整体性质; 思路:按定义证明,尤其先判断函数定义域是否关于原点对称,并利用基本初等函数的性质;解: (1),显然既不等于,也不等于,故是非奇非偶函数;下面三个函数的定义域为全体实数,关于原点对称(2),故是偶函数;(3),故是偶函数; (4)
6、,故是奇函数; 8下列各函数中哪些是周期函数?并指出其周期:(1); (2); (3)。知识点:函数周期性。思路: 利用定义,及基本初等函数性质,或已知结论,可按已知结论(如弦函数,则最小正周期,切函数也有类似结论)。解: (1)由弦函数周期公式知最小正周期;(2)对正数 ,而切函数周期是的整数倍,故本题函数不是周期函数;(3),则最小正周期9证明:在上是无界函数;知识点:无界函数定义。思路:证明函数在某区间上是无界的,只需证对(无论有多大),使其函数值即可。证明:对于任意正数,要使, 考虑当, 要使,只要),取(无论有多大),使得 ,在上是无界函数(注1:取值只要并且确保即可,因此取也可;注
7、2:数学符号“”表示“任意”;“”表示“存在”;“”表示“使得”。) 10火车站行李收费规定如下:当行李不超过50kg时,按每千克3/20元收费,当超出50kg时,超重部分按每千克1/4元收费,试建立行李收费(元)与行李重量之间的函数关系式。知识点:函数关系的建立。思路:认清变量,关键是找出等量关系。解:。 11收音机每台售价为90元,成本为60元,厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购超过100台的,每多订一台,售价就降低一分,但最低价为每台75元a) 将每台的实际售价表示为订购量的函数;b) 将厂方所获得利润表示成订购量的函数;c) 某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少? 知识点:函
8、数关系的建立,以及经济函数; 。思路:分清变量及函数关系,经济函数关系总利润(总收入)(总成本)。解:售价恰好降到75元时需订购的台数位,则(1):。(2):(3)(元)。习题1-2 1求下列函数的反函数:(1) ; (2) ;知识点:反函数求法;思路:解出的过程即为求反函数的过程,直接函数的因变量变为反函数的自变量;解:(1)(习惯上自变量用字母表示)(2)。 2设,求,;知识点:分段函数的定义;思路:代入即可;解: 3设函数,求,知识点:复合函数定义;思路:逐层代入即可:解: ,;,4设,求和。知识点:函数的复合;思路:同上题,逐层代入即可。解: , (); ,定义域 。 5已知,求。知识
9、点:函数复合;思路:换元法令(此种方法要求易解),、分别用、代;换元法将的表达式化成用表达的式子(需要技巧),再令代换;解: 用法:,令(自变量与用何字母表示无关)。 6设的定义域是,求:(1) ; (2); (3) () (4)知识点:复合函数的定义域;思路:的定义域是,表明若有,则;解:(1);(2)(3),当时,即时,结果为; 当时,结果为; (4) 7设,求:(1)的定义域; (2)知识点:函数定义域及函数复合;思路:略。解:(1) ,故定义域为全体实数; (2) 8 , ,求 及其定义域; 知识点:函数的复合及定义域; 解: , 的自然定义域为,即 内容概要名称 主要内容(1.3,1
10、.4,1.5)1.3数列极限数列极限定义():任意给定正数(无论多小),总存在正整数,使得对于时的一切,总有成立,则;数列极限的性质: 极限的唯一性;收敛数列必有界;收敛数列的保号性;子数列收敛性;1.4函数的极限函数极限定义函数当大于某正数时有定义,如果对任意给定正数(无论多小),总存在正数,使对满足的一切,总有函数在的某一去心邻域有定义,如果对任意给定正数(无论多么小),总存在正数,使对满足的一切,总有单侧极限且单边极限且函数极限的性质:唯一性,有界性,保号性,子序列的收敛性;1.5无穷小与无穷大(以)为例无穷小定义:极限为零的变量(函数);定理:定理函数表示:无穷小性质:1.的充要条件是
11、,其中是当 时的无穷小;2.有限个无穷小的和仍是无穷小;3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小;无穷大定义:任意给定正数(无论多大),当(即存在正数,当 时),总有;正无穷大,负无穷大统称为无穷大;无穷大一定是无界变量,但无界不一定是无穷大;习题1-3 1观察一般项如下的数列的变化趋势,写出它们的极限:(1); (2); (3); (4);(5)知识点:数列定义。思路:写出前几项,观察规律。解:(1); (2); (3); (4); (5) 。2利用数列极限定义证明:(1) (为正常数); (2); (3)。知识点:极限定义。思路:按定义即可。证明:(1) :对任意给定的正数,要使,即,只要取,则
12、对任意给定的,当时,就有,即(注,只要保证的取值能够让以后的所有项的值满足式即可,因此可取大于或等于的整数);(2):对任意给定的正数,要使,只要,取,则对任意给定的,当时,就有, (3) 证明:由于,因此对任意给定的正数,要使,只要,即(计算时为方便不妨设,因为前面的有限项对极限无影响)取,则对任意给定的,当时,就有, 3设数列的一般项。问求出,使得当时,与其极限之差的绝对值小于正数。当时,求出。知识点:数列极限定义思路:按极限定义即可解: 观察可得: ,证明该结果如下:由于,因此对任意给定的正数,要使,只要,即,取(取大于或等于的整数都可以),则对任意给定的,当时,就有 ,。 当时,可取。
13、 4设,证明数列没有极限。知识点:判定数列极限不存在的方法思路:若某数列极限为,则其任意子列的极限都为,因此,若某两个子列极限不同,则说明原数列极限不存在。证明:令,则得子列,当时,;则;取另一个子列,得,当时,则;综上,原极限不存在。 5设数列有界,又,证明:。知识点:数列有界及数列极限定义思路:有条件可知;,如何让两者结合,证明成立,是解决问题的关键。证明:数列有界,则存在正常数,使对任意,都有,则; ,则对任意正数,存在,当时,有; 则对于任意正数,取,由可知:存在自然数,当时,有,从而有:, 6对数列,若,证明。知识点:子列极限和原数列极限的对应关系;思路:对,根据条件,寻找使成立的的
14、范围。证明:对于,由,则存在,当时,; 由,则存在,当时,;取,当时,(无论还是)都有,即。习题1-4 1在某极限过程中,若有极限,无极限,试判断:是否必无极限。知识点:函数极限性质思路:举例说明即可解:可能有极限,举例如下: 令,不存在,但;2用函数的极限定义证明:(1); (2) (3); (4)知识点:函数极限定义思路:对于,找出符合要求(比如(1)中要求)的范围,即找到描述自变量范围的或;为了找到或,有时需要对不等式作适当的放缩。证明:(1)任意正数,要使即; 只要取, 当时,有,即;(2) 任意正数,当 ,即时,取,当时(因为已知),有,即 (3)由于 (为找到中的,不妨将范围限制在
15、内,因为时的极限,只和附近的所对应的函数值有关)不妨设,则,则,对任意正数,要使,只要, 取,当时,与同时成立,有 (4) ,不妨设,则,则,对任意正数,要使,只要,取,当时, 3当时,问等于多少,使得当时,?知识点:函数极限定义思路:由于考察的是时函数的极限,所以不妨在(即)范围内讨论,这样的方法在极限证明中经常用到。解: (不妨设),则 ,要使只要 取,则当时,(注:还可选取比小的数,只要保证即可) 4求知识点:数列极限;解:(所用到的性质见第六节); 5讨论函数当时的极限。知识点:左右极限;思路:求分段函数在分段点处的极限,首先要分别求出左右极限;又且解: ,; ;不存在 6证明:如果函
16、数当时的极限存在,则函数在的某个去心邻域内有界。知识点:函数极限和局部有界的定义证明:设,则对于任意正数,存在正数,当时,有 , 即,取,则;当时,。 7判断是否存在,若将极限过程改为呢? 知识点:函数极限,以及指数函数性质(图像)解:;(严格来说要再用极限定义证明,但可省略,下同);,故不存在习题1-5 1判断题:(1) 非常小的数是无穷小;(2)零是无穷小;(3) 无穷小是一个函数; (4)两个无穷小的商是无穷小; (5) 两个无穷大的和一定是无穷大; 知识点:无穷小,无穷大的定义和性质;思路:略。解:(1)错,因为无穷小是指极限为0的变量,而不是非常小的数。(2)对,因为0的极限为0,所
17、以0是无穷小,只有零作为常函数的的时候才是无穷小,其他常数都不可能是无穷小 (3)对 (4)错,两个无穷小的商未必是,例如 (5)错,如:时,及,都是无穷大,但是无穷小,而是无穷大 2指出下列哪些是无穷小量,哪些是无穷大量(1) ; (2); (3)知识点:无穷小,无穷大的定义;思路:求出极限即可(并利用无穷小倒数是无穷大的结论)解:(1)是无穷小量; (2)是无穷小量; (3),则是无穷大量; 3根据极限定义证明:为时的无穷小;知识点:函数极限定义; 思路:按定义证明;证明:即要证:由于,对任意正数,当时,就有,则取,当时,证毕。 4求下列极限并说明理由:(1); (2) ; (3) ;知识
18、点:无穷小和无穷大的关系;思路:先将函数作一定的化简;解:(1) (依据无穷大的倒数是无穷小)(2)(3),又无穷小的倒数是无穷大,故。5函数在内是否有界?当时,函数是否为无穷大?为什么?知识点:函数有界的定义及无穷大的定义;无穷大一定是无界的,但无界未必无穷大;本题为无界变量不是无穷大的典型例子。思路:证明不是无穷大,只需要找到时,函数的一个无穷子列,其极限不是无穷大即可。解:对任意,总可以取,有在上是无界的; 又因为当时,;此时,不是时的无穷大6设时,是有界量,是无穷大量,证明:是无穷大量。知识点:函数局部有界和无穷大的定义。思路:可利用不等式,及已知条件:是有界量,是无穷大量,证明结论。
19、证明:时,是有界量,知存在正常数及,当时,; 对任意常数(无论有多大),不妨设,时,是无穷大量,对于,存在正常数,当时, ; 综上,无论多大,总可以取,当时,和同时成立;则有成立,即是无穷大量。 7设时,(是一个正的常数),是无穷大量,证明:是无穷大。知识点:无穷大的定义;证明:是无穷大量,则对任意,存在正常数,当时, ,又,这时,由的任意性,知是无穷大。内容概要名称主要内容(1.6,1.7,1.8,1.9)1.6极限运算法则1极限四则运算性质;2复合函数极限运算法则; 3求极限的其他技巧:如约掉非零的无穷小或分子(分母)有理化;利用定理:有界量与无穷小的乘积为无穷小1.7极限存在准则,两个极
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