2022版高考数学一轮复习-课时质量评价21-任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版.doc
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2022版高考数学一轮复习 课时质量评价21 任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版 2022版高考数学一轮复习 课时质量评价21 任意角、弧度制与任意角的三角函数新人教A版 年级: 姓名: 课时质量评价(二十一) (建议用时:45分钟) A组 全考点巩固练 1.设θ是第三象限角,且=-cos ,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 B 解析:因为θ是第三象限角,所以是第二或第四象限角.因为=-cos ,所以cos <0.所以是第二象限角. 2.若α=k·360°+θ,β=m·360°-θ(k,m∈Z),则角α与β的终边的位置关系是( ) A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.关于y轴对称 C 解析:角α与θ终边相同,β与-θ终边相同.又角θ与-θ的终边关于x轴对称,所以角α与β的终边关于x轴对称. 3.(2020·百校联考高考考前冲刺(二))已知O为坐标原点,角α的终边经过点P(3,m)(m<0),且sin α=m,则sin 2α=( ) A. B. C.- D.- C 解析:根据题意,得sin α==m,解得m=-1,所以P(3,-1),所以sin α=-,cos α=,所以sin 2α=2sin αcos α=-. 4.(2020·北京卷)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是( ) A.3n B.6n C.3n D.6n A 解析:单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为=,每条边长为2sin . 所以,单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin . 单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan,其周长为12ntan . 所以2π==6n, 则π=3n.故选A. 5.(2020·潍坊一模)在平面直角坐标系xOy中,点P(,1).将向量绕点O按逆时针方向旋转后,得到向量,则点Q的坐标是( ) A.(-,1) B.(-1,) C.(-,1) D.(-1,) D 解析:设以射线OP为终边的角为α,以射线OQ为终边的角为β,且β=α+.由题意可得sin α=,cos α=,结合三角函数的定义与诱导公式可得xQ=2cos β=2cos=-2sin α=-1,yQ=2sin β=2sin=2cos α=,即点Q的坐标为(-1,).故选D. 6.已知点P(sin θ,cos θ)是角α终边上的一点,其中θ=,则与角α终边相同的最小正角为________. 解析:因为θ=,故P,故α为第四象限角且cos α=,所以α=2kπ+,k∈Z,则最小的正角为. 7.如图,扇形AOB的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为________,弦AB的长为________. 2 2sin 1 解析:由扇形面积公式S=lr.又α=,l=2,可得S=·=1,所以α=2.易得r=1,结合图形知AB=2rsin =2sin 1. 8.已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值. 解:(方法一)设α终边上任一点为P(k,-3k), 则r==|k|. 当k>0时,r=k, 所以sin α==-,==, 所以10sin α+=-3+3=0; 当k<0时,r=-k, 所以sin α==, ==-, 所以10sin α+=3-3=0. 综上,10sin α+=0. (方法二)依题意,tan α=-3, 所以sin α=-3cos α, 所以-30cos α+=. 又sin2α+cos2α=1, 所以tan2α+1=, 所以cos2α==, 所以-30cos2α+3=-30×+3=0,所以原式=0. 9.已知sin α<0,tan α>0. (1)求角α的集合; (2)求终边所在的象限; (3)试判断tansincos的符号. 解:(1)因为sin α<0且tan α>0, 所以α是第三象限角, 故角α的集合为. (2)由(1)知2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,故kπ+<<kπ+,k∈Z. 当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第二象限角; 当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+,n∈Z,即是第四象限角, 综上,的终边在第二象限或第四象限. (3)当是第二象限角时, tan<0,sin>0,cos<0, 故tansincos>0; 当是第四象限角时, tan<0,sin<0,cos>0, 故tansincos>0. 综上,tansincos取正号. B组 新高考培优练 10.在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则点P所在的圆弧是( ) A. B. C. D. C 解析:若点P在或 (不包含端点A,D)上,则角α的终边在第一象限,此时tan α-sin α=tan α·(1-cos α)>0,与tan α<sin α矛盾,排除A,B. 若点P在(不包含端点G)上,则角α的终边在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,排除D.故选C. 11.(多选题)(2020·山东师范大学附中月考)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点O,以x轴正半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是( ) A. B.cos α-sin α C.sin αcos α D.sin α+cos α AB 解析:因为角α以Ox为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),所以α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0. 所以=cos α>0,cos α-sin α>0,cos α·sin α<0,cos α+sin α的符号不确定.故选AB. 12.意大利“美术三杰”(文艺复兴后三杰)之一的达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》举世闻名,画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6.9 cm,BC=7.1 cm,AC=12.6 cm.根据测量得到的结果推算,将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于区间( ) A. B. C. D. B 解析:取AB=BC≈7,设∠ABC=2θ,则sin θ≈=0.9∈. ∴θ∈,2θ∈. 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α,则α+2θ=π. ∴α∈.故选B. 13.如图,在Rt△PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α,则=________. 解析:设扇形的半径为r,则扇形的面积为αr2.在Rt△POB中,PB=rtan α,所以△POB的面积为r·rtan α.由题意得r·rtan α=2×αr2,所以tan α=2α,所以=. 14.已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从A点出发,P沿着直线l向右,Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动.当Q运动到点A时,点P也停止运动,连接OQ,OP(如图),则阴影部分面积S1,S2的大小关系是________. S1=S2 解析:设运动速度为m,运动时间为t,圆O的半径为r,则=AP=tm.根据切线的性质知OA⊥AP,所以S1=tm·r-S扇形AOB, S2=tm·r-S扇形AOB, 所以S1=S2恒成立. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动. (1)若点B的横坐标为-,求tan α的值; (2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合; (3)若α∈,请写出弓形AB的面积S与α的函数解析式. 解:(1)由题意可得B,根据三角函数的定义得tan α==-. (2)与角α终边相同的角β的集合为. (3)若α∈,则S扇形OAB=αr2=α.而S△AOB=×1×1×sin α=sin α. 故弓形AB的面积S=S扇形OAB-S△AOB=α-sin α,α∈.- 配套讲稿:
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