七年级数学下册第五章相交线知识点总结.pdf

-1-第 5 章 相交线与平行线5.15.1 相交线相交线5.1.1 相交线练习：1.在同一平面内，两条直线如果不平行，一定 。2.如图 1，直线 AD、BC 相交于 O，则AOB 的对顶角是 ，BOD 的邻补角为 。A B A D O OC 图 1 D C 图 2 B3.如图 2 所示，若AOC=33，则BOD=，理由是 。4.如图 3，直线 AB、CD 相交于点 O，1=90，则AOC 和DOB 是 角，COE 和DOE 互为 角，DOB 和BOC 互为 角。角的名称特征性质相同点不同点对顶角两条直线相交面成的角有一个公共顶点没有公共边对顶角相等邻补角两条直线相交面成的角有一个公共顶点有一条公共边邻补角互补都是两直线相交而成的角，都有一个公共顶点，它们都是成对出现。对顶角没有公共边而邻补角有一条公共边；两条直线相交时，一个有的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。-2-E F E C D A 1 B A O B O D 图 3 C 图 45.如图 4 所示，直线 AB、CD 相交于点 O，作DOB=DOE，OF 平分AOE，若 AOC=36，则EOF=6.下列语句正确的是（）.A、相等的角是对顶角 B、相等的两个角是邻补角 C、对顶角相等 D、邻补角不一定互补，但可能相等 7.平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（）A、7 B、6 C、5 D、4 8.下列语句错误的有（）个.（1）两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角，（2）有公共顶点并且相等的两个角是对顶角，（3）如果两个角相等，那么这两个角互补，（4）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。A、1 B、2 C、3 D、4 9.如果两个角的平分线相交成 90的角，那么这两个角一定是（）.A、对顶角 B、互补的两个角 C、互为邻补角 D、以上答案都不对 10.已知1 与2 是邻补角，2 是3 的邻补角，那么1 与3 的关系是（）.A、对顶角 B、相等但不是对顶角 C、邻补角 D、互补但不是邻补角 解答题：-3-1.如图 5，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，1=75，2=68，求COE的度数。E D O A B C F 图 52.如图 6，OEOF，EOD 和FOH 互补，求DOH 的度数。F O E D H 图 63.如图 7，直线 AB、MN、PQ 相交于点 O，BOM 是它的余角的，21AOP=2MOQ，且有 OG0A，求POG 的度数。A Q N O M P B G 21-4-5.1.2 垂线（第一课时）【学习目标】1理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。2掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。3掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。一、复习回顾:1如图，若1=60，那么2=_、3=_、4=_ 2改变上图中1 的大小，若1=90，请画出这种图形，并求出此时2、3、4 的大小。二、完成下列填空。1.上面所画图形中两条直线的关系是_，知道两条直线互相_是两条直线相交的特殊情况。2.两条直线相交，所成四个角中有一个角是_时，我们称这两条直线_其中一条直线是另一条的_，他们的交点叫做_。3.如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若,则 AB 090AOCCD;CDABO-5-llBlA._AODBODCOBAOC三、垂线的定义1.当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 90时，这两条直线互相 ，其中一条直线叫做另一条直线的，两条直线的交点叫，垂直用符号来表示，读作，如直线 AB 垂直 CD，就记作。2.垂直的表示方法：垂直用符号“”来表示，若“直线 AB 垂直于直线 CD，垂足为 O”，则记为_，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图。3.垂直的推理应用：（1）AOD=90（）ABCD （）（2）ABCD （）AOD=90（）四、垂线的画法：如图 1，利用三角尺或量角器画已知直线 的垂线，这样的垂线能画l_条；如图 2，经过直线 上一点 A 画 的垂线，这样的垂线能画_条；ll如图 3，经过直线 外一点 B 画 的垂线，这样的垂线能画_条；llCDABO-6-E(3)ODCBA(2)ODCBA(1)ODCBA 图 1 图 2 图 3经过探索，我们可以发现：在同一平面内，过一点有且只有_条直线与已知直线垂直五、练习1.判断题。（1）两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.()（2）一条直线不可能与两条相交直线都垂直.()（3）两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互相垂直.()（4）两条直线相交有一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直.().2.填空题。（1）如图 1,OAOB,ODOC,O 为垂足,若AOC=35,则BOD=_.（2）如图 2,AOBO,O 为垂足,直线 CD 过点 O,且BOD=2AOC,则BOD=_.（3）如图 3,直线 AB、CD 相交于点 O,若EOD=40,BOC=130,那么射线OE 与直线 AB 的位置关系是_.3.解答题-7-EOAB45DC（1）.如图：直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，OEAB，已知BOD=450,求COE 的度数（2）.已知:如图,直线 AB,射线 OC 交于点 O,OD 平分BOC,OE 平分AOC.试判断 OD 与 OE 的位置关系。（3）如图所示,直线 AB,CD,EF 交于点 O,OG 平分BOF,且 CDEF,AOE=70,求DOG 的度数。E.D A O B C G F(4)如图所示,O 为直线 AB 上一点,AOC=BOC,OC 是AOD 的平分线.31(1)求COD 的度数;(2)判断 OD 与 AB 的位置关系,并说明理由。EODCBA-8-C D A B O5.1.2 垂线（第二课时）【学习目标】1.理解垂线段的意义，掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。3.通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行适当的说理一、自主学习方法一：如图（1）在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠才能使渠道最短？图（1）图（2）方法二：阅读课本“P5-6 上”内容，完成下列问题：1.垂线的性质：如图（2）：连接直线外一点与直线上各点的所有的线中，-9-DCBAOFEDCBA_最短。简单说成:_。2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的_叫做点到直线的距离。二、理解运用1.则下列结论：垂足为如图，,90DBCADBAC（1）AB 与 AC 互相垂直；（2）AD 与 AC 互相垂直；（3）点 C 到 AB 的垂线段是线段 AB；（4）点 A 到 BC 的距离是线段 AD;（5）线段 AB 的长度是点 B 到 AC 的距离；（6）线段 AB 是点 B 到 AC 的距离。第 2 题图其中正确的有（）A.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个2.如图，直线 AB,CD 相交于点 O,第 3 题图 的度数。和求AOCBOEDOFABOFCDOE,65,3.如图，图中以标明了三组互相垂直的线段，那么点 A 到 BC 的距离是 ，点 B 到 AC 的距离是 ,点 C 到 AB 的距离是 。4、如图，直线 CD 交 EF 于点 O,AOECOB90,AOB130,求DOF的度数。-10-第 4 题图5.如图所示，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，C、D 是分别位于公路 AB 两侧的加油站。设汽车行驶在到公路 AB 上点 M 的位置时，距加油站 C 最近，行驶在到 N 的位置时，距加油站 D 最近.请在图中的公路上分别画出点 M、N 的位置;当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 C、D 两加油站都越来越近？在哪一段路上距离加油站 D 越来越近，而离加油站 C 越来远？6.在给出的图形中，完成下列作图：作出点 A 到 BC 的垂线段 AD,并量出点 A 到直线 BC 的距离.过点 B 作 AC 的垂线,垂足为 E,点 C 作 AB 的垂线,垂足为 F.延长 DA，你发现有什么有趣的结论？-11-5.1.3 同位角、内错角、同旁内角【学习目标】：能够熟练识别同位角，内错角，同旁内角。一、自主学习1.两条直线 AB、CD 与直线 EF 相交，产生一些什么角呢？2.三线八角两条直线 AB、CD 与直线 EF 相交，交点分别为 E，F 如图（1），则称直线 AB、CD 被直线 EF 所截，直线 EF 为截线。三线八角：两条直线 AB、CD 被直线 EF 所截可得 8 个角，即所谓“三线八角”。这八个角中有：1.对顶角：1 与 ，2 与 ，5 与 ，6 与 。2.邻补角有：。3.还有同位角，内错角，同旁内角（1）同位角：在截线 EF 的同侧，同在被截的两直线的同方向，叫作同位角。例：，图中还有那些是同位角：。51 与（2）内错角：在截线 EF 的两侧，同在被截的两直线之间，叫作内错角。例：，图中还有那些是内错角：。53 与（3）同旁内角：在截线 EF 的同侧，同在被截的两直线之间，叫作同旁内角。例：4 与5，图中还有那些是同旁内角 。（4）因此，两条直线被第三条直线所截，共得 对同位角，对内错角，对同旁内角。-12-4.例题：如图，直线 DE、BC 被直线 AB 所截.（1）1 与2、1 与3、1 与4 各是什么角？（2）如果1=4，那么1 和2 相等吗？1 和3 互补吗？为什么？二、理解运用 1如图 1，1 与2 是（）A对顶角 B同位角 C内错角D同旁内角 2.如图 2，已知直线 a、b 被直线 c 所截，那么1 的同位角是（）A2 B3 C4 D.53如图 3，直线 AB、CD 相交于点 O，AOC=70，2=40，则1 的度数为（）A30 B35 C40 D.70 4.如图 4，直线 AB、CD 相交于点 O，OECD，BOE=54，则AOC 等于（）A54 B46 C36 D.265.如图 5，AB，CD，EF 相交于点 O，ABCD，OG 平分AOE，FOD=28，则图 1图 2图 3图 4图 5-13-AOG 的度数为（）A56 B59 C60 D.626.下列图形中,和不是同位角的是()7.如图,属于内错角的是()A.1 和2 B.2 和3 C.1 和4 D.3 和48.如右图所示：（1）1，2，3，4，5，6 是直线 、被第三条直线 所截而成的。（2）2 的同位角是 ，1 的同位角是 。（3）3 的内错角是 ，4 的内错角是 。（4）6 的同旁内角是 ，5 的同旁内角是 。（5）4 与A 是同旁内角吗？为什么？9.看图填空(1)如右图:1 和4 是 角；1 和3 是 角；2 和D 是 角；3 和D 是 角；4 和D 是 角；4 和B 是 角。(2)如右图:ABC 与 是同位角；ADB 与 是内错角；A B C D12121212第 7 题34 21ABCEF134562ABCDEABCDEF1234-14-ABC 与 是同旁内角。10.如图,用数字标注的角中,共有四对内错角,请把它们一一写出,并说明是哪两条直线被哪一条直线所截得的内错角.5.25.2 平行线及其判定平行线及其判定5.2.1 平行线1.平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线 a 与 b平行，记作 ab。（关键词：“在同一个平面内在同一个平面内”，“不相交不相交”）2.同一平面内两条直线的位置关系有两种：（1）相交相交；（2）平行。平行。4.平行公理：经过直线外一点，有且只有有且只有一条直线与这条直线平行。5.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即：如果 ba，ca，那么 bc b练习：1.在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是()A.平行或相交 B.垂直或相交 C.垂直或平行 D.平行、垂直或相交2.下列说法正确的是（）A 两条不相交的直线叫做平行线 B 一条直线的平行线有且只有一条 C 若 ab，ac，则 bc D 两直线不相交就平行 3.互不重合的三条直线公共点的个数是（）acABCD12356847-15-A.只可能是 0 个，1 个或 3 个 B.只可能是 0 个，1 个或 2 个 C.只可能是 0 个，2 个或 3 个 D.0 个，1 个，2 个或 3 个都有可能 4.下列说法正确的是（）在同一平面内不相交两条直线必平行，在同一平面内不相交两条线段必平行，在同一平面内不平行两条线段必相交，在同一平面内不平行两条直线必相交。A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 5.下列说法正确的是（）A经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B经过一点有无数条直线与已知直线平行 C经过一点有一条直线与已知直线平行 D经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 6.在同一平面内，直线 a 与 b 满足下列条件，把它们的位置关系填在括号内：（1）a 与 b 没有公共点，则 a 与 b ；（2）a 与 b 有且只有一个公共点，则 a 与 b ；（3）a 与 b 有两个公共点，则 a 与 b 。7.如图，长方体的各棱中，与 AA1平行的条数有（）、8.读下列语句，并画图形 （1）点 P 是直线 AB 外的一点，直线 CD 经过点 P，且与直线 AB 平行（2）直线 AB、CD 是相交直线，点 P 是直线 AB、CD 外的一点，直线 EF 经过ABC1D1B1A1CD-16-点 P 与直线 AB 平行与直线 CD 相交于 E（3）过点 D 画 DEAC，交 BC 的延长线于 E 9.如图，梯形 ABCD 中，ADBC，P 是 AB 中点，过点 P 作 AD 的平行线交 DC于点 Q;PQ 与 BC 平行吗？测量 DQ 与 CQ 是否相等 A D P B C10.在平面上有三条直线 a，b，c，它们之间可能有几种位置关系？请画图说明。5.2.2 平行线的判定【学习目标】1借助用直尺和三角板画平行线的过程，得出两直线平行的判定方法一“同位角相等，两直线平行”，进而推导出方法二“内错角相等，两直线平行”与方法三“同旁内角互补，两直线平行”。2理解掌握平行线的判定方法，并能运用它判定两直线的平行关系。一、自主学习1.如果 ab,bc，那么_,理由是_.-17-2.仔细观察,下列图中有平行线吗?相信自己的眼睛吗?你该怎样说明这些直线是否平行呢?3.还记得画平行线的方法吗?利用直尺和三角尺任意画右边直线的平行线：说明在作平行线的过程中，两种工具一静一动，静的直尺是在固定一条直线；动的三角尺能确保一对_相等。归纳既然这就是作平行线的方法,那由此作出来的就一定是平行线。因此,我们就得出一种判定平行线的方法:判定 1两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行。简述为:_。4.例题如图,直线 AB 与 CD 被直线 EF 所截,1=50,2=50。问:AB 与 CD 平行吗?证明:ABCDEF12-18-CE1342ABDFGCE1342ABDFG二、探究学习1.如右图,已知C=60,则当ABE=_时,可判定_(理由是:)2.根据下图填空:例:A=1 ABDC(同位角相等,两直线平行)2=4 _(同位角相等,两直线平行)3=_ _BC()A=_ _EF()AGEF,BCEF_()3在第 2 题图中,A 与3 是一对_,其形成条件是().如果知道A=3,也能判定 ABDC.证明过程如下:1=3()A=3(已知)A=1(等量代换)ABDC()归纳由此我们可以得出两直线平行的判定方法 2:两条直线被第三条 直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。C-19-CE1342ABDFGcba简述为:_。4(与第 3 题类似地)在第 2 题图中,A 与4 是一对_,其形成条件是()。如果知道A+4=180,也能判定 ABDC.证明过程如下:1+=180()A+4=180(已知)A=1(等量代换)ABDC()归纳平行线的判定方法 3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 互补，那么这两条直线平行.简述为:_。例题例题：在同一平面内.如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行吗?为什么?三、理解运用 1如图,推理填空:1=2_()A=3_()A+ABC=180321DCBA第 1 题图-20-_()2.如图，已知1=300，B=600，ABAC。求证:ADBC 由已知条件,你能证明 ABDC 吗?答:_添加一个条件:_,结合已知条件,求证:ABDC。3.如图1=2，_（）。2=3，_（）。4.如图 1=2，_（）。3=4，_（）。5.如图，若A=3，则 ；若2=E，则 ；D 若 +=180，则 。E若 +=180，则 。A B C6.已知：AE 平分BAC，CE 平分ACD，1 与2 互余，求证：ABCD。1DCBA第 2 题图A DCF 1 23EB第 3 题图123-21-DCBAGFE21DCBA9654321DCBA 7.已知：如图，且.求证：ECDF。8.如图 1,如果3=7,或_,那么_,理由是 ;如果5=3,或_,那么_,理由是 ;如果2+5=_ 或者_,那么 ab 理由是 。87654321 (1)(2)(3)(4)9.如图 2,若2=6,则_,如果3+4+5+6=180,那么_,如果9=_,那么 ADBC;如果9=_,那么ab-22-ABCD。10.如图 3,点 E 在 CD 上,点 F 在 AB 上,G 是 AD 延长线上一点。(1)若A=1,则可判断_,因为 ,(2)若1=_,则可判断 AGBC,因为 ,(3)若2+_=180,则可判断 CDAB,因为 。11.如图 4,一个合格的变形管道 ABCD 需要 AB 边与 CD 边平行,若一个拐角ABC=72,则另一个拐角BCD=_时,这个管道符合要求。12.已知直线 a、b 被直线 c 所截,且1+2=180,试判断直线 a、b 的位置关系,并说明理由。cba321