大学毕业论文-—导数在中学数学中的应用.doc

江西师范大学09届学士学位毕业论文

学士学位毕业论文

导数在中学数学中的应用
Application of derivative in the middle school mathematics

18

导数的应用

【摘要】本文主要对导数在中学数学中的几个方面进行了详细的归纳和总结。首先，总体对导数在中学中的应用进行整理和分析，分为在求函数单调性与极值方面的应用，在几何方面的应用，在不等式方面的应用，在数列方面的应用以及在解决实际问题方面的应用。第一方面中，提出应用导数判断函数单调性，求函数极值、最值三个小节。第二个方面中，主要提出应用导数求解曲线的切线方程的方法分为三个小节，重点指出求二次曲线的切线方程。第三个方面中重点提出应用导数证明不等式及求解不等式。第四个方面，利用导数解决数列问题。第五个方面，除了利用导数解常规问题外，还提出导数关于中心图形题型的应用。
【关键词】中学数学导数   应用

About the application of derivative
Chen bin
【Abstract】This paper concludes and summarizes several derivatives of mathematics in secondary schools in the aspects of. First of all, the collation and analysis of the application of derivative in the middle school, divided into application in the field of function monotonicity and extreme, applications in geometric terms, used in inequality, application in sequence and the application in solving practical problems. The first aspect, proposed the application of derivative judge monotonicity of function, function extremum, the value of three sections. In second aspects, mainly proposed tangent equation application derivation curve is divided into three sections, and points out the tangent equation of two conics. Third aspects and puts forward the application of derivative to prove inequality and inequality. Fourth, the use of derivative to solve the series of problems. Fifth aspects, in addition to using derivative solution routine problems, application of derivative of graphic types are also presented.

【Key words】Middle school math derivative application

目录
1 序言………………………………………………………………………………………1 2 导数在函数方面的应用……………………………………………2
2.1函数单调性的讨论……………………………………………………………2
2.2函数的最值（极值）的求法 ……………………………………………3
2.3函数的图象的作法 ……………………………………………………………5
3 导数在几何方面的应用…………………………………………………6
3.1 应用导数的几何意义，求解一般曲线的切线和法线…………………………………6
3.2 求曲线以参数方程给出的切线和法线方程 ……………………………………………9
3.3二次曲线以隐式给出求其切线方程………………………………………………9 4 导数在证明不等式方面的应用 …………………………………………11 5 导数在解决实际问题方面的应用……………………………………………13
6 导数在其他方面的应用……………………………………………………………14
结论………………………………………………………………………17
参考文献……………………………………………………………18

序言
导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。导数在解决函数单调性问题，求函数极值和最值，不等式证明以及解决解析几何中与切线有关的问题和最值问题有着广泛的应用。其方法较传统的方法简洁、灵活，而导数与函数、不等式、解析几何、数列、向量等知识结合起来，也使命题的设计更加广阔了。
作为一名数学系的本科毕业生，导数是我们学习内容的基础。而作为未来的一名数学教师，数学教材又是我们的教学材料。我们应该二者有机的结合起来，才能使自己成为一名优秀的高中数学老师。本文拟通过举例说明导数在证明函数单调性、求函数最值、不等式证明、求曲线的切线、数列求和等方面的应用。突出导数法解决问题的特点以开阔视野、拓宽解决问题的思路。

2 导数在函数方面的应用
运用导数知识研究函数性质的试题，研究对象已经突破了单纯的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等命题常以复合的函数形式出现。解决这一类型的题往往采用新旧结合以旧代新方法解决旧问题。

2.1 函数单调性的讨论
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断正负较困难。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。
例1 判定函数和在上的增减性。
解     
当  得
当 得
所以在内单调增加，在内单调减少。
， 故在上单调增加。

例2 求函数的单调区间.
分析：这是求函数单调区间的问题，这类问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这个题目中，需要结合三角函数的图象考虑它的某些特殊性质.首先对求导，得到；再令或，通过解关于的不等式，得到的单调递增（减）区间.根据正弦函数的周期性，在解不等式的过程中，可以先考虑其一个周期的解集，然后再扩展到整个定义域上.
解   ∵
令
解得    或
当时，是增函数.
再令    
解得   或
当时，是减函数.
单调减区间 ；
单调递增区间.
2.2 函数的最值（极值）的求法
最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。
一般地，函数在闭区间[a，b]上连续，则在[a，b]上的最值求法：
①求函数在（a，b）上的驻点；
②计算在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
例3 求函数的极值。
分析 要求一个函数的极值，我们先求出函数的驻点，在对驻点进行比较，就可以知道极值。
解

令
解得：（驻点）
又
在驻点处的二阶导数值分别为：，
所以：，原函数在处取得极大值
，原函数在处取得极小值

例4 已知函数，是的极值点，求在
[1，a]上的最大值。
解 由函数导可得
是的极值点，
所以有，得
所以
令，解得（舍去）， 则
x
1
(1,3)
3
(3,4)
4

—
0
+

-6

-18

-12
所以在[1，4]上的最大值为。
2.3 函数的图象的作法
中学数学教材中介绍的描点法作函数图象，作图比较粗糙不准确，一般只适用于简单的函数，但对比较复杂的函数就很难作出。现用导数的知识来作函数图象就相当的简便。作函数图象的一般程序：
① 求出函数的定义域；
②求函数的一阶导、二阶导所对应的零点值
③考察函数的奇偶性、周期性；
④确定函数的单调区间，极值点，凸性区间及拐点 列表；
⑤考察渐近线；
⑥画图
例5 作函数 图象。
解 ⑴函数的定义域
⑵由 解得
由              解得
⑶函数显然为非奇非偶函数
⑷现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点

-5

-2

1

+
0
—
—
—
0
+

—
—
—
0
+
+
+

↗凹
80 极大
↘凸
26 拐点
↘凹
-28极小
↗凹
⑸无渐近线
⑹作图：

3 导数在几何方面的应用
3.1 应用导数的几何意义，求解一般曲线的切线和法线
在解析几何中，我们求曲线的切线和法线，只需要知道曲线的方程和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程和法线方程.
下面给出求曲线的切线和法线方程的方法步骤：[2]①通过求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：  
法线方程：     
例1 试求曲线上点的切线以及法线方程.
解  对函数          
求导得               
所以    所以在点的切线方程为

即                   
又因为法线方程  
即                   
所以切线方程：，法线方程：
小结  (1)一般地常见的错误有：没有运用点在抛物线上这一条件或者是先求出过点这点的切线方程，然后由两直线重合产生一个方程，忽略点在曲线上这一条件.
(2)导数的几何意义在数学的学习过程中会经常用到，解题要充分运用这一条件，同时还要注意已知曲线上某点的切线这一条件的双重含义.
例2 已知曲线与，其中且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切.
分析  两曲线的公共点为，则
即                 
所以     所以    
所以   
对有；对有

因为             

所以           
所以两曲线彼此相切
小结  本题的方法可适应于两曲线在交点处的切线位置关系判定，如两曲线，是否存在这两曲线的一个公共点，使在这一点处，两曲线的切线互相垂直.
注意 若存在，则设点满足上述条件，那么，即 ，这是不可能的.
例3 试求与直线相切线于点并且圆心在直线上的圆的方程.
解  设所求圆的方程为
，
两边对求导得      
所以                 
因为为切点，     所以            ①
因为在直线 上     所以                  ②
因为点与直线 相切，  所以        ③
将①②③联立解方程组解得

故圆的方程为：     
注  上题是应用导数解平面曲线问题，由此可以看出应用导数亦可求椭圆、双曲线、抛物线的方程.

3.2 求曲线以参数方程给出的切线和法线方程
若曲线以参数方程给出，则过曲线上任一点的
切线方程为：      
法线方程为：      
例4 试求曲线上在点处的切线和法线方程.
解  当时 ，

当时，，  故切线方程：   
即  ，  故     
法线方程：            
注  若曲线是由坐标方程给出同样可导出切线方程和法线方程，但记住这些方程倒不如直接计算方便.
3.3 二次曲线以隐式给出求其切线方程
给出，则守曲线上任一点的切线方程为

证明  对原方程两边的求导，得

于是         
即    又因为在曲线上，因此

代入上式得切线方程：

评注
①求过二次曲线上任一点的切线方程，只须将曲线方程中的分别用代替；分别用代替即得，由这种方法可得：
a．过抛物线上一点的切线方程： 
b．过椭圆上一点的切线方程： 
c．过双曲线上一点的切线方程：
．过圆 d上任一点的切线方程
②若任意曲线以隐式给出，则过曲线上任一点的
切线方程：     
例5 求圆的第一、第四象限角分线交点处的切线斜率.
解  对两边的求导得
  即
在点处的切线斜率      
求得圆与第一象限角平分线交点的坐标为，，
因此过的斜率          
求得圆与第四象限角平分线交点的坐标为

因此过此点的切线斜率为：     

4 导数在证明不等式方面的应用

不等式证明往往是综合性强，思维量大，因此不等式的证明也是中学数学中的一个难点，而应用导数证明不等式是一种重要的方法，它的难度在于构建辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而解决问题。
例1 证明不等式
      证明 设
则
令
而时， 所以在上为减函数
时在上为增函数
所以时取得最小值
从而时恒成立，即恒成立。
例2 已知函数 ，定义在区间上   且求证：
证明 令则 由 得
所以在  上递增
在 上递减
在 上递增
因为 是定义在 上的三次函数
所以  在上递减，在 上递增
所以

由解上题可以看出利用导数解不等式，可使困难的、无从下手的问题得以解决。

5 导数在解决实际问题方面的应用
一些以函数为背景的实际问题，可通过函数建立模型转化为利用导数法解决的最值问题。

例1 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，现在四角分别截去一个小正方形，然后把四边反转90°角，再焊接而成，问该容器的高位多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解 设容器的高为，容器的体积为 
则

          令

所以时        
例2 设圆的半径R，面积为S。试求周长C与面积S之间的关系并作出几何解释。
解 因为S=R，将S看作R的函数，则圆面积S对半径R求导得    （圆的周长）
由此可知圆的面积相对半径R的导数就等于半径为R的圆的周长。
对于这个结果，从几何上我们可以作如下解释：
由半径为R的增量R所引起的圆面积S的增量S等于圆环的面积，我们沿着线段AB把这个环截断，并把它想象成橡皮的可以拉长、压缩，由此可得两个矩形：压缩外面的圆周可得到一个边长等于内周长C的矩形。
拉长里面的圆周可得到一个边长等于圆周长C的矩形两个矩形的宽均等于R
显然圆环的面积S大于第一个矩形的面积，而小于第二个矩形的面积。
即，不等式两边同除以，如果，则由不等式，可知，，而
     （即=）
   事实上

大家知道，导数数就是函数相对于自变量的变化率，对圆的面积S相对于半径R求导，就是求半径为R时圆面积的变化率，这个变化率实际上就是半径为R时的圆周长。
空间有中心的图形是否具有上述有中心的平面图形的相应性质呢？现在我们就用常见的立体图形球形的体积与表面积或体积与侧面积之间的关系来说明空间情形也具有这样的性质。
6 导数在其他方面的应用
在中学数学中，数列与导数、向量、三角与导数的综合题，题目新颖，但难度不大，准确应用导数知识是解该题的关键。此外，数列与函数的关系，用导数解决极为简便。
例1 已知数列 的首项，， 前 项和为 且 
令 求函数  在点 处的导数
解
   因为所以

例2 已知向量，令
是否存在实数 使 （其中 是  的导函数）？若存在，则求出 的值；若不存在则证明之。
解

   令  即：

 可得，所以存在实数使
例3 求证：对于一切成立.
分析  在区间内考虑函数：，于是问题转化为求证，只要证明在所指区间内是减函数，(因为)
证明 设，
于是                 
 因为            
故      
由于时，  有   ，且
故              
即在内是减函数.
由，  所以  
故            
注  在此不等式中，令，可以得到中学数学中常见的一些不等式：.
这三题虽然难度系数不大，但是运用导数进行计算就变得更加简便了。
结论
从解决上述五个方面的应用中可以看到，导数在应对复杂的数学问题觉有入手易，过程简便的优势，特别近年来，高考卷对导数的要求逐渐成熟，求导过程并不难，也不是最终落脚点，它的最终目的还是考查函数的性质。解（证明）不等式等重要知识，所以我们不仅要掌握导数的概念，求导的公式和求导的法则及其简单应用，包括求函数的极值、单调区间。证明函数的增减性等，还要学会把导数与其它知识相结合，与寻找求一些复杂问题的简单解法，这样就能占得先机，虽然掌握导数方法需要花费一定的时间和精力，但“磨刀不误砍柴功”。所以加强导数的教与学，也能为在大学中进一步的学习奠定基础。

参考文献
［1］华东师大数学系编数学分析高等教育出版社  1982.6
［2］沈燮昌等编《数学分纵横谈》北京大学出版社  1991.5
［3］陆婉珍、李士编《课外数学》辽宁人民出版社  2001.7
［4］张奠宙、邹一心编《现代数学与中学数学》上海教育出版社  1990.9
［5］王向东等编《数学分析的概念与方法》，上海科学技术文献出版社  1989.10
［6］张崇芳编译《高中微积分300题演习》格致图书公司  1990.3
［7］B．II吉米多维奇编《现代数学与中学数学》商务印书馆出版  1956.5
［8］胡萍、喻盛喻《导数在中学几何中的应用》自贡师范高等专科学校学报 2000.3
［9］窦宝泉《导数在数学中的应用》数学通讯 2003.12
［10］石东才《发挥新教材中导数的应用》 数学教学通讯 2003.9
［11］汤小梅《浅析高考导数应用中的几个问题》 数学通讯 2003.10
［12］吴建华《导数应用在解题中的应用》 西南林学院报 2002.6