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2011年全国高考2卷理科数学试题及答案
2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II）
数学
本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
1.复数，为z的共轭复数,则
(A） -2i (B) -i (C） i （D) 2i
2。 函数的反函数为
(A) （B)
（C） (D)
3。下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
(A） （B) （C） (D)
4.设为等差数列的前n项和，若,公差，则k=
（A） 8 (B） 7 （C） 6 （D) 5
5。设函数，将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
（A） (B) 3 （C) 6 （D） 9
6。已知直二面角，点为垂足,为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于
（A） （B) （C) （D) 1
7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
（A) 4种 （B) 10种 (C) 18种 （D） 20种
8。曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为
（A） (B) (C) (D） 1
9.设是周期为2的奇函数,当时，,则
(A） （B） (C) （D）
10.已知抛物线C：的焦点为F,直线与C交于A、B两点，则
(A） (B） （C） （D）
11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4。圆M的面积为,则圆N的面积为
（A) （B) （C) (D)
12。 设向量满足，则的最大值等于
(A) 2 (B） （C) (D） 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.
13。 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .
14。 已知,,则 。
15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为,AM为的角平分线,则 。
16。 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且， ，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17。(本小题满分10分）
的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C

18。（本小题满分12分）
根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0。5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。
（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分)
如图，四棱锥S—ABCD中，,侧面SAB为等边三角形,
AB=BC=2，CD=SD=1.
（Ⅰ）证明：；
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成的角的大小。

20。（本小题满分12分）
设数列满足
(Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：.

21.（本小题满分12分）
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点,点P满足
（Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22。（本小题满分12分）
（Ⅰ)设函数，证明：当时，
(Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷)
数学试题参考答案（不是标准答案）

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
1． B 2． B 3． A 4． D 5．C
6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11。 D 12。 A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
13． 0 14． 15． 6 16．
三、解答题：本大题共6小题,共70分．
17。（本小题满分10分）
解：由，得
故,
由,
故,
又显然，故，再由，
解得：，于是

18。（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3
故，
所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为
（Ⅱ）由（Ⅰ)易知,甲、乙两种保险都不购买的概率为
所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
显然，X服从二项分布，即,
所以
X的期望为20
19.（本小题满分12分）
（Ⅰ)证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2,CD=1， ，
易算得：,
又因为侧面SAB为等边三角形,SD=1，AB=2，
所以，
于是，,
所以
（Ⅱ)设点A到平面SBC的距离为d，
因为，所以,从而，
因而可以算得：，又，故
又因为，所以点C到平面SAB的距离为
另外,显然,
所以
得：
设AB与平面SBC所成的角为，则
,
即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角)

20。（本小题满分12分）
解:（Ⅰ）由得：
数列是等差数列,首项为
故,从而
(Ⅱ）
所以

21。(本小题满分12分）
（Ⅰ）证明:易知：，故：，代入椭圆方程得：，
设，则，，
因为所以
,将此坐标代入椭圆:，
所以点P在C上。
（Ⅱ)由（Ⅰ）：及，得,因为,所以
于是可以算得：，，,
,，
于是四边形APBQ对角互补,从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ）时，，
于是在上单调增,所以
（Ⅱ）
(共有对数相乘）

由(Ⅰ）,时，也有,
故在上单调增，所以
即
即，两边同时取的对数得：
综上所述：