八年级数学第五章第4节数据的波动北师大版知识精讲.doc

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初二数学第五章 第4节 数据的波动北师大版

【本讲教育信息】
一。 教学内容：
数据的波动（5。4)

二. 教学目标：
1。 了解刻画数据离散程度的三个量度—-极差、方差和标准差，能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题的情境中加以应用．
2. 通过实例体会用样本估计总体的思想．

三。 知识要点分析:
1. 数据的波动
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即s2=[(x1－）2＋（x2－）2＋（x3－）2＋…＋（xn－）2]．其中是x1、x2、x3、…、xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差的算术平方根．
2. 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．

【典型例题】
知识点1：计算极差、方差和标准差
例1. 一组数据－1，0，3,5，x的极差是7，那么x的值可能有（ ）
A。 1个 B。 2个 C. 4个 D. 6个
题意分析：已知一组数据的极差是7，求这组数据中的一个未知数的值．
思路分析：根据极差的定义，如果不考虑x,－1、0、3、5的极差是6,则x比－1、0、3、5这组数据的最大值5大1或比其最小值－1小1．所以x=6或－2．
解：B
解题后的思考：本题主要考查极差定义，求x的值时应注意有两个．

例2. 计算数据3、4、5、6、7的方差和标准差（精确到0.01)．
思路分析:根据方差和标准差的计算公式，先求平均数，再求方差，最后求标准差．
解：=（3＋4＋5＋6＋7）=5，
s2=［（3－5)2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋(7－5)2]=2．
这组数据的方差是2．
s=≈1.41．
这组数据的标准差是1。41．
解题后的思考：本题考查方差和标准差的定义和计算方法．

例3. 观察与探究:
（1)观察下列各组数据并填空．
A：1、2、3、4、5，=________，=________．
B：11、12、13、14、15，=_______，=_______．
C：10、20、30、40、50，=_______，=_______．
D:3、5、7、9、11，=________,=________．
（2)分别比较A与B，C与D的计算结果，你能发现什么规律?
（3）若已知一组数据x1、x2、x3、…、xn的平均数为，方差为s2，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数为__________，方差为__________．
题意分析：本题要求计算四组数据的平均数和方差，总结其中的规律,再利用所得规律解第(3)题．
思路分析：（1）代入公式计算各组数据的平均数和方差，=（1＋2＋3＋4＋5）=3，=[(1－3）2＋（2－3）2＋（3－3)2＋（4－3）2＋(5－3）2]=2；=（11＋12＋13＋14＋15）=13,=[（11－13）2＋（12－13）2＋（13－13）2＋(14－13)2＋（15－13)2］=2；=（10＋20＋30＋40＋50）=30，=[（10－30）2＋（20－30）2＋（30－30）2＋(40－30）2＋（50－30)2］=200；=(3＋5＋7＋9＋11）=7，=[(3－7）2＋(5－7）2＋（7－7）2＋（9－7)2＋（11－7)2]=8．（2）总结规律时，既要比较原数据的特征，又要比较结果的变化情况．A与B比较，B组数据是A组数据都加10得到的，所以=＋10=13，而方差不变．A与C比较，C组数据是A组各数据的10倍，所以=10=30，=102·=102×2=200．A与D比较，D组数据分别是A组各数据的2倍加1，所以=2＋1=2×3＋1=7，=22·=22×2=8．文档为个人收集整理，来源于网络
解：（1）观察下列各组数据并填空．
A：1、2、3、4、5，=3，=2．
B：11、12、13、14、15，=13,=2．
C：10、20、30、40、50，=30，=200．
D:3、5、7、9、11，=7，=8．
(2）规律：若数据x1、x2、x3、…、xn的平均数为，方差为s2，则:①数据x1＋m,x2＋m，…，xn＋m的平均数为＋m,方差为s2；②数据nx1、nx2、…、nxn的平均数为n，方差为n2s2；③数据nx1＋m，nx2＋m，…，nxn＋m的平均数为n＋m，方差为n2s2．
（3)3－2，9s2．
解题后的思考:本题所得规律可以直接使用．
小结：本知识点主要是极差、方差和标准差的定义和计算方法,可以借助计算器运算,如果一组数据较大，还可以先选取一个适当的数与这组数据中的每一个数据求差，使原数据变小，再求方差．

知识点2：极差、方差和标准差的应用
例4．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天内,两台机床每天出的次品数分别如下：
甲：3、2、1、1、3；乙：2、2、3、3、0．
计算两台机床数据的方差，并从结果中分析在这5天中哪台机床出的次品数波动较小．
题意分析:分别计算甲、乙两台机床每天生产次品数的方差,再根据方差大小判断哪台机床出次品数波动小．
思路分析：先分别计算甲、乙两组数据的平均数，再计算方差．
解:=（3＋2＋1＋1＋3）=2，=（2＋2＋3＋3＋0)=2．
=［（3－2）2＋(2－2）2＋（1－2）2＋(1－2)2＋(3－2）2]=；
=[（2－2）2＋（2－2)2＋（3－2）2＋(3－2）2＋(0－2)2］=．
∵＜，∴甲机床波动较小．
解题后的思考：数据波动的大小由方差决定，方差越大，波动程度越大．

例5. 甲、乙两名同学本学期参加的11次考试成绩如下：
甲
98
100
100
90
96
91
89
99
100
100
93
乙
98
99
96
94
95
92
92
98
96
99
97
（1）求两人的平均分及方差；
（2）分析他们的成绩各有什么特点；
（3）现要从两人中选一人参加比赛，历届比赛成绩表明，平均成绩达98分以上才可能进入决赛,你认为应该选谁参加这次比赛呢？为什么？
题意分析:分析他们的成绩应从平均数、众数、中位数、方差等方面进行比较．
思路分析：分别计算甲、乙两同学11次考试成绩的平均数、众数、中位数、极差、方差等．再根据这些量度,分析他们成绩的特点，决定应该选谁参加比赛．
解：(1）=（98＋100×4＋90＋96＋91＋89＋99＋93）=96;
=（98×2＋99×2＋96×2＋94＋95＋92×2＋97）=96;
=[(98－96）2＋（100－96）2×4＋（90－96）2＋（96－96）2＋（91－96）2＋（89－96）2＋（99－96)2＋(93－96）2］=；
=[（98－96）2×2＋(99－96）2×2＋（96－96）2×2＋(94－96)2＋（95－96）2＋（92－96）2×2＋（97－96）2]=．
（2）甲的极差为100－89=11，乙的极差为99－92=7，甲的极差较大,而乙的极差较小．从方差大小看，乙的成绩波动小，比较稳定;而从众数看，甲的众数是100，乙的众数（最好的一个）是99，从这方面看甲的成绩较好．从中位数看，甲的中位数是98，而乙的中位数是96，甲的成绩较好．
（3）甲的成绩98分以上有6次且其中有4次是100分，而乙的成绩98分以上只有4次，并且没有满分,故应选择甲去参加比赛．
解题后的思考:方差越小只能代表成绩比较稳定,并不代表成绩越好，对于实际问题要具体情况具体分析．

例6。 某水果销售公司去年3~8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣的情况见下表：
月份
销售量
3月
4月
5月
6月
7月
8月
吐鲁番葡萄（吨)
4
8
5
8
10
13
哈密大枣（吨）
8
7
9
7
10
7
（1)请你根据以上数据填写下表：

平均数
方差
吐鲁番葡萄
8
9
哈密大枣

（2)补全折线统计图．

（3)请你从以下两个不同的方面对这两种水果在去年3~8月份的销售情况进行分析：①根据平均数和方差分析;②根据折线图上两种水果销售量的趋势分析．
题意分析：本题除了要求计算平均数和方差，还要把哈密大枣3～8月的销售数量绘制成折线统计图．
思路分析：（1）直接计算，（2)描点,连线，(3)分析销量趋势时要从波动情况和折线走势两方面进行分析．
解：（1）8,
（2)如下图所示:

（3）①由于平均数相同，＜，所以大枣的销售情况相对比较稳定．②从图上看,葡萄的月销售量呈上升趋势．(答案不唯一，合理均可）
解题后的思考：本题综合考查了统计知识当中的折线图和平均数、方差的有关知识．
小结：一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定;方差和标准差较极差更为精细地刻画了数据的波动状况．但这并不是绝对的，有时大多数数据相对集中，整体波动水平较小,但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值，从而导致这些量度数值较大．因此在实际应用中应根据具体问题情境进行具体分析,选用适当的量度刻画数据的波动状况．
总结：方差的大小说明两组数据分散和集中的状况，因此常用方差或标准差来比较两组数据的波动大小．但应注意，只有当两组数据的平均数相等或比较接近时，才能采用这种比较方法，对平均数不相等又相差较大的情况，就必须另作处理．

【预习导学案】
(命题与定义（6。1-6.2)）
一. 预习前知
1. 在图①中红色的小正方形和白色的小正方形一样大吗？量一量，验证你的结论？
2. 在图②中的两条直线是否平行?

二. 预习导学
1。 当a是有理数时,a2一定大于a吗?
2。 下列句子中不是命题的是( )
A. 明天可能会下雨 B。 台湾是中国不可分割的一部分
C. 直角都相等 D。 中国是2008年奥运会的举办国
3。 命题由__________和__________两部分组成，命题常见的书写形式是__________．
4. 证明的一般步骤是:__________．
反思：（1）说一说推理证明的必要性．
(2）命题、真命题、假命题、公理、定理之间的关系是怎样的？

【模拟试题】(答题时间：50分钟）
一. 选择题
1. 衡量一组数据波动大小的是（ ）
A。 平均数 B. 众数 C。 中位数 D. 方差
2. 金华火腿闻名遐迩．某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机,同时分别包装质量为500克的火腿心片．现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如下表所示：
包装机
甲
乙
丙
方差（克2）
1.70
2。29
7。23
你认为包装质量最稳定的切割包装机是( ）
A。 甲 B。 乙 C. 丙 D。 不能确定
3。 下列说法中不正确的是( )
A。 一组数据中的各个数据偏离平均数越大，说明这组数据的波动越大
B. 一组数据中的各个数据越接近于平均数,说明这组数据的方差越小
C. 甲组的每个数据比乙组的每个数据都大，那么甲组数据的方差大于乙组数据的方差
D。 两组数据中方差小的一组波动较小
4。 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9。2环，方差分别为=0。56，=0。60，=0。50，=0。45，则成绩最稳定的是（ )
A。 甲 B. 乙 C. 丙 D。 丁
5. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：85，95,85，80，80,85。 下列表述错误的是( )
A。 众数是85 B. 平均数是85 C。 中位数是80 D. 极差是15
*6。 某校八年级(2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中,捐款情况如下（单位：元)：10、8、12、15、10、12、11、9、10、13. 则这组数据的（ )
A。 众数是10.5 B。 中位数是10
C. 平均数是11 D. 方差是3.9
*7。 今年5月16日我市普降大雨，基本解除了农田旱情。 以下是各县（市、区）的降水量分布情况（单位：mm）,这组数据的中位数，众数，极差分别是( ）
县（市、区）
城区
小店
尖草坪
娄烦
阳曲
清徐
古交
降水量
28
29.4
31。9
27
28。8
34.1
29.4
A。 29。4，29。4,2.5 B。 29。4，29。4，7。1
C。 27,29.4，7 D. 28。8，28，2。5
*＊8。 一组数据的方差是s2,将这组数据中每一个数都乘以,则得到一组新数据的方差为（ ）
A. s2 B。 s2 C. 9s2 D。 s2

二. 填空题
1。 给出一组数据:23，22，25，23，27,25，23，则这组数据的中位数是__________；方差是(精确到0。1)__________。
2。 小明和小红练习射击,第一轮10枪打完后两人的成绩如下图所示，一般新手的成绩不太稳定，小明和小红两人中有一人是新手，估计两人中新手是__________.

3。 “五一”期间,我市某街道办事处举行了“迎全运，促和谐”中青年篮球友谊赛. 获得男子篮球冠军球队的五名主力队员的身高如下表：（单位：厘米）
号码
4
7
9
10
23
身高
178
180
182
181
179
则该队主力队员身高的方差是__________厘米2。
4。 某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种的甜玉米各用10块试验田进行试验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）。根据图中的信息，可知在试验田中，__________种甜玉米的产量比较稳定。

三。 解答题
1。 某工厂从生产的某种产品中抽取12件，测得其质量分别为（单位:g）：1197、1198、1206、1202、1203、1200、1203、1200、1208、1204、1202、1201。求此样本的平均数和标准差。
2. 下列是两种股票在2009年某周的交易日收盘价格（单位：元)，分别计算它们一周来收盘价格的方差、极差（结果保留两位小数)

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲股票
11.62
11。51
11.94
11.17
11.01
乙股票
18。50
18。50
18。50
18。50
18.50
＊3。 经市场调查，某种优质西瓜质量为(5±0。25)kg的最为畅销. 为了控制西瓜的质量,农科所采用A、B两种种植技术进行试验.现从用这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20个，记录它们的质量如下（单位:kg）：
A：4。1　4.8　5.4　4。9　4.7　5。0　4。9　4。8　5。8　5。2　5.0　4。8　5。2　4.9　5.2　5。0　4.8　5.2　5。1　5。0
B：4.5　4。9　4.8　4.5　5。2　5。1　5。0　4.5　4.7　4。9　5.4　5.5　4。6　5.3　4.8　5。0　5。2　5。3　5。0　5.3
（1）若质量为（5±0。25）kg的为优等品,根据以上信息完成下表：

优等品数量（个）
平均数
方差
A

4。990
0.103
B

4。975
0.093
（2）请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种种植技术较好？
**4. 美国NBA职业篮球赛的火箭队和湖人队在本赛季已进行了5场比寒。将比赛成绩进行统计后，绘制成统计图（如图1）。请完成以下四个问题：

（1）在图2中画出折线以表示两队这5场比赛成绩的变化情况；
(2)已知火箭队5场比赛的平均得分=90，请你计算湖人队5场比赛成绩的平均得分；
（3）根据这5场比赛，分别计算两队成绩的极差；
(4)根据上述统计情况，试从平均得分、折线的走势、获胜场次和极差四个方面分别进行简要分析,请预测下一场比赛哪个队更能取得好成绩?

【试题答案】
一. 选择题
1。 D 2. A 3. C 4。 D 5。 C
6. C【将这组数据从小到大排列是8、9、10、10、10、11、12、12、13、15，众数是10,中位数是=10。5，平均数是11，方差是3.8】
7。 B【这组数据从小到大排列是27、28、28。8、29。4、29。4、31。9、34。1，中位数是29.4，众数是29。4，极差是34.1－27=7。1】
8. D【利用本讲例3总结出的规律】

二。 填空题
1。 23; 2。6 2。 小红 3. 2 4。 乙

三. 解答题
1。 将样本数据都减去1200得：－3、－2、6、2、3、0、3、0、8、4、2、1。 =（－3－2＋6＋2＋3＋0＋3＋0＋8＋4＋2＋1)=2，则=＋1200=1202,s2=［（－3－2）2＋（－2－2）2＋（6－2)2＋…＋（1－2）2］=9，则s=3。
2。 s甲2≈0.11，s乙2=0，甲的极差=0.93，乙的极差=0
3. （1)依次为16个、10个;
（2)从优等品数量的角度看,因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；从平均数的角度看，因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5kg,所以A技术较好；从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；从市场销售角度看，因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术。
4. （1)如图.

(2）=90(分）；
（3)火箭队成绩的极差是18分，湖人队成绩的极差是30分；
（4）从平均分看，两队的平均分相同，实力大体相当；从折线的走势看,火箭队比赛成绩呈上升趋势，而湖人队比赛成绩呈下降趋势；从获胜场次看，火箭队胜三场,湖人队胜两场，火箭队成绩好；从极差看，火箭队比赛成绩比湖人队比赛成绩波动小，火箭队成绩较稳定。综上，下一场比赛火箭队更能取得好成绩.