全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结归纳.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结归纳全国通用版高中数学第八章立体几何初步知识点总结归纳 单选题 1、如图直角 是一个平面图形的直观图，斜边=4，则原平面图形的面积是（）A82B42C4D2 答案：A 解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解.由题意可知 为等腰直角三角形，=4，则=22，所以原图形中，=4，=42，故原平面图形的面积为12 4 42=82.故选：A 2、已知一个圆锥的体积为3，其侧面积是底面积的 2 倍，则其底面半径为（）A23B3C3D33 答案：C 分析：根据圆锥的侧面展开图和圆锥体积公式以及侧面积公式，即可求出结果.设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积=132=3，所以2=9，即=92，侧=12 2=22，则=2，又=2 2=3，所以33=9，故=3 故选：C 3、设、为两个不重合的平面，能使/成立的是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C 内有无数个点到 的距离相等 D、垂直于同一平面 答案：B 分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确 应用立方体，如下图所示：选项A：内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与 平行，但如上图 与 可相交于l，故A不一定能使/成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确 选项C：在 内有一条直线平行于l，则在 内有无数个点到 的距离相等，但如上图 与 可相交于l，故C不一定能使/成立；选项D：如图，但 与 可相交于l，故D不一定能使/成立；故选：B 小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题 4、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（）A梯形 B平行四边形 C可能是梯形也可能是平行四边形 D矩形 答案：B 解析：利用面面平行的性质判断与的平行、与平行.因为平面/平面,且平面 平面=,平面 平面=,根据面面平行的性质可知/,同理可证明/.所以四边形为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.5、如图，在一个正方体中，E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点.平面截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）ABCD 答案：D 分析：根据条件可得平面经过点，然后可得答案.连接，因为E，G分别是棱，的中点，F为棱靠近C的四等分点 所以/，所以平面经过点 所以多面体 的正视图为 故选：D 6、如图已知正方体 1111，M，N分别是1，1的中点，则（）A直线1与直线1垂直，直线/平面 B直线1与直线1平行，直线 平面11 C直线1与直线1相交，直线/平面 D直线1与直线1异面，直线 平面11 答案：A 分析：由正方体间的垂直、平行关系，可证/,1 平面1，即可得出结论.连1，在正方体 1111中，M是1的中点，所以为1中点，又N是1的中点，所以/，平面,平面，所以/平面.因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面11，所以选项 B,D 不正确；在正方体 1111中，1 1，平面11，所以 1，1 =，所以1 平面1，1 平面1，所以1 1，且直线1,1是异面直线，所以选项 C 错误，选项 A 正确.故选：A.小提示：关键点点睛：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A平面ABCDB平面PBC C平面PADD平面PCD 答案：C 分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为 平面ABCD，平面ABCD，所以 ，由四边形ABCD为矩形得 ，因为 =，所以 平面PAD 又 平面PCD，所以平面 平面PAD 故选：C 8、如图所示，在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=90，=1=1，D是棱1的中点，P是AD的延长线与11的延长线的交点，若点Q在线段1上，则下列结论中正确的是（）.A当点Q为线段1的中点时，平面1 B当点Q为线段1的三等分点时，平面1 C在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1 D不存在DQ与平面1垂直 答案：D 分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项 ABC；按照点Q为线段1的中点和点Q不为线段1的中点两种情况利用反证法证明选项 D 判断正确.连接1，交1于H 在三棱柱 111中，侧棱1底面111，=1=1，则四边形11为正方形，则1 1 又=90，即 ，又1，1=，1面11，面11 则 面11，则 1 又1 1，1 =，1面1，面1 则1 面1，选项 A：当点Q为线段1的中点时，又 D是棱1的中点，则/1 若 平面1，则1平面1 又1 面1，则面1/平面1，这与1 1=矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的中点时，平面1不正确；选项 B：当点Q为线段1的三等分点时，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段1的点三等分时，平面1，不正确；选项 C：在线段1的延长线上一点Q，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即在线段1的延长线上，存在一点Q，使得 平面1不正确；选项 D：由选项 A 可知，点Q为线段1的中点时，平面1不成立；假设点Q在线段1上，且不是中点，又 D是棱1的中点，则/1不成立，即与1为相交直线，若 平面1，则 1 又1 1，与1为相交直线，1面1，面1 则1 面1，又1 面1，则面1/面1 这与面1 面1=1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段1上，且不是中点时，平面1不正确；故不存在DQ与平面1垂直.判断正确.故选：D 9、已知直线a与平面,，能使/的充分条件是（）,/,/,/,ABCD 答案：D 解析：根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.对，若 ,，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故错误；对，若/,/，则/，平面的平行具有传递性，故正确；对，若/,/，平行于同一直线的两平面可以相交，故错误；对，,，垂直于同一直线的两平面平行，故正确.综上：正确，故选：D.10、下列说法正确的是（）A有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C棱锥的所有侧面都是三角形 D用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 答案：C 分析：根据定义逐项分析即可 对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，故选：.11、已知,是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 B过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直 C平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面 D若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线 答案：B 分析：举特例说明判断 A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断 B；推理说明判断 C；举例说明判断D 作答.正方体 1111中，直线11、直线11都平行于平面，而直线11与11相交，A 不正确；如图，直线是平面的斜线，=，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作 于点A，则直线是斜线在平面内射影，直线与直线确定平面，而 平面，则平面 平面，即过斜线有一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线与直线确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B 正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C 不正确；如图，在正方体 1111中，平面为平面，直线1为直线，显然直线不垂直于平面，而平面内直线,都垂直于直线，D 不正确.故选：B 12、下列命题错误的是（）A直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形 B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形 答案：B 分析：利用直棱柱的几何特征可判断 A 选项的正误；利用棱台的定义可判断 B 选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断 C 选项的正误；利用棱台的几何特征可判断 D 选项的正误.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A 正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B 错误；在三棱锥 中，、两两垂直，=，故 平面，平面，则平面 平面，同理可得平面 平面，平面 平面，C 正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D 正确.故选：B.填空题 13、中国南北朝时期，祖冲之与他的儿子祖暅通过对几何体体积的研究，早于西方 1100 多年，得出一个原理：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是面积，“势”是高.也就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.上述原理被称为祖暅原理.现有水平放置的三棱锥和圆锥各一个，用任何一个平行于底面的平面去截它们时，所截得的两个截面面积都相等，若圆锥的侧面展开图是半径为 4 的半圆，根据祖暅原理可知这个三棱锥的体积为_.答案：833 分析：根据圆锥侧面积展开图是半径为 4 的半圆，求得圆锥底面半径，进一步求圆锥的高，计算出圆锥的体积，由此求出三棱锥的体积.设圆锥的底面半径为，则2=12 2 4，解得=2，圆锥的高为=42 22=23，所以圆锥的体积即为三棱锥的体积为=13 22 23=833.所以答案是：833.14、三棱锥中 ，底面是锐角三角形，垂直平面，若其三视图中主视图和左视图如图所示，则棱的长为_ 答案：42 分析：根据三视图，求得,的长度，再利用勾股定理即可求得.根据主视图可知，=4,点在的投影位于的中点，不妨设其为，故可得=2，根据左视图可知：=23，则=2+2=4，又 面,面，故可得 ，则=2+2=42.所以答案是：42.15、直三棱柱 111的所有顶点都在球O的球面上，=1，=22，1=4，则球O的体积是_ 答案：1256 分析：把直三棱柱 111补成长方体，求出外接球的直径即得解.把直三棱柱 111补成长方体，则直三棱柱和长方体的外接球重合，外接球的直径2=12+(22)2+42=5，故球的体积=433=1256 所以答案是：1256 16、设圆锥底面圆周上两点、间的距离为2，圆锥顶点到直线的距离为3，和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为_.答案：22 分析：根据圆锥的几何特征计算出圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥的侧面积公式可求得结果.设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、，因为=，=，则 ，故=3，因为 平面，平面，所以，为直线、的公垂线，故=1，因为=12=1，=2+2=2，=2+2=2，所以，圆锥的底面圆半径为2，母线长为2，因此，该圆锥的侧面积为 2 2=22.所以答案是：22.17、如图所示的圆台12，在轴截面中，=2，且=2cm，则该圆台的体积为_cm3；侧面积为_cm2 答案：733 6 分析：将圆台看成是圆1为底的大圆锥切去圆2为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.将圆台看成是圆1为底的大圆锥切去圆2为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线 于，显然/12且=12.=2，=2=4 2=12=1，1=12=2，2=121 又 2/1 2为 1的1边的中位线，12=2=121 cos=12，得=3 则tan=tan1=11=tan3=3，解得1=23 2=23 则圆台的体积为圆1为底，高为1的圆锥体积减去以圆2为底，高为2的圆锥体积，即 =1312 1 1322 2=3(22 23 12 3)=733 圆台的侧面积=12 21 12 22 =(2 4 1 2)=6.所以答案是：733；6.解答题 18、在水平放置的平面上，画一个边长为 4cm 的正三角形的直观图 答案：见解析 分析：按照直观图的画法画出正三角形的直观图即可.如图，在已知的正三角形中，取所在直线为轴，取高线所在直线为轴，画对应的轴、轴，使=45；在轴上取=,=，在轴上取=12，连接,，所得三角形即为正三角形的直观图 19、如图，四边形11是圆柱的轴截面，1是圆柱的一条母线，已知=4，=22，1=3，求该圆柱的侧面积与表面积 答案：侧面积为66，表面积为66+12 分析：圆柱的侧面积=2，圆柱的表面积=2+22.易知：，因为=4，=22，所以=2+2=26，即=6，因为1=3，所以圆柱的侧面积=2=2 6 3=66，圆柱的表面积表=2+22=66+12 20、如图，在三棱锥 中，=2，若=，=，=，且sin22+sin22=sin22.（1）求证：平面 平面；（2）若=3,=2,=23，为线段中点，求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析；（2）63.分析：（1）首先证得 平面，然后结合面面垂直得判定定理即可证出结论；（2）先证出 平面，所以点到平面的距离即为的长度，解三角形求出=263，根据三角形的中位线即可求出结果.（1）由sin22+sin22=sin22得cos+cos=1+cos，设=,=,=，由余弦定理得828+828=1+828，进一步化简得2+2=2，从而 ，取中点，因为=，所以 ，因为=,=，所以 ，从而 ，由 且 ,又因为 =，得 平面，又 平面，平面 平面.（2）作 ，由（1）知，平面，从而平面 平面，连接，作 ，易知 平面，且，分 因为=3，=2，=23，所以=23，=22，=2，在 中，=263，因为，且为线段中点，所以=12=63，因此点到平面的距离为63.