高中数学2.4.1二次函数的性质导学案新人教版必修1.doc

江西省宜春中学高中数学 2.4.1二次函数的性质导学案 新人教版必修1

【教学目标】
1.理解二次函数的定义并灵活运用二次函数三种形式解析式；
2.会求二次函数在闭区间上的值域。
【教学过程】
一、预习导航，要点指津
1．二次函数的定义（约3分钟）
（1）形如的函数叫做二次函数，其中、、分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。
（2）二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：；
(2)顶点式：；
(3)零点式：。
说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与轴有交点的二次函数才有零点式；
‚确定二次函数的解析式，一般地，若已知三个点的坐标，设函数为；若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值，则设函数为；若已知二次函数的图像与轴的交点的坐标，则设函数为。
2.二次函数的图像
首先将二次函数的解析式整理成顶点式，由二次项系数确定开口方向，顶点坐标为，图像关于轴对称，从而快速画出二次函数图像的草图。
练习1、二次函数的开口向 ，顶点坐标为 ，图像关于直线 对称,与轴的交点个数为 ,
其零点式为 ，并画出其草图。
练习2、抛物线的顶点在轴上，则 。

【答案】：上，，，2，；‚9或25）
【教学笔记】

3、二次函数的性质

a>0
a<0
图象

图象
特点
①对称轴：x＝－；　②顶点：
性质
定义域

值域

单调性
时递减，
时递增。
时递增，
时递减。
4、若二次函数恒满足，则其对称轴为.
二、自主探索，独立思考（约10分钟）
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式。
（1） 顶点坐标为（2，-1），与轴交点坐标为（0，11）；
（2） 图像关于轴对称，并且经过点（1，13）和（2，28）；
（3） 过点；
（4） 二次项系数为-4，过点（2，-1），其最大值为8；
（5） 对任意均满足，的最大值为8，且的两根平方和为10。
【答案】(1)；(2)；
(3)；（4）；(5)。
(5) 解析：由题意设
由的两根平方和为10，设方程的两根为
即

【教学笔记】

又由韦达定理,代入上式，即,解得
【总结】求二次函数的解析式，灵活运用二次函数解析式的三种形式。

例2、已知二次函数.
(1) 当时，求的值域；
(2) 当时，求的值域；
(3) 当时，求的值域；
(4) 当时，求的最小值的函数表达式；
(5)在（4）条件下，作的图像并写出的最小值。

【答案】（1）； (2）[1，10]； （3）[2，5]；
（4）；（5)。

例3、函数的最小值记为.
(1) 试写出的函数表达式；
(2) 画出的图像并写出的最大值。

【答案】(1)；（2）
【总结】求二次函数的值域时，要注意定义域是R还是区间，若是区间，最值不一定在顶点取得，而应该看对称轴是在区间内还是在区间的左边或右边。若对称轴在区间的某一边时应该利用函数的单调性求解，最值不在顶点上取得，而在区间的端点上取得。若区间与对称轴的关系不确定，则需要讨论它们的关系。

三、小组合作探究，议疑解惑（约5分钟）
各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论，交流，议疑解惑。

四、展示你的收获（约8分钟）
由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作
探究的结论、解题方法、知识技巧。（即学习成果）

五、重、难、疑点评析（约5分钟）
由教师归纳总结点评
【教学笔记】

六、达标检测（约8分钟）
1、已知二次函数的图像过点
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域；
（3）求在上的值域；
（4）若，求在上的最小值；
（5）若，求在上的最大值。
2、已知函数在上有最大值2，求的值。
【答案】1、（1）； (2)；（3）；
（4） ；（5）
2、a＝2或a＝－1

七、课后练习
1．若是二次函数，则的值为 2 ．
2．函数的对称轴和顶点坐标分别是
3.若且则
4.若函数，则=
5.已知二次函数的图象过点A(－4,0)、B(1,7)、C(-2，－2)，
则的解析式为
6. 已知二次函数的值域为且,
则= 1 ，= 2
7．若函数的定义域为,值域为[-,-4],则的取值范围为.
【教学笔记】

8.函数的值域为[-4,0]
9.已知一个二次函数,,且,求的解析式。
答案：

10.已知函数，若在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求的值；
(2)若在[2,4]上单调，求的取值范围．
答案：(1)；(2)

11、已知函数在区间上有最小值3，求的值。
答案：

12.已知二次函数的图像关于直线轴对称，且方程有两个相等的实数根。
（1） 求的解析式；
（2） 求在[1,3]上的值域；
（3） 是否存在实数，使的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。