小学奥数-比和比例(教师版).doc

比和比例

【例1】★已知3 :（x-1）=7:9，求x.
【解析】
【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。
【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人，
现在男女人数之比24:20=6:5
【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？
【解析】长+宽相等。甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3.
所以甲乙的面积比为
【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？
【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9
【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问:水果店运来的西瓜有多少个？
【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。
【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？
【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比，平均价格为(元/千克)
【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？
【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工（个）
【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲?
【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x分追上甲，则甲用(5+x)分，3(5+x)=4x，x=15
【例6】★★甲走的路比乙多，乙用的时间却比甲多，则甲乙两人的速度比是多少?
【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3
【例7】★★从A地到B地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A、B两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达A地比甲到达B地晚多少分钟？
【解析】甲速:乙速=5:4.所以相遇时,甲与乙所行路程之比为5:4。
相遇后,甲还要行分,乙还要行分
所以乙到达A比甲到达B晚18分钟。
【小试牛刀】甲乙两列车分别从A、B两站同时相向开出，已知甲车速度与乙车速度之比为3:2，C站在A,、B之间。甲、乙两列车到达C站的时间分别是上午5点和下午3点。问:甲、乙两车在几点相遇？
【解析】甲行驶到C点时乙行驶到D点，从D到C，乙行驶了12+3-5=10小时
甲乙在CD中某点E相遇，路程比为3:2，共5份，乙行5份用了10小时,所以乙相遇用了小时，所以在上午（5+4=）9点相遇
【例8】★★快、慢两列车的长分别是150米，200米，它们相向行驶在平行轨道上，如果坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间是6秒，那么坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少秒？
【解析】设慢车驶过快车窗口所用的时间是x秒。两车相对速度一样，路程与时间成正比，
所以有150:200=6: x，解得x=8
【小试牛刀】有甲、乙两辆汽车，在机场与售票处之间往返行驶。甲车去时速度为60千米/小时，回来时速度为40千米/小时。乙车往、返的速度都是50千米/小时。那么，甲、乙两车往返一次所需的时间之比是多少？
解:设机场到售票处的距离为1,两车所需时间之比为
【例9】★★★一段公路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比是1:2:3. 某人走各段路程所用的时间之比是4:5:6，已知他上坡的速度为每小时3千米，路程全长50千米，那么此人走完全程用了多少时间？
【解析】上坡路程为千米，上坡时间为小时，全程时间为小时
【小试牛刀】如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？
【解析】用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为
5∶7∶2，根据齿数与转数成反比例的关系．
　　甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10，
　　乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以
　　甲齿∶乙齿∶丙齿=14∶10∶35
由于14，10，35三个数互质，且齿数需是自然数，
所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是14，10，35
【例10】★★★某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是:大客车30元，小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5:6，小客车与小轿车之比是4:11，收取小轿车的通行费比大客车多210元。求这天三种车辆通过的数量。
【解析】大客车:小客车:小轿车=10:12:33
以10辆大客车，12辆小轿车，33辆小轿车为一组，每组中小轿车的通行费比大客车多
（元），所以这天通过的车辆共有组
大客车 （辆） 小客车 （辆） 小轿车 （辆）
【例11】★★★某供销公司将1200吨化肥售给甲、乙、丙三个乡使用，若甲乡分售的是乙乡的倍，乙乡分售的是丙乡的倍，则甲、乙、丙三个乡分别得多少吨化肥?
【解析】甲:乙:丙=，于是有13+6+5=24份，每份1200÷24=50吨，于是甲分得13×50=650吨，乙6×50=300吨，丙5×50=250吨。

1． 一个长方体，长与宽的比为2:1，宽与高的比为3:2，则长与高的比为
【解析】3:1
2． 一个长方形与一个正方形的周长之比为6:5，长方形的长是宽的倍，则这个长方形与正方形的面积之比为是多少？
【解析】长方形长:宽=7:5，正方形边长为，面积比为
3． 加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现有1825个零件需要加工。如果规定三人用同样的时间完成任务，那么，甲、乙、丙应分别加工多少个零件？
【解析】甲:乙:丙=，28＋24＋21=73
甲加工700个,乙加工600个,丙加工525个
4． 一班和二班人数之比为8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数之比为4:5。求原来一班的人数。
【解析】原来，一班:二班=8:7=24:21
现在，一班:二班=4:5=20:25
一班减少24-20=4份，8人，可见1份为2人，于是原来一班有2×24=48人。
也可以用方程解决。
5． 甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙每取走5只丙就取走6只.问:最后三人各分到多少只贝壳?
【解析】甲:乙=5:4，乙:丙=5:6，于是甲:乙:丙=25:20:24，所以甲50，乙40，丙48
6． 甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲所付钱数的，等于乙所付钱数的，等于丙所付钱数的.已知丙比甲多付了120元，那么这台电视机多少钱?
【解析】由题意，甲:乙=，甲:丙=，于是甲:乙:丙=6:9:7
所以，电视机 (元)
7. 一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。已知他走平路的速度是5千米/时，他走完全程用多少时间？