初三数学相似三角形专题.docx

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初三数学相似三角形专题练习题
1．在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），连结AD，作∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝．有下列结论：①△ADE∽△ACD； ②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③当△DCE为直角三角形时，BD＝8；④3.6≤AE＜10．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①②③

2．如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上的一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝ABCF；③CF＝FD； ④△ABE∽△AEF.其中正确的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）

4．如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，……，如此继续，可以依次得到点D4、D5、……、Dn，分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、……、△BDnEn的面积为S1、S2、S3，……Sn，则（ ）

A． B． C． D．

5．如图，在平行四边形中，是上的一点，∶=2∶3， 连接，且交于点，则∶∶ =（ ）

A．2∶5∶25 B．4∶9∶25 C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
6．如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于 （ ）

A．3∶2 B．3∶1 C．1∶2 D．1∶1
7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=
8．（2014•宿迁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的F处，并且DF∥BC，则BD的长是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长是 .

11．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…，若A1C1=2，且点A，D2， D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是______

12．如图，点P是平行四边形ABCD中边AB上的一点，射线CP交的延长线于点，若，则 .

13．如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：

①∠AFC=∠C；
②DE=CF；
③△ADE∽△FDB；
④∠BFD=∠CAF
其中正确的结论是 ．
14．如图，△ABC中，D为BC 上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为_________．

15．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四边形CDEF=S△ABF，其中正确的结论有 个．

16．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x。
A
D
P
F
B
E
C

（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；

17．小强遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°, AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小强发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 ．
参考小强思考问题的方法，解决问题：
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．
18．如图，已知矩形的边长．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，问：

（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

19．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点．

（1）求证：AC2=ABAD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=5，AB=7，求的值．

20．如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．

（1）当AD：DB=4：3时，求DE长；
（2）当△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，求DE的长．

21．（2015•南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．

（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．

22．如图△ABC中，DE∥BC，，M为BC上一点，AM交DE于N．

（1）若AE=4，求EC的长；
（2）若M为BC的中点，=36，求

23．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2=BD•CE．

（1）求∠DAE的度数
（2）求证：AD2=DB•DE

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参考答案
1．C
【解析】
试题分析：根据题意可得∠ADE=∠B=∠C，∠DAE=∠CAD，则△ADE∽△ACD；当BD=6时，则△ABD和△DCE全等，AE的取值范围为3.6≤AE＜10.
考点：三角形相似.
2．C
【解析】
试题分析：因为正方形ABCD中，E是BC的中点，所以tan∠BAE=，所以∠BAE≠30°，故①错误；因为∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°；所以∠BAE=∠CEF，又因为∠B=∠C=90°，所以△ABE∽△ECF则AB：BE=EC：CF，因为BE=CE，所以AB：CE=EC：CF，即CE2=ABCF，所以②正确；
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴AE=2a，EF=a，AF=5a，∴，，∴，∴△ABE∽△AEF，故④正确．∴CF=EC=CD，∴CF＝FD；故③正确；故选：C.
考点：1.正方形的性质2.相似三角形的判定与性质.
3．B
【解析】
试题分析：两个三角形的三边分别对应成比例，则两个三角形相似.本题只要分别求出这五个三角形的三边长，然后判断边是否成比例即可得出答案.
考点：三角形相似的判定
4．D．
【解析】
试题解析：∵S△BDnEn=S△CDnEnCEn，
∴DnEn=D1E1CEn，而D1E1=BC，CE1=AC，
∴S△BDnEn=×BC×CEn=×CEn=BCAC[]2
=S△ABC[]2，
延长CD1至F使得D1F=CD1，

∴四边形ACBF为矩形．
∴，
对于，
两边均取倒数，
∴，
即是
∴构成等差数列．
而=2，
故=2+1（n-1）=n+1，
∴S△BDnEn=S△ABC[]2，
则Sn=S△ABC．
故选D．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的重心．
5．D．
【解析】
试题解析：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：EC=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，，
∴
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25，
故选D．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.三角形的面积；3.平行四边形的性质．
6．C
【解析】
试题分析：根据平行四边形可得：DE=AD=BC，△EFD∽△CFB，则：EF：FC=ED：BC=BC：BC=1:2.
考点：三角形相似.
7．D
【解析】
试题分析：分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
考点：相似三角形的判定．
8．C
【解析】
试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选：C．

考点：相似三角形的判定；直角梯形．
9．A
【解析】
试题分析：本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、翻折的性质、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质列出关于x的方程是解题的关键．先利用勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知DF=DB，由DF∥BC可知△AFD∽△ACB，利用相似三角形的性质列出方程求解即可．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10．
由翻折的性质可知：DF=DB．
设BD=x，则DF=x．
∵DF∥BC，
∴△AFD∽△ACB．
∴＝，即＝．
解得：x=．
故选：A．
考点：翻折变换（折叠问题）．
10．4
【解析】
试题分析：根据题意可得AD=BD，根据垂直可得∠C=∠BFD，∠BDF=∠ADC=90°，则△ADC≌△BDF，则DF=CD=4.
考点：三角形全等
11．．
【解析】
试题解析：延长D4A和C1B交于O，

∵AB∥A2C1，
∴△AOB∽△D2OC2，
∴，
∵AB=BC1=1，D 2C2=C1C2=2，
∴
∴OC2=2OB，
∴OB=BC2=3，
∴OC2=6，
设正方形A2C2C3D3的边长为x1，
同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，
∴，解得，x1=3，
∴正方形A2C2C3D3的边长为3，
设正方形A3C3C4D4的边长为x2，
同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，
∴，解得x2=，
∴正方形A3C3C4D4的边长为；
设正方形A4C4C5D5的边长为x3，
同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，
∴，解得x=，
∴正方形A4C4C5D5的边长为；
以此类推…．
正方形An-1Cn-1CnDn的边长为；
∴正方形A9C9C10D10的边长为．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．
12．．
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△AEP∽△CBP，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质.
13．①③④
【解析】
试题分析：先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
解：在△ABC与△AEF中
∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E
∴△AEF≌△ABC，
∴AF=AC，
∴∠AFC=∠C；
由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，
可知：△ADE∽△FDB；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAD=∠CAF，
由△ADE∽△FD，B可得∠EAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠CAF．
综上可知：①③④正确．
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
14．5．
【解析】
试题解析：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=5．
考点：相似三角形的判定与性质．
15．4
【解析】
试题解析：过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵AE=AD=BC，
∴，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE=BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
∵tan∠CAD=，
而CD与AD的大小不知道，
∴tan∠CAD的值无法判断，故④错误；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF=S△ABF，S△ABF=S矩形ABCD
∴S△AEF=S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF=S△ACD-S△AEF=S矩形ABCD-S矩形ABCD=S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF=S△ABF，故⑤正确；
故有4个正确
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质．
16．（1）、证明过程见解析；（2）、x=2或x=5.
【解析】
试题分析：（1）、根据正方形的性质得出∠PAF=∠AEB，根据PF⊥AE得出∠PFA=∠ABE=90°，从而说明三角形相似；（2）、分两种情况讨论：当∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，则四边形ABEP为矩形，得出PA=EB=2；当∠PEF=∠AEB时，根据∠PAF=∠AEB得出∠PEF=∠PAF，则PE=PA，根据直角以及中点的性质求出AE、EF的长度，然后根据相似三角形的相似比得出答案.
试题解析：（1）、∵正方形ABCD，∴AD∥BC。
∴∠ABE=90°，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．
∴△PFA∽△ABE；
（2）、情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形
∴PA=EB=2，即x=2
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点。
∵，
∴。
∵，
即，
∴PE=5，即x=5。
∴满足条件的x的值为2或5。
考点：（1）、三角形相似的判定；（2）、分类讨论思想.
17．（1）75°，AC的长为3；（2）.
【解析】
试题分析：(1)过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE的度数是75度，再利用平行线分线段成比例定理得出DE=1，AE=2+1=3,所以AC=AE=3；(2)先建立平行线，过点D作DF⊥AC于点F．得到AB∥DF，由平行线分线段成比例定理得到，由AE=2，得EF=1，AF=3，在Rt△AFD中，由∠FAD=30°，可算出DF和AD的长度，又因为AD=AC，于是可知道AB和AC的长度，再由勾股定理算出BC的长度即可.
试题解析：（1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E,由两直线平行内错角相等可知∠E=∠BAD=75°，因为∠CAD=30°,所以利用三角形内角和可算出∠ACE=180º-75º-30º=75º，再利用平行线分线段成比例定理得出CD:BD=ED:AD,因为AD=2，BD=2DC，所以DE=1，于是AE=2+1=3,因为AC=AE，所以AC的长为3；（2）过点D作DF⊥AC于点F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，∴△ABE∽△FDE，∴，∵AE=2，∴EF=1，AF=2+1=3，AB=2DF．在△ACD中，∵∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，在Rt△AFD中，∠FAD=30°，∴设DF=x, 则AD=2x，∴，解得：(舍去),∴DF=,AB=AC=AD=,∴BC==.
考点：1.平行线分线段成比例定理的应用；2.解直角三角形；3.阅读理解能力.
18．（1）1秒或2秒（2）秒或秒
【解析】
试题分析：（1）设经过秒后，根据的面积等于矩形面积的，得出方程解方程即可；（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可.
试题解析：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，
则有：，即，
解方程，得．
经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的．
（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，
由矩形，可得，
因此有或
即 ①，或 ②．
解①，得；解②，得
经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似
考点：1.矩形的性质2.相似三角形的判定与性质.
19．(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)．
【解析】
试题分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=ABAD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
试题解析: （1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB．
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC2=ABAD．
（2）∵E为AB的中点，∠ACB=90°，
∴CE=AB=AE．
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA．
∴AD∥CE；
（3）∵CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE，
∴AD：CE=AF：CF，
∵CE=AB，
∴CE=×7=，
∵AD=5，
∴，
∴．
考点：相似三角形的判定与性质．
20．（1）DE=4；（2）DE=．
【解析】
试题分析：（1）由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE长；
（2）由△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，设AE+AD=a，CE+DB=b，可得，继而求得a的值，即AE+AD=9①，又由△ADE∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例，可得②，继而求得AE的长，进而求得答案．
解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵AD：DB=4：3，
∴AD：AB=4：7，
∵BC=7，
∴DE=4；
（2）∵△ADE的周长与四边形BCED的周长相等，
∴AD+AE+ED=BC+EC+DE+DB，即AE+AD=BC+CE+DB，
设AE+AD=a，CE+DB=b，则，
解得：a=9，
即AE+AD=9①，
∵△ADE∽△ACB，
∴②，
由①②，得到AE=，
∵，
∴DE=．
考点：相似三角形的判定与性质．
21．（1）见解析；（2）90°
【解析】
试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
考点：相似三角形的判定与性质．
22．（1）2；（2）8
【解析】
试题分析：（1）首先根据DE∥BC得到△ADE和△ABC相似，求出AC的长度，然后根据CE=AC－AE求出长度；（2）根据△ABC的面积求出△ABM的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN的面积．
试题解析：（1）∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴
∵AE=4 ∴AC=6 ∴EC=AC－AE=6－4=2
、∵△ABC的面积为36 点M为BC的中点 ∴△ABM的面积为：36÷2=18
∵△ADN和△ABM的相似比为 ∴ ∴=8
考点： 相似三角形的判定与性质
23．（1）120°（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先利用等边三角形的性质和互补的性质得出，然后结合条件证明△ABD∽△ECA，得出再利用等量代换和角的关系即可得出结论；（2）根据条件证明△ABD∽△EAD即可得出结论．
试题解析：（1）△ABC是等边三角形
，

BC2=BD•CE．

△ABD∽△ECA

，
（2）
△ABD∽△EAD

AD2=DB•DE
考点：1．等边三角形的性质2．相似三角形的判定与性质．

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