高一数学平面向量知识点及典型例题解析.pdf

(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)的全部内容。(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)高一数学 第八章 平面向量高一数学 第八章 平面向量第一讲 向量的概念与线性运算第一讲 向量的概念与线性运算一【要点精讲】1向量的概念向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB,a；坐标表示法),(yxjyi xa.向量的模（长度），记作AB。即向量的大小，记作a|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。零向量：长度为 0 的向量，记为0,其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与 0 的区别）单位向量0a1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作ab相等向量记为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。如图，已知向量a a，b b，在平面内任取一点，作a a，b b，则向量叫做a a与b b的和，AAB BC AC记作a+ba+b，即 a+ba+bABBCAC 特殊情况：向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ABBCCDPQQRAR ，但这时必须“首尾相连”。向量减法：同一个图中画出 ab ab、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3)实数与向量的积3两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。二【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判断下列各命题是否正确（1）零向量没有方向 （2)若baba则,（3）单位向量都相等 （4)向量就是有向线段(5)两相等向量若共起点，则终点也相同 (6）若，则；bacbca(7)若,，则 (8）的充要条件是且；ba/cb/ca/ba|baba/(9）若四边形 ABCD 是平行四边形，则DABCCDB,A练习。(四川省成都市一诊）在四边形 ABCD 中，“”是“四边形 ABCD 为梯形”的A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二：题型二：考查加法、减法运算及相关运算律考查加法、减法运算及相关运算律例 2 化简=)()(BDACCDAB练习 1.下列命题中正确的是 A BOAOBAB 0ABBA C D00AB ABBCCDAD 2。化简得 AC BD CD AB A B C DAB DABC03如图，D、E、F分别是ABC的边AB、BC、CA的中点，则(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)()A.Error!Error!0 B.Error!0DF，C。0 D。Error!0ADCF，题型三:结合图型考查向量加、减法题型三:结合图型考查向量加、减法例 3 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是ABCPPAPBPCAB PBCABC()A B C D13122334例 4 重心、垂心、外心性质练习：1如图，在ABC 中，D、E 为边 AB 的两个三等分点，Error!=3a a，=2b b，求，2 已知求证abab=ab3 若为的内心,且满足OABC，则的形状为（）()(2)0OBOCOBOCOA ABC A。等腰三角形 B。正三角形 C。直角三角形 D.钝角三角形4 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足 2Error!Error!0，则Error!(）A2 B2 C。Error!DError!Error!OA135已知平面上不共线的四点O，A，B，C。若32Error!0,则等于_OA 6已知平面内有一点P及一个ABC，若Error!Error!，则（)PAA点P在ABC外部 B点P在线段AB上 C点P在线段BC上 D点P在线段AC上7在ABC中，已知D是AB边上一点，若Error!2Error!,Error!Error!，则等于（）13A.B。Error!CError!DError!23ABCDE(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)题型四：三点共线问题题型四：三点共线问题例 4 设是不共线的向量，已知向量,若 A,B,D 三21,ee2121212,3,2eeCDeeCBekeAB点共线，求 k 的值例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点,A、B、C 三点在一条直线上 =m+n，求证:PC，m+n=1练习:1已知：，则下列关系一定成立的是2121212CD,BC),(3eeeeeeAB(）A、A,B，C 三点共线 B、A，B，D 三点共线C、C，A，D 三点共线 D、B，C，D 三点共线2（原创题）设a a,b b是两个不共线的向量,若2a akb b，a ab b，Error!2a ab b，且A,B，D三点共线，则实数k的值等于_第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示第 2 讲 平面向量的基本定理与坐标表示一【要点精讲】一【要点精讲】1平面向量的基本定理如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相xy同的_单位向量_、作为基底任作一个向量，有且只有一对实数、，使得,把ijaxyaxiyj叫做向量的(直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标,叫做),(yxa(,)ax yxaxy在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示向量的坐标表示ay 2与相等的向量的坐标也为与相等的向量的坐标也为特别地，,a),(yx(1,0)i(0,1)j 0(0,0)(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)BCAOMD特别提醒：特别提醒：设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标yjxiOAOA),(yxAA),(yx也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表OA示3平面向量的坐标运算（1)（1)若，则=,=11(,)ax y22(,)bxyab1212(,)xxyyab1212(,)xxyy（2）（2）若,，则 （3）（3）若和实数，则),(11yxA),(22yxBAB (,)ax ya(,)xy4向量平行的充要条件的坐标表示:设=（x1,y1)，=（x2,y2)其中abba(）的充要条件是abb012210 x yx y二【典例解析】二【典例解析】题型一。利用一组基底表示平面内的任一向量题型一。利用一组基底表示平面内的任一向量例 1 在OAB中，AD与BC交于点M,OBODOAOC21,41设=，=，用，表示。OAaOBbabOM练习:1若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 1e2e(）A与-B3与 2 C与 D与 21e2e1e2e1e2e1e2e1e1e2 在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点,若Error!Error!，其中、R R，则_。题型二:题型二:向量加、减、数乘的坐标运算向量加、减、数乘的坐标运算 例 3 已知 A（2,4）、B（3，1)、C(3,-4）且，CACM3，求点 M、N 的坐标及向量的坐标。CBCN2MN 练习：1。(2008 年高考辽宁卷）已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1,2）,C（3,1），(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)且2Error!，则顶点D的坐标为（)A（2，Error!)B(2，)C(3,2）D（1，3)2若 M(3，2）N(-5，1)且,求 P 点的坐标；12MP MN 3若 M(3,-2）N(-5,-1),点 P 在 MN 的延长线上,且，12MPMN 求 P 点的坐标;4。(2009 年广东卷文)已知平面向量a a=,1x（），b b=2,x x（），则向量ab(）A 平行于x轴 B。平行于第一、三象限的角平分线 C。平行于y轴 D。平行于第二、四象限的角平分线 5在三角形ABC中，已知A（2，3）,B（8,4),点G(2,1)在中线AD上，且2，AG，则点C的坐标是()A(4，2）B(4，2)C(4，2）D（4,2)6设向量a a(1，3)，b b(2,4)，c c（1，2)，若表示向量 4a a、4b b2c c、2(a ac c）、d d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d d为()A(2，6）B（2，6）C（2，6)D（2，6)7已知A(7，1）、B（1,4)，直线yError!ax与线段AB交于C，且Error!2，则实数a CB，等于(）A2 B1 C。D.Error!题型三:平行、共线问题题型三:平行、共线问题 例 4 已知向量，若,则锐角等于（）(1 sin,1)a1(,1 sin)2bab A B C D30456075 例 5（2009 北京卷文)已知向量(1,0),(0,1),(),abckab kR dab，如果/cd那么（）(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)A1k 且c与d同向 B1k 且c与d反向 C1k 且c与d同向 D1k 且c与d反向 练习:1若向量=(1，x）与=（-x,2)共线且方向相同，求 xab 2已知点 O（0，0)，A(1，2)，B(4，5)及,ABtOAOP 求（1)t 为何值时,P 在 x 轴上？P 在 y 轴上？P 在第二象限。(2）四边形 OABP 能否构成为平行四边形？若能，求出相应的 t 值；若不能，请说明理由。3 已知向量a a（1，2），b b(0,1),设u ua akb b，v v2a ab b，若u uv v，则实数k的值为()A1 B C。Error!D1124已知向量a a(2,3)，b b(1,2),若ma anb b与a a2b b共线，则Error!等于（)A B2 C。D25已知向量Error!（1，3）,(2，1),Error!(m1，m2），若点A、B、C能构成OB，三角形,则实数m应满足的条件是（）Am2 BmError!Cm1 Dm16已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交点P的坐标.题型四：平面向量综合问题例 6 已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，设向量(,)ma b，(sin,sin)nBA，(2,2)pba .（1）若m/n,求证：ABC 为等腰三角形;（2）若mp，边长 c=2,角 C=3，求 ABC 的面积。练习已知点A（1，2)，B(2，8)以及Error!Error!Error!，,求点C、D的坐标和Error!BA，）的坐标第三讲 平面向量的数量积及应用第三讲 平面向量的数量积及应用一【要点精讲】【要点精讲】(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)（1)两个非零向量的夹角已知非零向量a与a,作OAa，OBb，则AA（）叫a与b的夹角；说明:两向量的夹角必须是同起点的，范围 0180。（2）数量积的概念非零向量a与b，ab=abcos叫做a与b的数量积(或内积）.规定00a；向量的投影:bcos=|a baR,称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影;（3）数量积的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.注意：只要 就有 =0，而不必=或=ababa0b0由=及0 却不能推出=得|abacabcab|cos1=a|cos2及|0，只能得到|cos1=|cos2，即、在 方向上投影相等，cabcbca而不能得出=(见图)bc()（)，向量的数量积是不满足结合律的abcabc对于向量、，有|，等号当且仅当 时成立abababab（4)向量数量积的性质向量的模与平方的关系：22|a aaa。乘法公式成立 2222abababab；2222abaa bb222aa bb；向量的夹角：cos=cos,a ba bab=222221212121yxyxyyxx。C(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量1122(,),(,)ax ybxy，则ab=1212x xy y。（6)垂直：如果a与b的夹角为 900则称a与b垂直，记作ab.两个非零向量垂直的充要条件：ababO02121yyxx(7)平面内两点间的距离公式设),(yxa，则222|yxa或22|yxa.221221)()(|yyxxa(平面内两点间的距离公式)。二【典例解析】题型一：数量积的概念例 1判断下列各命题正确与否：(1)00a；（2)00a；（3）若0,aa ba c，则bc；（4）若a ba c，则bc当且仅当0a 时成立;（5）()()a bcab c对任意,a b c向量都成立；题型二.求数量积、求模、求夹角的简单应用例 2 23120oabab已知，与 的夹角为，求；2212323a bababab（）；（）；（）（）（）4 ab（）题型三：向量垂直、平行的判定例 3已知向量)3,2(a，)6,(xb，且ba/，则x .例 4已知4,3a，1,2b ，,mab2nab，按下列条件求实数的值.（1）mn；（2）/mn；(3)mn。例 5已知：、是同一平面内的三个向量，其中=(1，2）abca（1）若|,且，求 的坐标；c52ac/c（2）若=且与垂直,求与的夹角.b,25ba2ba 2ab练习 1 若非零向量、满足，证明:(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)2 在ABC 中，=（2,3),=(1，k)，且ABC 的一个内角为直角,ABAC 求k值3已知向量，若，则（）)1,1(a),2(nb baba|n A B C D31134。12ababaab已知，且与 垂直，求 与 的夹角。5 知为的三个内角的对边，向量 若abc，ABCABC，(31)(cossin)AA，mnmn，且，则角的大小分别为（）coscossinaBbAcCAB，AB C D 6 3，2 36，3 6，3 3，题型四:向量的夹角例 6 已知向量a=(cos,sin），b=（cos，sin），且ab，求ba 与ba 的夹角练习 1 已知两单位向量a与b的夹角为0120,若2,3cab dba，试求c与d的夹角。2|a|=1,b|=2,c=a+b，且ca，则向量a与b的夹角为（）A30B60C120D1503设非零向量a a、b b、c c满足|a a|b b|c c,a ab bc c,则a a，b b(）A150 B120 C60 D304已知向量a a（1，2)，b b（2，4），c c，若（a ab b）c cError!，则a a与c c的夹角为(）A30或 150 B60或 120 C120 D1505.过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E 若ADxAB，AEyAC,0 xy，则11xy的值为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D)1解析:取ABC 为正三角形易得11xy3选 B(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)4。设向量a与b的夹角为，)3,3(a，)1,1(2 ab，则cos5在ABC中，(Error!)|2，则三角形ABC的形状一定是(）AC，AC，A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形.6 已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2(1）求sin和cos的值；(2）若10sin(),0102,求cos的值 题型五:求夹角范围题型五:求夹角范围例 7 已知，且关于 的方程有实根，则 与 的夹角的取值范围是|2|0abx2|0 xa xa b abA。0,B。C。D。6,32,33,6练习 1设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围axx 2,b2,3xabx2已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是 )2,(a)2,3(bab3设两个向量、，满足，,、的夹角为 60,若向量与向量1e2e2|1e1|2e1e2e2172ee t 的夹角为钝角,求实数 的取值范围。21e tet4如图，在 RtABC 中,已知 BC=a,若长为 2a的线段 PQ 以点 A 为中点，问BCPQ与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.CQBP（以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系)题型六:向量的模例 8已知向量a与b的夹角为120o，3,13,aab则b等于（)A5B4C3D1练习 1 平面向量 a 与 b 的夹角为060，a(2，0)，b|1，则|a2b|等于ACa(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)(）A.3 B.23 C。4 D.122已知平面上三个向量、的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120，abc（1）求证：；（2)若，求的取值范围.)(bac1|cbak)(Rk k3平面向量中，已知，且，则向量_。,a b(4,3),|1ab5a b b 4已知|=|=2，与的夹角为 600，则+在上的投影为 。abababa5设向量满足,则 。,a b|1,|32|3abab|3|ab6已知向量的方向相同，且，则_ _。,a b|3,|7ab|2|ab7、已 知 O，N，P 在ABC所 在 平 面 内，且,0OAOBOC NANBNC,且PA PBPB PCPCPA，则点 O，N，P 依次是ABC的（）A.重心 外心 垂心 B。重心 外心 内心 C。外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心题型七:向量的综合应用 例 9已知向量(2，2），（4，1），在x轴上一点P，使Error!有最小值,则PAP，点的坐标是_练习 1 已知向量a a与向量b b的夹角为 120，若向量c ca ab b，且a ac c，则Error!的值为（）A。B。Error!C2 D。122已知圆O的半径为a,A，B是其圆周上的两个三等分点,则Error!(）A。Error!a2 Ba2 C。Error!a2 Da24(原创题)三角形ABC中AP为BC边上的中线，|Error!|3，Error!2，则AP，）_.5 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知m m（cos,sinError!)，n n(cos，sinError!)，且满足|m mn n|。(1）求角A的大小；(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)6在中，的面积是,若，则(）ABC0 ACABABC4153|AB5|ACBAC7已知为原点，点的坐标分别为,，其中常数，点在线段上，O,A B)0,(aA),0(aB0aPAB且有，则的最大值为（)ABtAP)10(tOPOA8已知向量，。33(cos,sin)22axx(cos,sin)22xxb（1）当，求;2,0 x,|a b ab （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围。|2)(bambaxf23xm9.若 正 方 形ABCD边 长 为 1,点P在 线 段AC上 运 动，则)(PDPBAP的 取 值 范 围是 2，4110。已知,a b是两个互相垂直的单位向量，且1c a，1c b,|2c，则对任意的正实数t，1|ttcab的最小值是 2 2.各区期末试题10。在矩形中，是上一点，ABCD3AB 1BC ECD且，则的值为（)1AE AB AE AC 19。如图,点是以为直径的圆上动点，是PABOP 点关于PAB的对称点,.2(0)ABa a （）当点是弧上靠近的三等分点时，求PABB的AP AB 值；（）求的最大值和最小值.AP OP (6）如图所示,点在线段上，且，则 （)CBD3BCCD=AD=（A）（B)32ACAB 43ACAB ABCDEABPO(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)（C）（D）4133ACAB 1233ACAB(16)在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动xOy(3,3)A(5,1)B(2,1)PMOP点。（）求的值；PBPA-（）若四边形是平行四边形,求点的坐标；APBMM(）求的最小值.MA MB 3 已知、三点的坐标分别为、，且.ABC30A，03B，cossinC，322，若，求角的值；ACBC 若，求的值.1AC BC 22sinsin21tan2 已知二次函数对任意，都有成立，设向量 f xxR11fxfx,当时，求不等式的解1sin22sincos21122axbxcxd，0 x，f a bf c d集.2。若点是所在平面内一点,且满足,则等于(）MABC3143AMABAC :ABMABCSS A.B。C.D。121314156。已知为一平面上的定点，,为此平面上不共线的三点，若,OABC(2)0BCOBOCOA 则的形状是 。ABC8.已知向量，。3(sin,)2xa(cos,1)xb（1）当时，求的值；ab2cossin2xx（2）设，为函数的两个零点，求的最小值1x2x2()()4f x abb12xx(5）如图，用向量e e1,e e2表示向量abab为 ()(完整)高一数学平面向量知识点及典型例题解析(word 版可编辑修改)(A）2e e 24e e 1(B)-4e e 2-2e e 1（C)e e 23e e 1（D)e e 2+3e e1（12)已知=+，设=,那么实数的值是_OM 23 OA 13OB AM AB（16)已知向量a a=（1，),b b=（2，0)3（)求向量abab的坐标以及abab与a a的夹角；（）当t1，1时，求a atb b的取值范围