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高一数学必修1第一章知识点总结
一、集合
(一)集合有关概念
1、集合的含义：练习1：下列四组对象，能构成集合的是（ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家
C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2、元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，则a属于A，记作a____A
(2)如果a不是集合A的元素，则a不属于A，记作a_____A
3、常用数集
自然数集______，正整数集______，整数集______，有理数集______，实数集______。
练习2：用适当的符号填空
（1）______, （2）
（3）
（4），
4、集合的中元素的三个特性
(1) 元素的______ (2) 元素的______ (3) 元素的 ______
练习3：若集合中的元素是△的三边长，则△一定不是（ ）
A． 锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
练习4：下面有四个命题：
（1）集合中最小的数是； （2）若不属于，则属于；
（3）若则的最小值为；（4）的解可表示为；
其中正确命题的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5、集合常用的表示方法：
1） _______：{a,b,c……}
2） ________：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x>2} ,{x| x-3>2}
3） __________：例：{不是直角三角形的三角形}； 4） Venn图
练习5：集合M={0，2，3，7}，P={x|x=ab，a、b∈M，a≠b}，用列举法表示，则P=___________.
练习6：
集合

含义

练习7：已知集合，试用列举法表示集合= ___ _
练习8：方程组的解集是（ ）
（A） （B） （C） （D）
(二)集合间的基本关系
1.“包含”关系：子集（）：
注：有两种可能：

B（A）

① 任何一个集合是它本身的子集，即：________
2． “相等”关系：________ ，如图所示：

B（A）

3． “真包含”关系：________，如图所示：

练习10：能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合M的个数是
A．8个 B．6个 C．4个 D．3个
4. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的_______， 空集是任何非空集合的_______。
练习11：下列四个集合中，是空集的是（ ）
A． B．
C． D．
5. 若集合A有n个元素，则其子集的个数为_______，真子集个数_________。
练习12：写出集合｛0，1，2｝的所有子集： ___________________________
(三)集合的运算
1、交集，即AB=____________,请用Venn图表示：
2、 并集，即AB=____________，请用Venn图表示：
3、 补集，即=_____________，请用Venn图表示：
练习13：若集合A={1，3，x}，且A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（ ）
（A）3个 （B）2个 （C）1个　 （D）4个
练习14：表示右图中阴影部分的集合是（ ）
（A）A∪B 　　 （B）A∩B
（C） （D）
练习15：已知集合，，若，则实数t应满足的条件是
4、 相关的运算性质：
交集
(1) A=_____;(2)______(3); (4)
并集
(1) ;(2)；(3)A;(4)
补集
;(2)
常用重要结论

练习16：某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 _____________人。
练习17：全集，集合=，=。
（1）求；
（2）若集合,满足，求实数的取值范围。
二、函数的有关概念
1、函数的概念：设A、B是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，_____________叫做函数的定义域；____________叫做函数值，____________叫做函数的值域．
函数的三要素：_________、__________、____________
练习18： 设，，给出下列4个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系是 （ ）

练习19：设一个函数的解析式，若它的值域为，则该函数的定义域为
2、定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母； (2)偶次方根的被开方数；
(3)对数式的真数必须>0；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1;
(6) ；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义
练习20：已知函数的定义域是 （ ）
（A） [－1，1] （B）{－1，1} （C）（－1，1） （D）
练习21：已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A. B. C. D.
练习22：函数的值域是 ；当时，函数的值域为 ，函数的最大值为 ，最小值为 ；当时，函数的值域为 。
3、相同函数的判断方法：
①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
练习23：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是__________，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有________的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B
练习24：下列集合到集合的对应是映射的是 ( )

练习25：已知点在对应关系作用下对应的元素是，则在作用下对应的元素是 .
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
练习26：已知函数，则＝ ；若，则
三、函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当_______时，都有_______，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间。
（2）减函数：如果对于区间D上的任意两个自变量的值，当______时，都有_______，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。区间D称为y=f(x)的单调减区间。
练习27：函数，在内递减，在内递增，则的值为( )
A． B． C． D．
注意：函数的单调性是函数的局部性质；
2、函数最大（小）值（定义见课本p36页）
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
（注意x的取值范围）
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有__________；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有__________；
练习28：在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0)
（1）求的函数解析式；（2）求在上的最值；
（3）求在上的最值；

练习29：设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ）
A． B．2 C． D．4
（3） 图象的特点：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是_______，减函数的图象从左到右是________。
3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法（即用定义法证明单调性）：
○1 _____________；○2 ______________（通常是因式分解和配方）；
○3 _______________；○4 _______________；
(B)图象法(从图象上看升降)
注意：单调区间不能随便并起来。
练习31：
4、函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有________，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有_________，那么f(x)就叫做奇函数．
练习32：函数是( )
A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数，又是偶函数 D、既不是奇函数，也不是偶函数
练习33：下列结论中：不正确的个数是（ ）

A 1 B. 2 C 3 D 4
（3）奇偶函数的性质:偶函数的图象关于______对称；奇函数的图象关于_______对称．
‚奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_________
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性_________
ƒ若奇函数在x=0处有定义，则f(0)=________
练习34：奇函数在区间 上为减函数，且有最小值，则它在区间上（ ）
A．是减函数，有最大值 B．是增函数，有最大值
C．是减函数，有最小值 D．是增函数，有最小值
练习35：是定义在R上的偶函数，且时，，则（ ） A. B. C.0 D.1
（4）多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
练习36：设，且，求的值
5、函数奇偶性的判定方法
（1）利用定义判断函数奇偶性的步骤：
○1_______________________；○2___________________________；
○3____________________________；
（2） 利用定理，或借助函数的图象判定
6、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：
1) 凑配法：练习37：已知
2) 待定系数法：练习38：已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=0,,f(x+1)-f(x)=2x,求函数f(x)的解析式。

3) 换元法：练习39：已知。
4) 利用奇偶性：练习40：已知定义域为的奇函数，当x＞0时，；则当时= .
易错点：
1、 属于跟包含的关系：
属于是指_______与_________的关系；‚包含是指_______与_________的关系
练习41：在以下五个写法中： ①{0}Î{0,1,2}； ② φÍ{0}； ③ {0,1,2}Í{1,2,0}；
④ 0Îφ； ⑤ 0∩φ=φ，写法正确的个数有（　 　　）
A. 0个 　 　 B. 1个 　　　C. 2个 　 D. 4个
2、 在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况：
练习42：设A={－4，1}，B=,,则t的值为_________
练习43：已知集合A={x|2a－1≤x≤a+3}，B={x| x<－1或x5}，若A∩B＝Φ，求a的取值范围。
3、 描述法表示的集合的含义：
练习44：已知集合M={y|y=}，N={x|y=}，则集合M与N的关系是________
练习45：设x=,y=,A={x|x=m-n,m}，那么x,y与集合A的关系是（ ）

4、集合的“交”“并”“补”运算中，端点是否可取问题：
练习46：已知集合A=，，（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值.

5、 求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则．
练习47：定义在（-1，1）上的奇函数是减函数，且,求的取值范围。

6、 判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称．
练习48：判断函数的奇偶性:

7、 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)
练习49：证明：函数在上为增函数．

8、单调区间是否可并
练习50：函数的单调递增区间为_______________
练习51：已知函数是定义在上的奇函数，当时，
（1）求函数的解析式，
（2）求函数的增区间和减区间.
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