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2013九年数学综合练习（一）及答案
一、选择题
1．的绝对值是 （ ）
A． B． C． D．
2．为积极转化奥运会、残奥会志愿者工作成果，完善和健全志愿者服务体系及长效机制，北京市将力争实现每年提供志愿服务时间11000万小时. 11000万小时用科学记数法表示为（ ）
A．万小时 B．万小时 C．万小时 D．万小时
3. 方程的解是（ ）
A． B． C．或 D．
Ａ
Ｏ
Ｂ
（第5题）
4. 某市2010年4月的一周中每天最低气温如下：13，11，7，12，13，13，12，则在这一周中，最低气温的众数和中位数分别是（ ）
A. 13和11 B. 12和13 C. 11和12 D. 13和12
5. 如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积等于（ ）
A． B． C．65 D．
6. 如图，△ABC内接于⊙O，∠C =45°，AB=2，则⊙O的半径为（ ）
（第6题）
A．1 B． C．2 D．
7．把4张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1，2，3，4，
洗匀后正面朝下放在桌子上，随机从中抽取一张卡片，记下数字
后放回，再随机从中抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上的数字
之和等于5的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，在直角梯形中，∥，，
，AD＝2cm，动点P、Q同时从点出发，点
沿BA、AD、DC运动到点停止，点沿运动到点停止，
两点运动时的速度都是1cm/s，而当点到达点时，点 （第8题）
正好到达点．设P点运动的时间为，的面积为．
下图中能正确表示整个运动中关于的函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
第11题

二、填空题
9．计算：＝ .
10. 因式分解： ．
11．如图，中，，平分交AC于点D，若CD=6，则点D到AB的距离为 ．
12. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5，则整数m的值为 .
三、解答题
13．计算：— tan30° ÷ ＋.

14．解方程：.

15.先化简，再求值：，其中．
解：

16. 已知：如图，AD∥BC，AD＝BC，E为BC上一点，且AE＝AB.
求证：DE＝AC.

17. 如图，点在反比例函数的图象与直线交于
点，且点纵坐标为1，求该反比例函数的解析式．

18、某校欲从甲、乙、丙三名候选人中挑选一名作为学生会主席，根据设定的录用程序，首先，随机抽取校内200名学生对三名候选人进行投票选举，要求每名学生最多推荐一人. 投票结果统计如下：

图1
图2
200名学生投票结果统计图 三名候选人得票情况统计图

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩（分）
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图1和图2；
（2）若每名候选人得一票记1分，根据投票、笔试、面试三项得分按的比例确定个人综合成绩，综合成绩高的被录用，请你分析谁将被录用.

19. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，CD＝4，
∠ACB＝∠D，，求梯形ABCD的面积.

20.改革开放30年来，我国的文化事业得到了长足发展，以公共图书馆和博物馆为例，
1978年全国两馆共约有1550个，至2008年已发展到约4650个. 2008年公共图书馆的数量比1978年公共图书馆数量的2倍还多350个，博物馆的数量是1978年博物馆数量的5倍. 2008年全国公共图书馆和博物馆各有多少个？

21. 响应“绿色环保，畅通出行”的号召，越来越多的市民选择
乘地铁出行，为保证市民方便出行，我市新建了多条地铁线路，
与旧地铁线路相比，新建地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍
增加，已知原楼梯BD长20米，在楼梯水平长度（BC）不发生
改变的前提下，楼梯的倾斜角由30°增大到45°，那么新修建
的楼梯高度将会增加多少米？
（结果保留整数，参考数据：，）

22. 已知：在⊙O中，AB是直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过点C作直线FC，使∠FCA＝∠AOE，交AB的延长线于点D.
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）设OC与BE相交于点G，若OG＝2，求⊙O
半径的长；
（3）在（2）的条件下，当OE＝3时，求图中阴影
部分的面积.

23. 将图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，
△CBE为等腰三角形；再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原直角三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样两个矩形为“叠加矩形”.

图① 图② 图③

（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜三角形ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形”为正方形，那么它必须满足的条件是 ；
（4）如果一个四边形一定能折成“叠加矩形”，那么它必须满足的条件是 .

24. 观察下面方程的解法：

解：原方程可化为：（
∴（
∴ 或 或 或
∴， ，，
你能否求出方程 的解？

25.

图① 图②
（1） 已知：如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在斜边AB上，且
∠DCE=45°. 求证：线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图②，等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数；
（3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE的值．

2013九年数学综合练习（一）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
C
D
C
B
C
B
二、填空题：9. 10. 11. 6 12. 0或4
三、解答题 13. 解：原式＝ .
14. 解： . . 解得 .经检验，是原分式方程的解.
15. 解：原式＝ . 当时，原式＝
16、证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠1.
∵AE＝AB， ∴∠1＝∠B.
∴∠B＝∠DAE. 又AD＝BC，
∴△ABC≌△AED. ∴DE＝AC.
17. 解：把代入，得. ∴点A的坐标为（3，1）.
把点A（3，1）代入，得.∴该反比例函数的解析式为.
18. 解：（1）图1中，丙得票所占的百分比为．
补全图2见下图．
三名候选人得票情况统计图

（2）∵，
，
． ∴丙被录用

19. 解：在梯形ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2.
∵∠ACB＝∠D＝90°∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠B＝90°
∴∠3＝∠B. ∴
在Rt△ACD中，CD＝4，tan∠3＝
∴.∴.
在Rt△ACB中，tan∠B＝＝＝ ∴BC＝3
AB＝ ∴
20. 解：设1978年全国有公共图书馆x个，博物馆y个， 由题意，得
解得 则，.
答：2008年全国有公共图书馆2650个，博物馆2000个.
21. 解：由题意，可得△ABC和△BDC都是直角三角形，
在Rt△BDC中，BD＝20，∠DBC＝30°，∴，.
在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，∴.∴.
∴（米）.答：新修建的楼梯高度会增加7米.
22. 证明：（1）连接OC（如图①），
∵OA＝OC，∴∠1＝∠A.
∵OE⊥AC，∴∠A＋∠AOE＝90°.
∴∠1＋∠AOE＝90°.
又∠FCA＝∠AOE， 图①
∴∠1＋∠FCA＝90°. 即∠OCF＝90°∴FD是⊙O的切线.
（2）连接BC（如图②），
∵OE⊥AC，∴AE＝EC.又AO＝OB，∴OE∥BC且.
∴△OEG∽△CBG. ∴. 图②
∵OG＝2，∴CG＝4. ∴OC＝6. 即⊙O半径是6.
（3）∵OE＝3，由（2）知BC＝2OE＝6. ∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等边三角形.∴∠COB＝60°.
在Rt△OCD中，.
∴.

23. （1） （2）

（说明：只需画出折痕.）
（2）（说明：只需画出满足条件的一个三角形；答案不惟一，所画三角形的一边长与该边上的高相等即可.）
（3）三角形的一边长与该边上的高相等.
（4）对角线互相垂直.（注：回答菱形、正方形不给分）
24. 解：原方程可化为：

∴
图①
∴ 或
∴， ，，
25.（1）证明：如图①，∵∠ACB＝90°，AC=BC，
∴∠A＝∠B＝45°.
以CE为一边作∠ECF＝∠ECB，在CF上
截取CF=CB，则CF=CB=AC.
连接DF、EF，则△CFE≌△CBE.
∴FE=BE，∠1＝∠B＝45°.
∵∠DCE＝∠ECF＋∠DCF＝45°，
∴∠DCA＋∠ECB＝45°.
∴∠DCF＝∠DCA.
∴△DCF≌△DCA. ∴∠2＝∠A＝45°，DF＝AD.
∴∠DFE＝∠2＋∠1＝90°.∴△DFE是直角三角形.
又AD=DF，EB=EF，
∴线段DE、AD、EB总能构成一个直角三角形.

（2）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能
构成一个等腰三角形.
图②
如图②，与（1）类似，以CE为一边，作
∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得
△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA.
∴AD=DF，EF=BE.
∴∠DFE＝∠1＋∠2＝∠A＋∠B＝120°.
若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE.
∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.
且顶角∠DFE为120°.
（3）证明：如图①，∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE，∠CDB＝∠ACD＋∠A.
又∠DCE＝∠A＝45°，∴∠ACE＝∠CDB.
又∠A＝∠B，∴△ACE∽△BDC.∴.∴.
∵Rt△ACB中，由，得.
∴.