初三数学二次函数知识点总结及经典模拟题.doc

《二次函数》知识点总结
一. 二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二. 二次函数的图像和性质
表达式 (a≠0)
a值
图像
开口 方向
对称轴
顶点 坐标
增减性
最值
①y=ax2
a＞0

向上
y轴
（0，0）
①当x＞0时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y有最小值，即=0
a＜0

向下
y轴
（0，0）
①当x＞0时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=0时，y有最大值，即=0
②y=ax2+k
a＞0

向上
y轴
（0，k）
①当x＞0时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y有最小值，即=k
a＜0

向下
y轴
（0，k）
①当x＞0时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=0时，y有最大值，即=k
③y=a(x-h)2
a＞0

向上
直线x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=h时，y有最小值，即=0
a＜0

向下
直线x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=h时，y有最大值，即=0
④y=a(x-h)2+k
a＞0

向上
直线x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x的增大而增大
②当x＜h时，y随x的增大而减小
当x=h时，y有最小值，即=k
a＜0

向下
直线x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x的增大而减小
②当x＜h时，y随x的增大而增大
当x=h时，y有最大值，即=k
⑤
y=ax2+bx+c
可化为：
y=a(x+2+
a＞0

向上
直线x=-
（-，）
①当x＞-时，y随x的增大而增大
②当x＜-时，y随x的增大而减小
当x=-时，
y有最小值，=

a＜0

向下
直线x=-
（-，）
①当x＞-时，y随x的增大而减小
②当x＜-时，y随x的增大而增大
当x=-时，
y有最大值，即
y最大值=
三. 二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”
温馨提示
二次函数图像间的平移可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图像间的平移.
四.二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五．二次函数解析式的三种表示方法
名称
解析式
使用范围
一般式

已知任意三个点
顶点式

已知顶点（h，k）及另一点
交点式

已知与x轴的两个交点及另一个点
温馨提示
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，将顶点式、交点式去括号、合并同类项就可转化为一般式，把一般式配方、因式分解就可转化为顶点式、交点式.
六．二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数【a决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线开口的大小】
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，a的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越大，开口越大，的值越大，开口越大．
注：|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线开口越大
抛物线的形状相同，即|a|相同.
2. 一次项系数【由a和对称轴共同决定】
对称轴在y轴的左侧，a，b同号；对称轴在y轴的右侧，a，b异号.
（左同右异 b为0时，对称轴为y轴）
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
七．二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：
y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）
1.△=b²-4ac＞0抛物线与x轴有两个交点
2.△=b²-4ac=0抛物线与x轴有一个交点
3.△=b²-4ac＜0抛物线与x轴没有交点
① 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
②当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
八.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：
1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）.
2.二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解.
九.二次函数的应用
二次函数应用
☆☆二次函数抛物线简单的图形变换☆☆
（1）顶点式【（a≠0）】
名称
a
顶点（h，k）
平移
a
(h， k)
↓ ↓
左加右减 上加下减
对
称
关于x轴对称
-a
(h，-k)
关于y轴对称
a
(-h，k)
关于原点对称
-a
(-h，-k)
旋转（绕顶点旋转180°）
-a
(h，k)
（2）一般式【（a≠0）】
①平移：如将二次函数向右平移m(m＞0)个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到
②对称
名称
a、b、c的变化
解析式变化
关于x轴对称
a→-a; b→-b; c→-c
y=ax²+bx+c→y=-ax²-bx-c
关于y轴对称
a→不变；b→-b；c→不变
y=ax²+bx+c→y=ax²-bx+c
关于原点对称
a→-a；b→不变；c→-c
y=ax²+bx+c→y=-ax²+bx-c
注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.
二次函数对应练习试题
一.选择题
1.二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2.把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（ ）A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3
6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ）
A.第一象限　　　B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限
7.方程的正根的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C. 或 D. 或
二．填空题
9．二次函数的对称轴是，则_______.
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.
11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）.
12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 .
13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= .
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　 (π取3.14).　　　　
三．解答题：
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
第15题图
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?
16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。
(3)点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．
18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
19.某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y=kx+b，且x=70时，y=50；x=80时，y=40；
（1）求出一次函数y=kx+b的解析式
（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
二次函数应用题训练
1.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分）之间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0≤x≤30).
（1）当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱？
（2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？
2.如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?

3.已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8
(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K
① 求的值
② 设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值
(2) 若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长

4.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB边向点B 以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面积是多少?

5.如图,隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8m,宽AB为2m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)一辆货运卡车高4.5m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?
(3)如果该隧道内设双行道,为了安全起见,在隧道正中间设有0.4m的隔离带,则该辆货运卡车还能通过隧道吗?

【举一反三】如图,隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m.
求圆弧AED所在圆的半径;
如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m,宽2.3m,问这辆货运卡车能否通过该隧道.

6.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;
(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.

7.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？

8.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140－2x.
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式;
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
二次函数专题复习 图像特征与a、b、c、△符号的关系
1.已知二次函数，如图所示，若，，那么它的图象大致是 （ ）

2.已知二次函数的图象如图所示，则点(ac，bc)在 （　 ）
A.第一象限　　　B.第二象限
C.第三象限　　 D.第四象限

3.已知二次函数的图象如下，则下列结论正确的是 （ ）
A. B.
C. D.

4. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①a>0；②c>0；③b2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1，则点M（b，）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6.二次函数的图象如图所示，则（ ）
A.a＞0，b²-4ac＜0 B.a＞0，b²-4ac＞0 C.a＜0，b²-4ac＜0 D.a＜0，b²-4ac＞0

7.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　）
A.ac＜0 B.a-b+c＞0 C.b=-4a D.关于x的方程ax+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5

8.已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①b-4ac＞0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0其中，正确结论的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4

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