新课标高三数学第一轮复习单元讲座.doc
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1、新课标高三数学第一轮复习单元讲座-函数与方程一课标要求:1结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;2根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与这三个“二次问题有关.预计2008年高考对本讲的要求是:以二分
2、法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。(1)题型可为选择、填空和解答;(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点(1)函数零点概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点:),方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点;),方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;),方程无实根
3、,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点。零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点。既存在,使得,这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤:对于在区间,上连续不断,且满足的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:(1)确定区间,,验证,给定精度;(2)求区间,的中点;(3)计算:若=,则就是函数的零点;若,则令=(此时零点);若,则令=(此时零点);(4)判断是否达到精度;即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤24。注
4、:函数零点的性质从“数”的角度看:即是使的实数;从“形”的角度看:即是函数的图象与轴交点的横坐标;若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点;若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点。注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。3二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n。(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)。若p,则f(p)=m,f(q)=M;若px0,则f()=m,f(q)=M;若x0f(1m)当x(1m, +)时,
5、f (x)0,f(x)为增函数,f(x)f(1m)根据函数极值判别方法,f(1m)=1m为极小值,而且对x(m, +)都有f(x)f(1m)=1m故当整数m1时,f(x) 1m0(2)证明:由(I)知,当整数m1时,f(1m)=1-m1时,函数f(x)=xln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号,由所给定理知,存在唯一的故当m1时,方程f(x)=0在内有两个实根.点评:本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例4若函数在区间a,b上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A若,不存在实数使得;B若,存在且只存在一
6、个实数使得;C若,有可能存在实数使得; D若,有可能不存在实数使得;解析:由零点存在性定理可知选项D不正确;对于选项B,可通过反例“在区间上满足,但其存在三个解”推翻;同时选项A可通过反例“在区间上满足,但其存在两个解”;选项D正确,见实例“在区间上满足,但其不存在实数解”。点评:该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型3:二分法的概念例5关于“二分法求方程的近似解,说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将在a,b内的所有零点得到;B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b内的零点;C应用“二分法”求方程的近似解,在a,b内有可能无零点;D“二分法”求方程的近似解可能得到在
7、a,b内的精确解;解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可能求出其中的一个,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解,二分法的实施满足零点存在性定理,在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点.点评:该题深入解析了二分法的思想方法。例6方程在0,1内的近似解,用“二分法计算到达到精确度要求。那么所取误差限是( )A0。05 B0.005 C0。0005 D0。00005解析:由四舍五入的原则知道,当时,精度达到。此时差限是0。0005,选项为C。点评:该题考察了差限的定义,以及它对精度的影响。题型4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例
8、7借助计算器,用二分法求出在区间(1,2)内的近似解(精确到0。1)。解析:原方程即。令,用计算器做出如下对应值表x21012f(x)2.58203.0530279181。07944.6974观察上表,可知零点在(1,2)内取区间中点=1.5,且,从而,可知零点在(1,1.5)内;再取区间中点=1。25,且,从而,可知零点在(1。25,1。5)内;同理取区间中点=1。375,且,从而,可知零点在(1.25,1。375)内;由于区间(1。25,1.375)内任一值精确到0.1后都是1.3.故结果是1.3。点评:该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程,通过本题学会借助精度终止二分法的过程.例8借
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