全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精全国通用版高中数学第六章平面向量及其应用知识点归纳超级精简版简版 单选题 1、已知平面向量(1，2)，(2，m)，且 ，则 2 3()A(4，8)B(8，16)C(4，8)D(8，16)答案：A 分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.，1m2(2)，m4，(2，4)，2 3(2，4)(6，12)(4，8)故选：A.2、已知=(2,3)，=(3，t)，|=1，则=A-3B-2 C2D3 答案：C 分析：根据向量三角形法则求出 t，再求出向量的数量积.由=(1,3)，|=12+(3)2=1，得=3，则=(1,0)，=(2,3)(1,0)=2 1+3 0=2故选 C 小提示：本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大 3、设,均为单位向量，且|=1，则|2|=（）A3B7C3D7 答案：A 分析：由已知，利用向量数量积的运算律求得 =12，又|2|2=2 4 +42即可求|2|.由题设，|2=2 2 +2=1，又,均为单位向量，=12，|2|2=2 4 +42=3，则|2|=3.故选：A 4、在平行四边形中，|=3，若|+|=|，则|=（）A23B33C43D3 答案：B 解析：由题意分析可知，四边形为菱形且=120，然后求解|.|+|=|，则平分，则四边形为菱形.且=120，由|=|=3，则|=33,故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意|为 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.5、一个骑行爱好者从地出发向西骑行了2km到达地，然后再由地向北偏西60骑行23km到达地，再从地向南偏西30骑行了5km到达地，则地到地的直线距离是（）A8B37C33D5 答案：B 分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答.如图，在 中，=150，=2,=23，依题意，=90，在 中，由余弦定理得：=2+2 2 cos=4+12+83 32=27，由正弦定理得：sin=sin=127，在 中，cos=cos(90+)=sin=127，由余弦定理得：=2+2 2 cos=28+25+2 27 5 127=37，所以地到地的直线距离是37km.故选：B 6、已知在锐角三角形中，角，所对的边分别为，若2=(+)，则sincoscos的取值范围是（）A(0,22)B(0,32)C(12,22)D(12,32)答案：C 分析：由2=(+)利用余弦定理，可得 =2cos，正弦定理边化角，在消去，可得sin()=sin，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得sincoscos的取值范围 由2=(+)及余弦定理，可得 =2cos 正弦定理边化角，得sin sin=2sincos +=sin(+)sin=2sincos sin()=sin 是锐角三角形，=，即=2 0 2，2 +，那么：6 4 则sincoscos=sin2sin()=sin (12，22)故选：C 小提示：方法点睛：解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.7、如图，等腰梯形ABCD中，=3，点E为线段CD上靠近D的三等分点，点 F 为线段BC的中点，则=（）A1318+518B1318+118 C1118+49D1118+119 答案：B 分析：以,为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可.=+=12+23=12()+23(+23)=12122949 =1318+118 故选：B 8、2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影,满足=45，=60由C点测得B点的仰角为15，与的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面的高度差 约为（3 1.732）（）A346B373C446D473 答案：B 分析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案 过作 ，过作 ，故 =()=+100=+100，由题，易知 为等腰直角三角形，所以=所以 =+100=+100 因为=15，所以=100tan15 在 中，由正弦定理得：sin45=sin75=100tan15cos15=100sin15，而sin15=sin(45 30)=sin45cos30 cos45sin30=624，所以=10042262=100(3+1)273，所以 =+100 373 故选：B 小提示：本题关键点在于如何正确将 的长度通过作辅助线的方式转化为+100 9、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12=(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.10、已知向量 与的夹角为6，且|=2|=2，则 =（）A3B1C23D2 答案：A 解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|=2|=2，则|=2，|=1，又向量 与的夹角为6，所以 =|cos,=2 1 32=3.故选：A 小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11、已知向量 =(1,1)，=(2,3)，那么|2|=（）A5B52C8D74 答案：B 分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量 =(1,1)，=(2,3)，所以 2=(5,5)|2|=52+(5)2=52.故选：B.12、定义空间两个向量的一种运算 =|sin,，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A()=()B()=()C(+)=()+()D若 =(1,1)，=(2,2)，则 =|12 21|答案：D 分析：A按的正负分类讨论可得，B由新定义的意义判断，C可举反例说明进行判断，D与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断 A()=|sin，0时，=，()=|sin=()，=0时，()=0,()=0，成立，0时，=，sin=sin()=sin ()=|sin=()，综上，A 不恒成立；B 是一个实数，()无意义，B 不成立；C若 =(0,1),=(1,0)，=(1,1)，则 +=(1,1)，=0，(+)=|+|sin0=2 2 0=0，=4,=4，()+()=1 2 sin4+1 2 sin4=2，(+)()+()，C 错误；D若 =(1,1)，=(2,2)，则|=12+12，|=22+22，cos=12+1212+1222+22，sin=1 cos2=1(12+12)2(12+12)(22+22)=|1221|(12+12)(22+22)，所以 =|sin=|12 21|，成立 故选：D 小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin 用cos，而余弦可由数量积进行计算 填空题 13、点为 内一点，+3+4=0，则,的面积之比是_.答案：4:3:1 分析：先将已知的向量关系式化为+=3(+)，设为中点，为中点，再根据平面向量的平行四边形法则的加法运算得出=3，从而可知、三点共线，且=3，进而得出=34=38，=14=18，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.解：因为+3+4=0，所以+=3(+)，设为中点，为中点，为三角形的中位线，则=12，因为+=2,+=2，可得=3，所以、三点共线，且=3，则=34=38，=14=18，分别设=,=1,=2,=3,=4，由图可知，1=2，3=4，则1=38，所以1=38，而4=18，所以4=18，所以=1+2=21=34，=3+4=24=14，所以:=:34:14=4:3:1，即,的面积之比等于4:3:1.所以答案是：4:3:1.14、设向量 =2 3,=4 2,=3 +2，若用,表示，则 =_.答案：74 +138 分析：根据平面向量基本定理进行求解即可.设 =+，则有 =3 +2=(2 3)+(4 2)=(2+4)+(3 2)，得2+4=33 2=2 =74,=138.，所以 =74 +138，所以答案是：74 +138 15、如图，在平行四边形中，=4，=3，E为边的中点，=12，若=3，则cos=_.答案：18#0.125 分析：将和利用线性运算表示成和，运用数量积运算即可得到答案 =12，=23，=+=+23，=+=+12，=(+12)(+23)=23223 122 =23 3223 4 3 cos 12 42=3，cos=18，所以答案是：18 16、已知(2,3)，(4,3)，若=2，则点的坐标为_.答案：(103,1)分析：设(,)，根据向量的坐标表示求出,，再由向量的数量关系列方程组求出的坐标即可.设(,)，则=(2,3)，=(4,+3)，又=2，有 2=8 2 3=2 6，可得=103=1，所以的坐标为(103,1).所以答案是：(103,1)17、在 中，点满足=34，当点在线段上移动时，若=+，则=(1)2+2的最小值是_ 答案：910#0.9 分析：根据题意画出图形，利用,表示出，再设=，0 1；用分别表示出求出与，再将其代入=(1)2+2，可得=5282+1，然后利用二次函数的性质即可求=(1)2+2的最小值 如图所示，中，=34，=+=+34=+34()=14+34，又点点在线段上移动，设=，0 1，=4+34，又=+，=4=34，=(1)2+2=(4 1)2+(34)2=5282+1，当=25时，取到最小值，最小值为910.所以答案是：910 解答题 18、已知 =(1,0),=(2,1).（1）当为何值时，+与 +2共线？（2）当为何值时，+与 +2垂直？（3）当为何值时，+与 +2的夹角为锐角？答案：（1）12；（2）125；（3）125且 12.分析：（1）利用向量共线的坐标表示：12 21=0即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：12+12=0即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需12+12 0且不共线即可求解.解：（1）+=(+2,1),+2=(5,2).+与 +2平行，(+2)2 1 5=0，解得=12.（2）+与 +2垂直，(+)(+2)=0，即5 (+2)+2 1=0，=125（3）由题意可得5 (+2)+2 1 0且不共线，解得 125且 12.19、已知向量 =(1,1)，=(0,2)，在下列条件下分别求k的值：(1)+与 平行；(2)+与 的夹角为23 答案：(1)1(2)1 3 分析：（1）首先求出 +与 ，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可；（2）首先利用向量数量积的坐标运算求出(+)()，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可；（1）解：因为 =(1,1)，=(0,2)，所以 +=(1,1)，=(,+2)，又 +与 平行，所以=+2，解得=1；（2）解：因为 +=(1,1)，=(,+2)，所以(+)()=1 +(1)(+2)=2，因为 +与 夹角为23，所以(+)()=|+|cos23，即2=2 2+(+2)212，解得=1 3 20、在条件sin=cos(6)，cos2(2+)+cos=54，sin+2=sin中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答 问题：在 中，角,的对边分别为,，=3,=3,，_，求 答案：选择见解析；=3 分析：若选择条件，由正弦定理，三角函数恒等变换，化简可求的值，再利用平面向量数量积的运算可求的值，然后利用余弦定理求解 若选择条件，利用诱导公式化简得到cos2 cos+14=0，解得cos=12，结合范围 (0,)，可得的值，下同选 若选择条件，利用三角函数恒等变换化简可得sin2=12，进而可求2=6，可得的值，下同选 若选择条件，因为sin=cos(6)，由正弦定理sin=sin，可得sinsin=sincos(6)，因为sin 0，所以sin=cos(6)=32cos+12sin，所以tan=3，因为0 0，所以 =3 若选择条件，因为cos2(2+)+cos=54，所以cos2 cos+14=0，可得cos=12，因为 (0,)，所以=3 下同选 若选择条件，sin+2=sin，因为+=，所以sin2=sin，所以cos2=2sin2cos2，因为 (0,)，所以2(0,2)，所以cos2 0，所以sin2=12，所以2=6，所以=3 下同选 小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到