高中数学高考题详解-基本不等式.doc

考点29基本不等式
一、选择题
1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）的最大值为()
A.B.C.D.
【解题指南】直接利用基本不等式求解.
【解析】选B.当或时,，当时,,当且仅当即时取等号.
2.（2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值为（） 
A.0    B.1  C.   D.3 
【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入，进而再利用基本不等式求出的最值.
【解析】选B.由，得.
所以，当且仅当，即时取等号此时，..
3.（2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（）
A.0B.C.2D.
【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入，进而再利用基本不等式求出的最值.
【解析】选C.由，得.
所以，当且仅当，
即时取等号此时，
所以，
当且仅当y=2-y时取等号.
4.(2013·福建高考文科·T7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是　(　　)
A．B．C．D．
【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.
【解析】选D.≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.
二、填空题
5.（2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数在时取得最小值，则____________。
【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将代入即可.
【解析】由题，根据基本不等式，当且仅当时取等号，而由题知当时取得最小值，即.
【答案】36
6.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a+b=2,b>0,则的最小值为.
【解题指南】将中的1由a+b代换，再由均值不等式求解.
【解析】因为a+b=2,b>0，所以
，当且仅当时等号成立，此时，或，
若，则，若，则所以的最小值为
【答案】
7.（2013·天津高考理科·Ｔ14）设a+b=2,b>0,则当a=时,取得最小值.
【解题指南】将中的1由a+b代换，再由均值不等式求解.
【解析】因为a+b=2,b>0，所以
，当且仅当时等号成立，此时，或，
若，则，若，则所以取最小值时，.
【答案】-2
8.（2013·上海高考文科·T13）设常数a＞0.若对一切正实数x成立，则a的取值范围为.
【解析】考查均值不等式的应用，
【答案】
9.（2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).
【解题指南】设出矩形的高y，由题目已知列出x，y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.
【解析】设矩形高为y,由三角形相似得:
.
【答案】20.
2014年全国高考理科数学试题：不等式选讲
一、填空题
1．（2014年广州数学（理）试题）不等式的解集为。
2．（2014年高考陕西卷（理））(不等式选做题)设，且，则的最小值为___________________
3．（2014年高考江西卷（理））对任意,的最小值为（）
A.B.C.D.
4．（2014年高考安徽卷（理）若函数的最小值3，则实数的值为（）
A.5或8B.或5C.或D.或
5.（2014年高考湖南卷（理）若关于x的不等式的解集为，则a=_________________
6.（2014年高考重庆卷（理）设函数f(x)＝｜x－1｜，则不等式的解集为_________________.
二、解答题
1．（2014年高考新课标2（理））（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数=
（Ⅰ）证明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
2.（2014年辽宁数学（理）试题）选修4-5:不等式选讲
设函数，记的解集为M，的解集为N. （1）求M； （2）当时，证明：
3．（2014年福建数学（理）试题（纯WORD版））选修4-5:不等式选讲
已知定义在R上的函数的最小值为a.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:.
4．（2014年高考新课标1（理））（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
若，且.
(Ⅰ)求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.
二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值
1.（2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
2.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______.
三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值
1.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．
2.(2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为
（A）[-5.7]（B）[-4,6]
（C）（D）
3.【2012高考真题江西理16】（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。
4.(2011年高考天津卷理科13)
已知集合，则集合=________.
5【2012高考真题新课标理24】（本小题满分10分）选修：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
6．(2011年高考辽宁卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.
（I）证明：-3≤f（x）≤3；
（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
四：利用数轴法求解
1.【2012高考真题陕西理15】A.（不等式选做题）若存在实数使成立，则实数的取值范围是.
2.若不等式对所有的都恒成立，则的取值范围是
3．（2009辽宁选作24）
设函数
（I）若；
（II）如果的取值范围。
五．涉及绝对值不等式的恒成立问题，方法：分段去绝对值
1．（2010年高考福建卷理科21）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数。
（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
2．(2011年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
3.【2012高考真题辽宁理24】(本小题满分10分)选修45：不等式选讲
已知，不等式的解集为。
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若恒成立，求k的取值范围。
六：性质：，运用
1.(2010年高考福建卷理科)对于实数x，y，若，，则的最大值为.
2.【2012高考江苏24】[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知实数x，y满足：求证：．
2.比较法解不等式
1．(2011年高考福建卷理科21)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
2．（2010年高考江苏卷试题21）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：。
3.均值不等式及其推广的运用
1.【2012高考真题福建理23】（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1,1].
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且
3．（2010年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。