新课程下的高中数学概念教学的探索-2.doc

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新课程下的高中数学概念教学的探索

摘 要：2007年,北京进入新课改,对教师提出更高的要求.有些教师对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；不知如何教概念.导致课堂教学抓不住数学概念的核心，学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。因此,我和教师们一起开展概念教学研究,对概念教学有了一定的认识,重视概念教学的基本环节的设计与实施.概念教学效果有了明显改善.
关键词：概念；概念教学
一、问题的提出
1.新课改，对教师提出更高的要求
2007年北京进入高中新课改，对教师提出了更高的要求。一方面，课标内容比原来的大纲版教材内容明显增加。原来文理科都是五本教材，现在文科五本必修+2本选修；理科五本必修+5本选修.从知识点上看，原来文科有12章，共120个知识点；理科14章，共135个知识点。而现在文科有必修14章+选修7章，共21章，理科必修14章+选修13章共27章。文、理科的必修内容就有156个知识点。内容的增加，给高中数学教师带来挑战。另一方面，模块教学的要求，几乎每一节课都是新课，使教师没有更多的时间上习题课，讲评作业，甚至做检测，这对于课堂教学的要求大大提高了。
面对新的挑战，如果我们还想以往那样上课，显然不行。以往的课堂的不足，教师还可以有课时以大量的解题操练作为弥补，由于内容的相对少，时间充裕，能有一些成效。但新课改后，内容的增多，没有课时给学生大量的操练，如何让学生学会数学呢？
2.教学层面的问题：
以往的教学，课堂教学抓不住数学概念的核心，没有前后一致、贯穿始终的数学思想主线，在学生没有基本了解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间，数学课堂中效益、质量“双低下”。学生花大量时间学数学，做无数的练习，但数学基础仍很脆弱。
3.教师的问题
对中学数学概念的核心把握不准确，对概念所反映的思想方法的理解水平不高；有些老师不知如何教概念．概念教学走过场，常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，以解题教学代替概念教学，认为让学生多做几道题目更实惠．
中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士认为数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。
因此，我和教师们针对高中数学概念教学开始了新的探索，经过半年的实践-反思-再实践-再反思，有了一些初步的成果。
二、课题研究的意义
1. 理论基础
本课题的理论基础是建构主义理论。建构主义理论的内容很丰富，但其核心只用一句话就可以概括：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构(而不是像传统教学那样，只是把知识从教师头脑中传送到学生的笔记本上)。
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助学习是获取知识的过程其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。
建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习，也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者。学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。
2. 实践价值
随着新课改的深入，对教师的要求越来越高。本课题的研究，使教师站在高起点上认识数学，理解数学。围绕数学核心概念、思想方法进行教学；在挖掘知识所蕴含的价值观资源上狠下功夫。并能进行有效的教学设计，使学生的数学思维能力得到发展。
三、概念的界定：
1. 什么是概念？
概念是反映事物本质属性的思维形式。正确的概念是科学抽象的结果。人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过“透过现象看本质”的过程，舍掉事物的次要属性，保留事物的本质属性，进而形成了概念。任何概念都有含义、意义。概念的内涵就是指反映在概念中的对象的本质属性；概念的外延就是指具有概念所反映的本质属性的对象。概念的内涵是概念的质的方面，它说明概念反映的事物是什么样的；概念的外延式概念的量的方面，通常说的概念的适应范围就是指概念的外延，它说明概念反映的是那些事物。概念的内涵和外延式来那个个密切联系、互相依赖的因素。每一个科学概念都有其确定的内涵和外延。
2.什么是明确概念
教学中明确概念，基本要求就是要明确概念的内涵和外延，即明确概念所反映的对象具有什么本质特征，明确概念所指的是哪些对象。只有对概念的内涵和外延都有了准确地了解，才能说明已经明确了概念。
3.怎样使学生掌握概念呢？
认识论原理指出，人们对事物本质的认识不一可能一次性完成，需要经历一个由感性认识到理性认识的循环往复过程；同时，由于事物不可能孤立地存在，因此必须用联系的观点才能认清事物的本质。因此，对于概念教学的规律，我们也应该从过程和联系两个角度进行考察。也就是把概念放到相应的概念体系中去，考察它的来龙去脉，不仅要知道学习这一概念需要怎样的基础，还要知道掌握它以后能干什么。从而帮助学生形成结构功能强大的概念体系。
4.对概念教学的理解
原来，我们对概念教学的理解，通常是指概念课的教学，即学习新概念的这一节课的教学。经过探索，我们发现，这样的认识很狭隘。学生掌握一个数学概念，不是一节课或几节课就已完成的，有的需要一段时间，才能真正掌握。例如函数的概念，极限的概念等等。因此，概念教学包括概念课以及后继课，只是重点不同罢了。
四、研究过程与方法。
研究方法：案例分析、研讨交流等方式。
研究过程：以人民教育出版社B版教材必修1第二章《函数》中几个重要概念为例。对于函数概念、函数的单调性、函数的奇偶性，函数的零点，指数函数，对数函数，幂函数等重要概念进行研究，每个概念的教学都经历了对概念的理解—教学设计—课堂观察—反思—后继跟进的过程，使得我们对于这些概念的教学有了一定的认识，并形成概念的基本环节。
五、研究的初步结果
1.对概念的理解:
教师做好概念教学，首先基于对概念的理解。这里对概念的理解指的是：概念的背景、发展；内涵和外延；与其它概念的联系；概念的课标要求,分几个阶段认识、理解、掌握概念。例如函数这个概念，它是数学学科的重要概念，也是高中数学的一个核心概念。
从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。
从对函数的不同认识阶段看：初中以“变量说”定义函数,重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数,帮助学生形成对函数的直接体验,体会函数的意义,形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以“对应说”定义函数,引进数字以外的符号(y = f (x) 中,f 不代表数,与x ,y 的含义非常不同) 表达函数,进一步明确函数的表示法,以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体,给出研究函数性质的方法和过程的示范,进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用,使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”。
从研究函数的方法上：对于“基本初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究,逐步加深对函数概念的理解,在“基本初等函数”的应用中,不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性,建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以,本单元的核心任务就是:建立一般意义的函数概念,了解函数的抽象符号的意义,了解函数中的问题、内容和方法,形成研究函数问题的“基本规范”。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如：
另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
2、概念教学的设计
数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入----概念的形成----概括概念----明确概念-----应用概念------形成认知。
（1）概念引入
学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。
另外，许多新概念的研究是与与之相似的概念类比进行的。例如，类比指数的运算法则引出对数的运算法则；类比指数函数引出对数函数等等。
从实际问题出发的引入。中学数学概念与实际生活有着密切的联系，让学生了解概念的实际背景，有利于学生认识学习数学的作用，同时也能激发学生学习数学的兴趣。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数概念的引入就可以用学生熟悉的实际问题，如时间、速度、路程的关系；生产中的函数关系，气温变化，买卖上品中的函数关系等，引入函数概念。再如指数函数的引入，教师可以让学生做一个折纸游戏：将一张厚度为0.1毫米的报纸进行对折1，2，3，…,30次，你知道会有多高吗？若对折x次，得到高度为y,y与x 有怎样的关系？学生很感兴趣，动手去折，折到7-8次，就折不动了。用计算器算一算，对折30次，得到约为1087千米。并且得到这个函数。这样引入，即让学生体会到生活中的指数函数，而且还感受到了指数函数的增加的速度，体会指数爆炸。
（2）概念的形成
概念的形成阶段，教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。例如，在引入偶函数这个概念时，教师可以让学生观察熟悉的函数的图像，学生很容易看出图像关于y对称。教师提出问题：你能从数的角度说明它问什么关于y对称吗？学生根据初中对对称的认识，发现自变量x的值对称着取，观察他们的函数值。于是，学生计算了，f(1),f(-1),f(2),f(-2),f(3),f(-3),学生猜想，x取互为相反数的两个值，他们的函数值相等。教师追问：是对所有的x都成立吗？于是，学生计算f(-x)与f(x),发现相等。然后教师给出这类函数的名字为偶函数。
（3）概念的概括
概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念括概念这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。前面偶函数的例子中，教师就可以让学生概念括偶函数的定义了。学生概括为：设函数若满足，则这个函数叫偶函数。虽然不完善，但偶函数的本质已经出来了。教师接着给出问题：函数是偶函数吗？设计意图让学生关注偶函数的意义域的特征，进一步完善定义。这样进行概念教学，不仅能扳住学生理解概念，而且能够培养学生的思维能力。
（4）明确概念
明确概念即明确概念的内涵和外延。明确概念，就是要明确包含在定义中的关键词语。例如：偶函数的定义是：设函数的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x且，则这个函数叫偶函数。
定义中的“任意”的含义，定义域的特征：关于原点对称；解析式的特点，都需要学生明白无误地理解。因此，教师在教学中，可以通过举例说明，也可以让学生举例，从而发现问题。特别是举反例，可以加深学生对概念的理解。从概念的形成（具体）到明确概念（一般），再到举出实例（具体）形成一个完整的概念认知过程。
（5）应用概念
在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。例如《函数的奇偶性》明确奇函数和偶函数的概念后，可以让学生判断下列函数的奇偶性：
①; 　②　　③;
④　　 ⑤
①的目的是让学生理解判断函数奇偶性的两种方法：定义和图像，并规范解题格式。②是一个奇函数。③满足ｆ（１）＝ｆ（－１），但是非奇非偶函数。④具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称⑤既奇又偶函数。这是学生能用概念判断面临的某一事物是否属于反映的具体对象，是在知觉水平上进行的应用。
概念的应用也可以与其他原有概念结合，进行思维水平上的应用。
（６）形成良好的数学认知结构
学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学。例如，函数的奇偶性是函数的一种性质，它与定义域、值域，单调性一样是我们今后研究函数的性质的一种。
3.概念课的后继课程的概念教学
概念教学不等同于概念课的教学。一个概念的学习，不仅仅是一节概念可就能完成的。对概念的理解与掌握是一个循序渐进的过程，需要在概念课的后继课程中不断的反复应用，不断的加深理解。例如在学习指数函数后，利用指数函数的性质比较大小：，学生能够做对，但是说不清楚为什么。学生知道利用的是指数函数的单调性，但却把这两个数当成函数，说明学生对于函数概念，函数值，用函数观点看问题，都需要再次理解。因此，教师在这里就要对函数等概念再次指导学生理解，指导学生从函数观点看这两个数，他们是函数的两个函数值，比较函数值的大小，通过研究函数的单调性来解决。每一个概念的学习，都不是一蹴而就的，概念课的后继课对原有概念的理解依然很重要。
六、进一步思考的问题。
高中数学我们很大的精力都在做概念教学，但是真正对概念教学的研究，我们才刚刚起步，虽然有了一些想法和做法，但还有许多需要思考和完善的地方。下一步的研究思路：
1. 加强相关理论的学习，并请专家指导。
2. 继续加强对教材的研究，对于每个核心概念，从高观点去理解和把握。
3. 关注概念教学每一环节的细节处理，关注学生生成，做好新概念和原有概念的融合。
4. 研究有效的教学策略，使我们的教学设计落实到位。

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