2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版).doc

2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
（1）【2017年浙江，1，4分】已知，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】取所有元素，得，故选A．
【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．
（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆的离心率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】，故选B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
（3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：
cm3）是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，
三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体
的体积为，故选A．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．
（4）【2017年浙江，4，4分】若，满足约束条件，则的取值范围是
（ ）
（A） （B）（C） （D）
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，故选D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．
（5）【2017年浙江，5，4分】若函数在区间上的最大值是，最小值是，则（ ）
（A）与a有关，且与b有关 （B）与a有关，但与b无关
（C）与a无关，且与b无关 （D）与a无关，但与b有关
【答案】B
【解析】解法一：因为最值在中取，所以最值之差一定与b无关，故选B．
解法二：函数的图象是开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，①当或，即，或时，函数在区间上单调，此时，故的值与有关，与无关；②当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且，此时，故的值与有关，与无关；③当，即时，函数在区间上递减，在上递增，且，此时，故的值与有关，与无关．综上可得：的值与有关，与无关，故选B．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
（6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，故选C．
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题．
（7）【2017年浙江，7，4分】函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】解法一：由当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，则由导函数 的图象可知：先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，，故选D．
解法二：原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，故选D．
【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．
（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量满足，，．若，则（ ）
（A）， （B），
（C）， （D），
【答案】A
【解析】，
，故选A．
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），
分别为，，上的点，，，分别记二面角，
，的平面较为，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面的中心为．不妨设．则
，，，，，，
，，，，
．设平面的法向量为，则，可得
，可得，取平面的法向量．
则，取．同理可得：．
．∵．∴．
解法二：如图所示，连接，过点发布作垂线：，，
，垂足分别为，连接．设．则
．同理可得：c，．
由已知可得：．∴，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B．
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形，，，，
与交于点O，记，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】∵，，，∴，∴，
由图象知，，∴，，即，故选C．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积， ．
【答案】
【解析】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形中，是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为．
【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．
（12）【2017年浙江，12，6分】已知，（是虚数单位）则 ， ．
【答案】5；2
【解析】由题意可得，则，解得，则．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式，则 ， ．
【答案】16；4
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．
（14）【2017年浙江，14，6分】已知，，． 点为延长线上一点，，连结，则的面积是 ； ．
【答案】；
【解析】取中点，中点，由题意：，中，，，．
又，，
综上可得，面积为，．
【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题．
（15）【2017年浙江，15，6分】已知向量a，b满足则的最小值是 __；最大
值是 __．
【答案】4；
【解析】解法一：设向量和的夹角为，由余弦定理有，
，则，
令，则，据此可得：
，，即的最小值为4，最大值为．
解法二记，则，如图，由余弦定理可得：，
，令，，则，
其图象为一段圆弧，如图，令，则，则直线过、
时最小为，当直线与圆弧相切时最大，由平面几
何知识易知即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧所在圆的半径的倍，
所以．综上所述，的最小值为4，最大值为．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
（16）【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 中不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为：种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有种方法，则满足题意的选法有：种．
解法二：第一类，先选1女3男，有种，这4人选2人作为队长和副队有种，故有
种，第二类，先选2女2男，有种，这4人选2人作为队长和副队有种，
故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为：660．
【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．
（17）【2017年浙江，17，4分】已知，函数在区间上的最大值是5，则的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或：，
解得：或，综上可得，实数的取值范围是．
【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（18）【2017年浙江，18，14分】已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
解：（1），．
（2）由，的最小正周期为．令，，得
，，函数的单调递增区间为．
【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档．
（19）【2017年浙江，19，15分】如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
解：解法一：
（1）取的中点，连接，，∵为的重点，∴，在四边形中，
，，为中点易得，∴平面平面，
平面，平面．
（2）连结，过作与，连结，因为，所以，
易知四边形为矩形，所以，所以平面，又，
所以平面，所以，设，则，所以，
，所以，又平面，所以，所以平面
，即点到平面的距离为，也即点到平面的距离为，因为为
的中点，所以点到平面的距离为，在中，，，，由余弦定
理可得，设直线与平面所成的角为，则．
解法二：
（1）略；构造平行四边形．
（2）过作，交的延长线于点在中，设，则易知
（），解得，过作的平行线，取
，由题易得，，，，
，则 ，，，
设平面的法向量为 ，则 ，令，则，故，
设直线与平面所成的角为，则
故直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．
（20）【2017年浙江，20，15分】已知函数．
（1）求的导函数；
（2）求在区间上的取值范围．
解：（1）．
（2）令，则，当时，，当时，，则
在处取得最小值，既最小值为0，又，则在区间上的最小值为0．
当变化时，，的变化如下表：
x

1

-
0
+
0
-

↘

↗

↘
又，，，则在区间上的最大值为．
综上，在区间上的取值范围是．．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．
（21）【2017年浙江，21，15分】如图，已知抛物线，点，，抛物线上的
点．过点作直线的垂线，垂足为．
（1）求直线斜率的取值范围；
（2）求的最大值．
解：（1）由题易得，，故，故直线斜率的取值范围为．
（2）由（1）知，，所以，设直线的斜率为，则，
，联立直线、方程可知，
故，又因为，
故，
所以，令，，
则，由于当时，
当时，故，即的最大值为．
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
（22）【2017年浙江，22，15分】已知数列满足：，．证明：当时，
（1）；
（2）；
（3）．
解：（1）令函数，则易得在上为增函数．又，若
恒成立，又由可知，
由．所以．
（2）令，，
则，
令，则，
所以单调递增．所以，即，单调递增．
所以，
所以，．
（3），即递推得
．
由知，又由可知．
即．综上可知，．
【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题．
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