历年上海高考题(立体几何).doc

17（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小17.【解析】（1）直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5三棱柱ABCA1B1C1的体积V=SABCAA1=ABACAA1=425=20.（2）连接AM.直三棱柱ABC-A1B1C1，AA1底面ABC.AMA1是直线A1M与平面ABC所成角.ABC是直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，点M是BC的中点，AM=BC=.由AA1底面ABC，可得AA1AM,tanA1MA=.直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan 19（201623-19）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧（1）求三棱锥CO1A1B1的体积；（2）求异面直线B1C与AA1所成的角的大小【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）连结O1B1，推导出O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥CO1A1B1的体积（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小【解答】解：（1）连结O1B1，则O1A1B1=A1O1B1=，O1A1B1为正三角形，=，=（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1AA1，BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，AOB=A1O1B1=，BOC=，BOC为正三角形，BC=BO=1，tanBB1C=45，直线B1C与AA1所成角大小为45【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19、（2015.上海）如图。在长方体中，分别是的中点，证明：四点共面，并求直线与平面所成角的大小。19（2014）（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积19（本题满分12分）解：在中，所以是中位线，故同理，所以是等边三角形，各边长均为设是的中心，则平面，所以，从而，19.(2013)（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体，故，故ABC1D1为平行四边形，故，显然B不在平面D1AC上，于是直线BC1平行于平面DA1C；直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为考虑三棱锥ABCD1的体积，以ABC为底面，可得而中，故所以，即直线BC1到平面D1AC的距离为ABCDPE19.(2012)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2，AD=2，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积；(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)解(1)因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD. 3分ABCDPExyz因为PD=，CD=2，所以三角形PCD的面积为. 6分(2)解法一如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2, 0, 0)，C(2, 2,0)，E(1, , 1)，. 8分设与的夹角为q，则 ，q=. 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 解法二取PB中点F，连接EF、AF，则 EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角 8分 在中，由EF=、AF=、AE=2 知是等腰直角三角形，所以AEF=. 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 21(2011)（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点。（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为。求证：；（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高。21解：设正四棱柱的高为。 连，底面于， 与底面所成的角为，即 ，为中点，又， 是二面角的平面角，即 ，。 建立如图空间直角坐标系，有设平面的一个法向量为， ，取得 点到平面的距离为，则。21、(2010)（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线与所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示） 19(2009)（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 19，【解】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分设AC的中点为M，BMAC, BMCC1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分设平面的一个法向量是 =（x，y，z）， =（-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分 设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分 AEB1D1DC1A1BC16.(2008)(12)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示）【解析】过作，交于，连接 平面， 是直线与平面所成的角EDCABA1B1C1D1F 由题意，得 ， ， 故直线与平面所成角的大小是16(2007)（本题满分12分） 如图，在体积为1的直三棱柱中，求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）16解法一： 由题意，可得体积， 连接 ，平面， 是直线与平面所成的角 ， ，则 即直线与平面所成角的大小为 解法二： 由题意，可得 体积， ， 如图，建立空间直角坐标系 得点， 则，平面的法向量为 设直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则， ， 即直线与平面所成角的大小为 19(2006-19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）PABCDOE在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）解（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角, PBO=60.在RtAOB中BO=ABsin30=1, 由POBO,于是,PO=BOtg60=,而底面菱形的面积为2.四棱锥P-ABCD的体积V=2=2.（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.在RtAOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, ).E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).设的夹角为,有cos=,=arccos,异面直线DE与PA所成角的大小是arccos； 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.由E是PB的中点,得EFPA，FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角)，在RtAOB中AO=ABcos30=OP，于是, 在等腰RtPOA中，PA=，则EF=.在正ABD和正PBD中,DE=DF=， cosFED=异面直线DE与PA所成角的大小是arccos. 17(2005-22-17)（本题满分12分）已知直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，A是直角，AB|CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17解法一由题意AB/CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在RtADC中，可得，又在RtACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH/AD交AB于H，得又在中，可得，在异而直线BC1与DC所成角的大小为解法二如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0） 所成的角为，则异面直线BC1与DC所成角的大小为 21、(2004-22-21)(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分 如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC为正四面体；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.21、【证明】(1) 棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等, DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又截面DEF底面ABC, DE=EF=FD=PD=OE=PF,DPE=EPF=FPD=60, P-ABC是正四面体.【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM. BCPM,BCAM, BC平面PAM,BCDM, 则DMA为二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱长均为1, PM=AM=,由D是PA的中点,得 ,.(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V. 设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为, 则该六面体棱长和为6, 体积为. 正四面体P-ABC的体积是,.可知故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求. 18(2003-22-18)（本题满分12分） 已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积.18解连结BD，因为B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30，所以B1DB=30，于是BB1=BD=2.故平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为SABCDBB1=.17(2002-22-17)（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABOA/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，AOB=90，D是线段A/B/的中点，P是侧棱BB/上的一点.若OPBD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17.POB=arctan. 19(2001-22-19)（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且（）求证：；（）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）【解】（I）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系设，则，.（4分）， .（6分）（II）记，则，三棱锥的体积，当且仅当时，等号成立因此，三棱锥的体积取得最大值时，.（10分）过作交于，连，可知是二面角的平面角在直角三角形中，直角边，是斜边上的高，故二面角的大小为 .（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题 17(2000-22-18)（本题满分12分）已知椭圆的焦点分别为，长轴长为6，设直交椭圆于、两点，求线段的中点坐标。解18（本题满分12分）如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积。解18解法一如图建立空间直角坐标系 （2分）由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。设D点的坐标为(0，0，z)，则又解法二过A引BE的平行线，交与CB的延长线于F，DAF是异面直线BE与AD所成的角，DAF= （4分）E是AC的中点，B是CF的中点，AF=2BE=。 （6分）又BF，BA分别是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。DF=DA。 （8分）三角形ADF是等腰三角形，故， （10分）又，因此四面体ABCD的体积是， （12分）