2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析.doc

整理: 英德市一中陈健伟

2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(I卷)
本试题卷共5页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】：，．故．
故选D．
（2）设，其中是实数，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】：由可知：，故，解得：．所以，．
故选B．
（3）已知等差数列前项的和为，，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】：由等差数列性质可知：，故，而，因此公差
∴．故选C．
（4）某公司的班车在，，发车，小明在至之间到达发车站乘
坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率．故选B．
（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的
取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：表示双曲线，则，∴
由双曲线性质知：，其中是半焦距，∴焦距，解得
∴，故选A．
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的
表面积是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的后的三视图
表面积是的球面面积和三个扇形面积之和
故选A．
（7）函数在的图像大致为

（A） （B）

（C） （D）

【解析】：，排除A；，排除B；
时，，，当时，
因此在单调递减，排除C；故选D．
（8）若，，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；
由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；
要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和，
构造函数，则，在上单调递增，因此
，又由得，
∴，C正确；
要比较和，只需比较和，而函数在上单调递增，
故，又由得，∴，D错误；
故选C．
（9）执行右面的程序框图，如果输入的，，，
则输出的值满足
（A） （B）
（C） （D）
【解析】：第一次循环：；
第二次循环：；
第三次循环：；
输出，，满足；故选C．
（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为，设圆的方程为，如图：
F
设，，点在抛物线上，
∴……①；点在圆上，
∴……②；点在圆上，
∴……③；联立①②③解得：，
焦点到准线的距离为．故选B．
（11）平面过正方体的顶点，平面，
平面 ，平面，则所成角的正弦值为
（A） （B） （C） （D）
【解析】：如图所示：

∵，∴若设平面平面，则
又∵平面∥平面，结合平面平面
∴，故，同理可得：
故、的所成角的大小与、所成角的大小相等，即的大小．
而（均为面对交线），因此，即．
故选A．
（12）已知函数，为的零点，为
图像的对称轴，且在单调，则的最大值为
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
【解析】：由题意知：
则，其中，在单调，
接下来用排除法：若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减。故选B．
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。
（13）设向量a，b，且abab，则 ．
【解析】：由已知得：，∴，解得．
（14）的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）
【解析】：设展开式的第项为，，∴．
当时，，即，故答案为10．
（15）设等比数列满足，，则的最大值为 ．
【解析】：由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．
∴，解得：．故，∴
，当或时，取到最小值，此时取到最大值．所以的最大值为64．
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【解析】：设生产A产品件，B产品件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为
目标函数；
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为，在处取得最大值，

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
【解析】：⑴ ，由正弦定理得：
，∵，，∴
∴，，∵，∴
⑵ 由余弦定理得：，，
，∴，∴，
∴周长为

（18）（本小题满分12分）
如图，在以为顶点的五面体中，面
为正方形，，且二面
角与二面角都是．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【解析】：⑴ ∵为正方形，∴，∵，∴，∵
∴面，面，∴平面平面
⑵ 由⑴知，
∵，平面，平面
∴平面，平面
∵面面
∴，∴
∴四边形为等腰梯形
以为原点，如图建立坐标系，设，
，，，设面法向量为，，即，，
设面法向量为，.即
，，设二面角的大小为.
，二面角的余弦值为

（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【解析】：⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11
记事件为第一台机器3年内换掉个零件
记事件为第二台机器3年内换掉个零件
由题知，
设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

16
17
18
19
20
21
22

⑵ 要令，，
则的最小值为19；
⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用
当时，费用的期望为
当时，费用的期望为
所以应选用

（20）（本小题满分12分）
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．

【解析】：⑴ 圆A整理为，A坐标，如图，
，则，由，
则，
根据椭圆定义为一个椭圆，方程为，()；
⑵ ；设，因为，设，
联立： ，则
圆心到距离，
所以，

（21）（本小题满分12分）
已知函数有两个零点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是的两个零点，证明：．
【解析】：⑴ 由已知得：
① 若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
② 若，那么，
所以当时，，单调递增;当时，，单调递减;
即：

↓
极小值
↑
故在上至多一个零点，在上至多一个零点
由于，，则，
根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，，，
故
则的两根，， ，因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
③ 若，则，
当时，，，
即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：

+
0
-
0
+

↑
极大值
↓
极小值
↑
而极大值

故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
而当时，单调递增，至多一个零点
此时在上至多一个零点，不合题意．
④ 若，那么
当时，，，即，单调递增
当时，，，即，单调递增
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤ 若，则
当时，，，即，单调递增
当时，，，即，单调递减
当时，，，即，
单调递增
即：

+
0
-
0
+

↑
极大值
↓
极小值
↑
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解
当时，单调递增，至多一个零点,此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
⑵ 由已知得：，不难发现，，
故可整理得：, ，则
，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：

设，,则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有
令，则有
而，，在上单调递增，因此：
整理得：．

请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
图，是等腰三角形，．以为圆心，
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；
（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：．
【解析】：⑴ 设圆的半径为，作于
∵,∴
∴与相切
⑵ 方法一：
假设与不平行,与交于,
∵四点共圆,∴
∵,∴
由①②可知矛盾,∴

方法二：
因为，因为所以为的中垂线上，同理所以的中垂线，所以．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．
【解析】：⑴ （均为参数）,∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程
⑵ ,两边同乘得
,即 ②,：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为,①—②得：，即为
∴,∴

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；
（Ⅱ）求不等式的解集．

【解析】：⑴ 如图所示：

⑵ ,,
①，，解得或,
②，，解得或，或
③，，解得或，或
综上，或或
，解集为
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