2016年高考全国二卷理科数学试卷.doc

2016.6
2016年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）
理科数学
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
2. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | (x + 1)(x - 2) < 0，x∈Z}，则A∪B =
A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2,3} D. {-1,0,1,2,3}
3. 已知向量a = (1, m)，b = (3,-2)，且(a + b)⊥b，则m =
A. -8 B. -6 C. 6 D. 8
4. 圆x2 + y2 - 2x - 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y - 1 = 0的距离为1，则a =
A. B.
C. D. 2
5. 如图，小明从街道的E处出发，先
到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明 到老年公寓可以选择的最
短路径条数为
A. 24
B. 18
C. 12
D. 9
6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
7. 若将函数y = 2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为
A. B.
C. D.
8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，
若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a为2、2、5，则输出的s =
A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
9.
A. B. C. D.
10. 从区间[0,1]随机抽取2n个数x1、x2、…、xn、y1、y2、…、yn，构成n个数对(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其中 两数的平方和小于1的数共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
A. B. C. D.
11. 已知F1、F2是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1 =，则E 的离心率为
A. B. C. D. 2
12. 已知函数，若函数图象的交点为(x1,y1)，(x2,y2)，…， (xm,ym)，则
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则b =___________。
14. α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β。 ②如果m⊥α，n//α，那么m⊥n。
③如果α//β，mα，那么m//β。 ④如果m//n，α//β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有______________。（填写所有正确命题的编号）
15. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我 与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我 的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是__________。
16. 若直线y = kx + b是曲线y = ln x + 2的切线，也是曲线y = ln(x + 1)的切线，则b =___________。
三、 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1 = 1，S7 = 28。记bn = [lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9] = 0，[lg 99] = 1。
（I） 求b1，b11，b101；
（II） 求数列{bn}的前1000项和。

18. （本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥ 5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥ 5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.20
0.05
（I） 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II） 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III） 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。

19. （本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB = 5，AC = 6，点E、F分别在AD、CD上，AE = CF =，EF交BD于点H。将△DEF沿EF折到△D’EF的位置，OD’ =。
（I） 证明：D’H⊥平面ABCD；
（II） 求二面角B-D’A-C的正弦值。

20. （本小题满分12分）
已知椭圆E：的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k > 0)的直线交E于A、M两点，点N在E上，MA⊥NA。
（I） 当t = 4，| AM | = | AN |时，求△AMN的面积；
（II） 当2| AM | = | AN |时，求k的取值范围。

21. （本小题满分12分）
（I） 讨论函数的单调性，并证明当x > 0时，；
（II） 证明：有最小值。设g (x)的最小值为h (a)，求函数h (a)的值域。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E、G分别在边DA、DC上（不与端点重合），且
DE = DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F。
（I） 证明：B、C、G、F四点共圆；
（II） 若AB = 1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积。

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x + 6)2 + y2 = 25。
（I） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II） 直线l的参数方程是，l与C交于A、B两点，| AB | =，求l的斜率。

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，M为不等式f (x) < 2的解集。
（I） 求M；
（II） 证明：当。

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