2019年考研数学二真题与解析.pdf

12019 年考研数学二真题解析一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32 分1当时，若与是同阶无穷小，则（）0 x tanxxkxk（A）（B）（C）（D）1234【答案答案】（C）【详解详解】当时，所以，所以0 x 331tan()3xxxo x331tan()3xxxo x 3k 2曲线的拐点是（）3sin2cos()22yxxxx（A）（B）（C）（D）(0,2)(,2)(,)2 2 33(,)22【答案答案】（D）【详解详解】，；sin2cosyxxxcossinyxxx sinyxx sincosyxxx 令得，且，所以是曲线的拐点；sin0yxx 120,xx()0f(,2)而对于点，由于，而，所以不是曲线的拐点(0,0)(0)0f(4)(0)0f3下列反常积分发散的是 （）（A）（B）(C）（D）0 xxe dx20 xxedx20arctan1xdxx201xdxx【答案答案】（D）【详解详解】（1）当时，是关于的一阶无穷小，当然发散；x 2()1xf xx1x201xdxx（2）用定义：，当然发散20201ln(1)|12xdxxx 201xdxx4已知微分方程的通解为，则依次为（）xyaybyce12()xxyCC x ee,a b c（A）（B）(C）（D）1,0,11,0,22,1,32,1,4【答案答案】（D）【详解详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出是特征方程的实根，从而确定121rr 20rarb；2,1ab（2）显然，是非齐次方程的特解，代入原方程确定*xye4c 5已知平面区域，记(,)|2Dx yxy2，则 221DIxy dxdy222sinDIxy dxdy223(1 cos)DIxydxdy（）（A）（B）（C）（D）321III213III123III231III【答案答案】（A）【详解】（1）显然在区域，此时由结论当时知道D22202xy0 x sinxx，所以；2222sinxyxy12II（2）当时，令，则，；0 x()1 cossinf xxx()sincosfxxx()sincosfxxx令得到在唯一驻点，且，也就是在取()0fx(0,)24x04f()1 cossinf xxx 4x得极小值，在同时取得在上的最大值，也就有了结论，04f0,2xx0,2(0)()02ff当时，也就得到了；(0,)2x1 cossinxx32II由（1）、（2）可得到321III6设函数的二阶导函数在处连续，则是两条曲线，(),()f x g xxa2()()lim0()xaf xg xxa()yf x在对应的点处相切及曲率相等的 （）()yg xxa（A）充分不必要条件 （B）充分必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案答案】（A）【详解】充分性：（1）当进，由洛必达法则，2()()lim0()xaf xg xxa2()()1()()10limlim()()()()()22xaxaf xg xfxg xfag afag axaxa也就是两条曲线在对应的点处相切；xa（2）2()()1()()10limlim()()()()()22xaxaf xg xfxg xfag afag axaxa由曲率公式可知两条曲线在对应的点处曲率相等2 3(1)ykyxa必要性不正确的原因在于，虽然相切能得到，但在相切前提下，曲率相等，只能得到()()fag a3，不能确定，当然得不到()()fag a()()fag a2()()lim0()xaf xg xxa7 设是四阶矩阵，为其伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有两个向量，则A*A0Ax（）(*)r A（A）（B）（C）（D）0123【答案答案】（A）【详解】线性方程组基础解系中只有两个向量，也就是，0Ax 4()2()213r Ar An 所以(*)0r A8设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形AE22AAE4A Tx Ax是 （）（A）（B）（C）（D）222123yyy222123yyy222123yyy222123yyy【答案答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可A22AAE220A能是 和而，所以三个特征值只能是，根据惯性定理，二次型121234A 1231,2 的规范型为222123yyy二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 20lim2xxxx【答案答案】24e解：02(21)22lim2(1 ln2)200lim2lim 1214xxxxxxxxxxxxeee10曲线在对应点处的切线在的截距为 sin1 cosxttyt 32ty【答案答案】322【详解详解】，所以切线方程为，在的截距32sin,|11 costdytdydxt dx 331(1)222yxx y为32211.设函数可导，则 .()f u2yzyfx2zzxyxy4【答案答案】22zzyxyyfxyx【详解详解】，3222222,zyyzyyyfffxxxyxxx 22zzyxyyfxyx12曲线的弧长为 lncos(0)6yxx【答案答案】1ln32【详解详解】2211tansecdsy dxxdxxdx66001secln(sectan)|ln3.2sxdxxx13已知函数，则 21sin()xtf xxdtt10()f x dx【答案答案】1(cos1 1)4【详解详解】（1）用定积分的分部积分：211111200001021122010211212201002 10sin()()|()()sin1sin()sin21sin11|sinsin22211cos|(cos1 1)44xxxtf x dxxf xxfx dxxdt dxxx dxttdt dxxx dxttxdtxx dxxx dxtx （2）转换为二重积分：22211111120010000sinsinsin11()sin(cos1 1)24xtxtttf x dxxdt dxxdxdtdtxdxtt dtttt 14已知矩阵，表示元素的代数余子式，则 1100211132210034AijAija1112AA【答案答案】45【详解详解】1112111213141100211100432210034AAAAAA 三、解答题15（本题满分 10 分）已知函数，求，并求函数的极值2,0()1,0 xxxxf xxex()fx()f x【详解详解】当时，；0 x 22 ln()xxxf xxe2()2(ln1)xfxxx当时，；0 x()1xf xxe()(1)xfxxe在处，所以在处0 x 22000()(0)12(ln1)(0)limlimlim1xxxxxf xfxxxfxx()f x0 x 不可导综合上述：；22(ln1),0()(1),0 xxxxxfxxex令得到()0fx1211,xxe 当时，当时，当时，当时，1x ()0fx10 x()0fx10 xe()0fx1xe；()0fx故是函数的极小值点，极小值为；是函数的极大值点，极大值为；11x 1(1)1fe 0 x(0)1f是函数的极小值点，极小值为21xe21()efee16（本题满分 10 分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx【详解详解】22222223623213(1)2ln1(1)(1)1(1)11132ln1ln(1)1xxd xxdxdxxxxxxxxxxxxxxxCx 17（本题满分 10 分）设函数是微分方程满足条件的特解()y x2212xyxyex(1)ye6（1）求的表达式；()y x（2）设平面区域，求绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积(,)|12,0()Dx yxyy xDx【详解详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；0yxy22xyCeC再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，得2212xyxyex22()xyC x e，也就是通解为：222211(),()22xxC x eeC xxx11()2C xdxxCx221()xyxC e把初始条件代入，得，从而得到(1)ye10C 22().xy xxe（2）旋转体的体积为2222411()()2xxVy xdxxe dxee18（本题满分 10 分）设平面区域，计算二重积分22 34(,)|,()Dx yxy xyy22Dxydxdyxy【详解详解】显然积分区域关于轴对称，由对称性，显然22 34(,)|,()Dx yxy xyyy；220Dxdxdyxy233sin5442222044143 2sinsin2120DDxyydxdydxdydrdrdxyxy 19（本题满分 10 分）设是正整数，记为曲线求曲线与轴所形成图形nnSsin(0)xyexxnx的面积，求，并求nSlim.nnS【详解详解】先求曲线与轴的交点：令得xsin0 xex,0,1,2,xkkn当时，；当时，2(21)kxksin0 xyex2(22)kxksin0 xyex由不定积分可得1sin(sincos)2xxexdxexxC，2221sin(1)2kxkkexdxee 22221sin(1)2kxkkexdxee 所求面积为0sinnxnSexdx当为奇数时，n7(21)222210220022002(1)2222(1)20sinsinsin11(1)(1)2211111(1)(1)(1)22121nnnkkxxxnkkkknnkkkknnknkSexdxexdxexdxeeeeeeeeeeee 同理：(2)22011sin(1)21nxnneSexdxee显然，有所以2121 1limlim21nnnneSSe1 1lim21nneSe20（本题满分 11 分）已知函数满足关系式求的值，使得在变换(,)u x y22222230uuuxyy,a b之下，上述等式可化为函数的不含一阶偏导数的等式(,)(,)ax byu x yv x y e(,)v x y【详解详解】在变换之下(,)(,)ax byu x yv x y e，(,)ax byax byuveav x y exx(,),ax byax byuvebv x y eyy，222222(,)ax byax byax byuvveaea v x y exxx；222222(,)ax byax byax byuvvebeb v x y eyyy把上述式子代入关系式，得到22222230uuuxyy222222224(34)(223)(,)0vvvvababb v x yxyxy根据要求，显然当时，可化为函数的不含一阶偏导数的等式30,4ab(,)v x y21（本题满分 11 分）已知函数在上具有二阶导数，且，证明：()f x0,1(0)0,(1)1ff10()1f x dx（1）至少存在一点，使得；(0,1)()0f（2）至少存在一点，使得(0,1)()2f 证明（1）令，则，0()()xxf t dt10(0)0,(1)()1f x dx8则由于在连续，则在上可导，且，则由拉格朗日中值定理，至少存()f x0,1()x0,1()()xf x在一点，使得，也就是；1(0,1)()(1)(0)1101()()(1)f x dxff对在上用罗尔定理，则至少存在一点，使得；()f x1,11(,1)(0,1)()0f（2）令，则显然，在具有二阶导数，2()()F xf xx()F x0,1且211(0)0,(1)2,()1FFF 对分别在上用拉格朗日中值定理，()F x110,1至少存在一点，使得；11(0,)211111()(0)1()0FFF至少存在一点，使得；21(,1)1211()(1)()11FFF 对在上用拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得()()2F xfxx12,12(,)(0,1)，也就是211212111()()()0FFF()2f 22（本题满分 11 分）已知向量组：；12321111,0,2443a 向量组：若向量组和向量组等价，求常数的值，并12321011,2,3313aaaa将用线性表示3123,【详解详解】向量组和向量组等价的充分必要条件是123123123123(,)(,)(,;,)rrr 1231232222111101111101(,;,)1021230110224433 130011 11aaaaaaaa （1）当时，显然，两个向量组等价1a 123123123123(,)(,)(,;,)2rrr 9此时，123311111023(,;)0112011200000000 方程组的通解为，也就是112233xxx123231210 xxxkx，其中为任意常数；3123(23)(2)kkk k（2）当时，继续进行初等行变换如下：1a 12312322111101111101(,;,)0110220110220011 11001111aaaaaa 显然，当且时，1a 1a 123123123(,)(,;,)3rr 同时，也就是123101101101,02202201111101001aaa 123(,)3r，两个向量组等价123123123123(,)(,)(,;,)2rrr 这时，可由线性表示，表示法唯一：3123,312323（本题满分 11 分）已知矩阵与相似22122002Ax21001000By（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得,x yP1P APB【详解详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得ABtrAtrB2(24)241xyxy 32xy（2）解方程组得矩阵的三个特征值221232(2)(2)(1)0002EAA；1232,1,2 分别求解线性方程组得到分属三个特征值的线性无关()0(1,2,3)iEA xi1232,1,2 的特征向量为：1231112,1,2004 10令，则可逆，且；1123111,212004P 1P11212P AP同样的方法，可求得属于矩阵的三个特征值的线性无关的特征向量为：B1232,1,2 1231100,3,00014 令，则可逆，且；2123110,030001P 2P12212P BP由前面，可知令，就满足111122P APP BP112111212004PPP 1P APB