2016年浙江省高考数学试卷(文科).doc

.2016年浙江省高考数学试卷（文科）一、选择题1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，则（UP）Q=（）A1B3，5C1，2，4，6D1，2，3，4，52（5分）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则（）AmlBmnCnlDmn3（5分）函数y=sinx2的图象是（）ABCD4（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD5（5分）已知a，b0且a1，b1，若logab1，则（）A（a1）（b1）0B（a1）（ab）0C（b1）（ba）0D（b1）（ba）06（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）已知函数f（x）满足：f（x）|x|且f（x）2x，xR（）A若f（a）|b|，则abB若f（a）2b，则abC若f（a）|b|，则abD若f（a）2b，则ab8（5分）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列BSn2是等差数列Cdn是等差数列Ddn2是等差数列二、填空题9（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm310（6分）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 11（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则A= ，b= 12（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a0，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数a= ，b= 13（4分）设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是 14（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 15（4分）已知平面向量，|=1，|=2，=1，若为平面单位向量，则|+|的最大值是 三、解答题16（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值17（15分）设数列an的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式an；（）求数列|ann2|的前n项和18（15分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值19（15分）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围20（15分）设函数f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）2016年浙江省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，则（UP）Q=（）A1B3，5C1，2，4，6D1，2，3，4，5【分析】先求出UP，再得出（UP）Q【解答】解：UP=2，4，6，（UP）Q=2，4，61，2，4=1，2，4，6故选：C【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题2（5分）已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则（）AmlBmnCnlDmn【分析】由已知条件推导出l，再由n，推导出nl【解答】解：互相垂直的平面，交于直线l，直线m，n满足m，m或m或m与相交，l，n，nl故选：C【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养3（5分）函数y=sinx2的图象是（）ABCD【分析】根据函数奇偶性的性质，以及函数零点的个数进行判断排除即可【解答】解：sin（x）2=sinx2，函数y=sinx2是偶函数，即函数的图象关于y轴对称，排除A，C；由y=sinx2=0，则x2=k，k0，则x=，k0，故函数有无穷多个零点，排除B，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键比较基础4（5分）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）ABCD【分析】作出平面区域，找出距离最近的平行线的位置，求出直线方程，再计算距离【解答】解：作出平面区域如图所示：当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等联立方程组，解得A（2，1），联立方程组，解得B（1，2）两条平行线分别为y=x1，y=x+1，即xy1=0，xy+1=0平行线间的距离为d=，故选：B【点评】本题考查了平面区域的作法，距离公式的应用，属于基础题5（5分）已知a，b0且a1，b1，若logab1，则（）A（a1）（b1）0B（a1）（ab）0C（b1）（ba）0D（b1）（ba）0【分析】根据对数的运算性质，结合a1或0a1进行判断即可【解答】解：若a1，则由logab1得logablogaa，即ba1，此时ba0，b1，即（b1）（ba）0，若0a1，则由logab1得logablogaa，即ba1，此时ba0，b1，即（b1）（ba）0，综上（b1）（ba）0，故选：D【点评】本题主要考查不等式的应用，根据对数函数的性质，利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键比较基础6（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b0”和“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断【解答】解：f（x）的对称轴为x=，fmin（x）=（1）若b0，则，当f（x）=时，f（f（x）取得最小值f（）=，即f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件（2）设f（x）=t，则f（f（x）=f（t），f（t）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增，若f（f（x）=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则，解得b0或b2“b0”不是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题7（5分）已知函数f（x）满足：f（x）|x|且f（x）2x，xR（）A若f（a）|b|，则abB若f（a）2b，则abC若f（a）|b|，则abD若f（a）2b，则ab【分析】根据不等式的性质，分别进行递推判断即可【解答】解：A若f（a）|b|，则由条件f（x）|x|得f（a）|a|，即|a|b|，则ab不一定成立，故A错误，B若f（a）2b，则由条件知f（x）2x，即f（a）2a，则2af（a）2b，则ab，故B正确，C若f（a）|b|，则由条件f（x）|x|得f（a）|a|，则|a|b|不一定成立，故C错误，D若f（a）2b，则由条件f（x）2x，得f（a）2a，则2a2b，不一定成立，即ab不一定成立，故D错误，故选：B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明，根据条件，结合不等式的性质是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度8（5分）如图，点列An、Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，AnAn+1，nN*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，BnBn+1，nN*，（PQ表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为AnBnBn+1的面积，则（）ASn是等差数列BSn2是等差数列Cdn是等差数列Ddn2是等差数列【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，运用三角形相似知识，hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，进而得到数列Sn为等差数列【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|AnAn+1|=|An+1An+2|=b，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于a，c不确定，则dn不一定是等差数列，dn2不一定是等差数列，设AnBnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn，由三角形的相似可得=，=，两式相加可得，=2，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列另解：可设A1B1B2，A2B2B3，AnBnBn+1为直角三角形，且A1B1，A2B2，AnBn为直角边，即有hn+hn+2=2hn+1，由Sn=dhn，可得Sn+Sn+2=2Sn+1，即为Sn+2Sn+1=Sn+1Sn，则数列Sn为等差数列故选：A【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题二、填空题9（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是80cm2，体积是40cm3【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体下部为长方体，上部为正方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积和体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下部为长方体，其长和宽都为4，高为2，表面积为244+242=64cm2，体积为242=32cm3；上部为正方体，其棱长为2，表面积是622=24 cm2，体积为23=8cm3；所以几何体的表面积为64+24222=80cm2，体积为32+8=40cm3故答案为：80；40【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题，也考查了空间想象和计算能力，是基础题10（6分）已知aR，方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是（2，4），半径是5【分析】由已知可得a2=a+20，解得a=1或a=2，把a=1代入原方程，配方求得圆心坐标和半径，把a=2代入原方程，由D2+E24F0说明方程不表示圆，则答案可求【解答】解：方程a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0表示圆，a2=a+20，解得a=1或a=2当a=1时，方程化为x2+y2+4x+8y5=0，配方得（x+2）2+（y+4）2=25，所得圆的圆心坐标为（2，4），半径为5；当a=2时，方程化为，此时，方程不表示圆，故答案为：（2，4），5【点评】本题考查圆的一般方程，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题11（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），则A=，b=1【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案【解答】解：2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，A=，b=1，故答案为：；1【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键12（6分）设函数f（x）=x3+3x2+1，已知a0，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，xR，则实数a=2，b=1【分析】根据函数解析式化简f（x）f（a），再化简（xb）（xa）2，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值【解答】解：f（x）=x3+3x2+1，f（x）f（a）=x3+3x2+1（a3+3a2+1）=x3+3x2（a3+3a2）（xb）（xa）2=（xb）（x22ax+a2）=x3（2a+b）x2+（a2+2ab）xa2b，且f（x）f（a）=（xb）（xa）2，解得或（舍去），故答案为：2；1【点评】本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题13（4分）设双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出PF2F1和F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围【解答】解：如图，由双曲线x2=1，得a2=1，b2=3，不妨以P在双曲线右支为例，当PF2x轴时，把x=2代入x2=1，得y=3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1PF2，得，又|PF1|PF2|=2，两边平方得：，|PF1|PF2|=6，联立解得：，此时|PF1|+|PF2|=使F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（）故答案为：（）【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题14（4分）如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，ADC=90，沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦的最大值是【分析】如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，可得BOAC，在RtACD中，AC=作DEAC，垂足为E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=过点B作BFAC，作FEBO交BF于点F，则EFAC连接DFFBD为直线AC与BD所成的角则四边形BOEF为矩形，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角DCAB的平面角，设为利用余弦定理求出DF2的最小值即可得出【解答】解：如图所示，取AC的中点O，AB=BC=3，BOAC，在RtACD中，=作DEAC，垂足为E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=过点B作BFAC，作FEBO交BF于点F，则EFAC连接DFFBD为直线AC与BD所成的角则四边形BOEF为矩形，BF=EO=EF=BO=则FED为二面角DCAB的平面角，设为则DF2=+2cos=5cos，cos=1时取等号DB的最小值=2直线AC与BD所成角的余弦的最大值=也可以考虑利用向量法求解故答案为：【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题15（4分）已知平面向量，|=1，|=2，=1，若为平面单位向量，则|+|的最大值是【分析】由题意可知，|+|为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，由此可知，当与共线时，|+|取得最大值，即【解答】解：|+|=，其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和，当与共线时，取得最大值=故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查学生正确理解问题的能力，是中档题三、解答题16（14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值【分析】（1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（AB），由A，B（0，），可得0AB，即可证明（II）cosB=，可得sinB=cosA=cos2B=2cos2B1，sinA=利用cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB即可得出【解答】（1）证明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB），由A，B（0，），0AB，B=AB，或B=（AB），化为A=2B，或A=（舍去）A=2B（II）解：cosB=，sinB=cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA=cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（15分）设数列an的前n项和为Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*（）求通项公式an；（）求数列|ann2|的前n项和【分析】（）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列an是公比q=3的等比数列，即可求通项公式an；（）讨论n的取值，利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列|ann2|的前n项和【解答】解：（）S2=4，an+1=2Sn+1，nN*a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，当n2时，an+1=2Sn+1，an=2Sn1+1，两式相减得an+1an=2（SnSn1）=2an，即an+1=3an，当n=1时，a1=1，a2=3，满足an+1=3an，=3，则数列an是公比q=3的等比数列，则通项公式an=3n1（）ann2=3n1n2，设bn=|ann2|=|3n1n2|，则b1=|3012|=2，b2=|322|=1，当n3时，3n1n20，则bn=|ann2|=3n1n2，此时数列|ann2|的前n项和Tn=3+=，则Tn=【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列an是等比数列是解决本题的关键求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和18（15分）如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求证：BF平面ACFD；（）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值【分析】（）根据三棱台的定义，可知分别延长AD，BE，CF，会交于一点，并设该点为K，并且可以由平面BCFE平面ABC及ACB=90可以得出AC平面BCK，进而得出BFAC而根据条件可以判断出点E，F分别为边BK，CK的中点，从而得出BCK为等边三角形，进而得出BFCK，从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF平面ACFD；（）由BF平面ACFD便可得出BDF为直线BD和平面ACFD所成的角，根据条件可以求出BF=，DF=，从而在RtBDF中可以求出BD的值，从而得出cosBDF的值，即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值【解答】解：（）证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示：平面BCFE平面ABC，且ACBC；AC平面BCK，BF平面BCK；BFAC；又EFBC，BE=EF=FC=1，BC=2；BCK为等边三角形，且F为CK的中点；BFCK，且ACCK=C；BF平面ACFD；（）BF平面ACFD；BDF是直线BD和平面ACFD所成的角；F为CK中点，且DFAC；DF为ACK的中位线，且AC=3；又；在RtBFD中，cos；即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质，等边三角形的中线也是高线，面面垂直的性质定理，以及线面垂直的判定定理，线面角的定义及求法，直角三角形边的关系，三角函数的定义19（15分）如图，设抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1，（）求p的值；（）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围【分析】（）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；（）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围【解答】解：（）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=1的距离，由抛物线定义得，即p=2；（）由（）得，抛物线方程为y2=4x，F（1，0），可设（t2，2t），t0，t1，AF不垂直y轴，设直线AF：x=sy+1（s0），联立，得y24sy4=0y1y2=4，B（），又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为，从而得FN：，直线BN：y=，则N（），设M（m，0），由A、M、N三点共线，得，于是m=，得m0或m2经检验，m0或m2满足题意点M的横坐标的取值范围为（，0）（2，+）【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题20（15分）设函数f（x）=x3+，x0，1，证明：（）f（x）1x+x2（）f（x）【分析】（）根据题意，1x+x2x3=，利用放缩法得，即可证明结论成立；（）利用0x1时x3x，证明f（x），再利用配方法证明f（x），结合函数的最小值得出f（x），即证结论成立【解答】解：（）证明：因为f（x）=x3+，x0，1，且1x+x2x3=，所以，所以1x+x2x3，即f（x）1x+x2；（）证明：因为0x1，所以x3x，所以f（x）=x3+x+=x+=+；由（）得，f（x）1x+x2=+，且f（）=+=，所以f（x）；综上，f（x）【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目18页