高考数学分类汇编：导数及其应用.doc

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2016年高考数学试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
1、（2016年山东高考）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
2、（2016年四川高考）已知a函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a=
(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2
【答案】D
3、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
【答案】A
4、（2016年全国I卷高考）若函数在单调递增，则a的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
【答案】C

二、填空题
1、（2016年天津高考）已知函数为的导函数，则的值为__________.
【答案】3
2、（2016年全国III卷高考）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________.
【答案】

三、解答题
1、（2016年北京高考）设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
解：（I）由，得．
因为，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（II）当时，，
所以．
令，得，解得或．
与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，
，使得．
由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．
（III）当时，，，
此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．
当时，只有一个零点，记作．
当时，，在区间上单调递增；
当时，，在区间上单调递增．
所以不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．
故是有三个不同零点的必要条件．
当，时，，只有两个不同
点， 所以不是有三个不同零点的充分条件．
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．

2、（2016年江苏省高考）
已知函数.
（1） 设a=2,b=.
① 求方程=2的根;
②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；
（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.
解：（1）因为，所以.
①方程，即，亦即，
所以，于是，解得.
②由条件知.
因为对于恒成立，且，
所以对于恒成立.
而，且，
所以，故实数的最大值为4.
（2）因为函数只有1个零点，而，
所以0是函数的唯一零点.
因为，又由知，
所以有唯一解.
令，则，
从而对任意，，所以是上的单调增函数，
于是当，；当时，.
因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.
下证.
若，则，于是，
又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.
因此，.
于是，故，所以.

3、（2016年山东高考）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；
(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.
解析：(Ⅰ)由
可得，
则，
当时，
时，，函数单调递增；
当时，
时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减.
所以当时，函数单调递增区间为；
当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.
①当时，，单调递减.
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，
可得当当时，，时，，
所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，
所以在x=1处取得极小值，不合题意.
③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，
所以当时，， 单调递减，不合题意.
④当时，即 ，当时，，单调递增,
当时，，单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.
综上可知，实数a的取值范围为.

4、（2016年四川高考）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。
（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。
（I）
<0，在内单调递减.
由=0，有.
当时，<0，单调递减；
当时，>0，单调递增.
（II）令=，则=.
当时，>0，所以，从而=>0.
（iii）由（II），当时，>0.
当，时，=.
故当>在区间内恒成立时，必有.
当时，>1.
由（I）有,从而，
所以此时>在区间内不恒成立.
当时，令=().
当时，=.
因此在区间单调递增.
又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.
综上，.

5、（2016年天津高考）设函数，，其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；
（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.
（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：
①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.
②当时，令，解得或.
当变化时，、的变化情况如下表：

0

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.
由题意得，即，进而，
又，且，
由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，
所以.
（3）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：
①当时，，由（1） 知在区间上单调递减，
所以在区间上的取值范围为，因此，

所以.
②当时，，
由（1）和（2） 知，，
所以在区间上的取值范围为，
所以
.
③当时，，由（1）和（2）知，
，，
所以在区间上的取值范围为，因此，

.
综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

6、（2016年全国I卷高考）已知函数.
(I)讨论的单调性；
(II)若有两个零点，求的取值范围.
【解析】（Ⅰ）．
（ i ）当时，则当时，；当时，
故函数在单调递减，在单调递增．
（ ii ）当时，由，解得：或
①若，即，则，
故在单调递增．
②若，即，则当时，；当时，
故函数在，单调递增；在单调递减．
③若，即，则当时，；当时，；
故函数在，单调递增；在单调递减．
（Ⅱ）（i）当时，由（Ⅰ）知，函数在单调递减，在单调递增．
又∵，取实数满足且，则

∴有两个零点．
（ii）若，则，故只有一个零点．
（iii）若，由（I）知，当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；
当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点．
综上所述，的取值范围是．

7、（2016年全国II卷高考） 已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
解析：（I）的定义域为.当时，
，
所以曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，
则，
（i）当，时， ，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
8、（2016年全国III卷高考）设函数．
（I）讨论的单调性；
（II）证明当时，；
（III）设，证明当时，.

9、（2016年浙江高考）
设函数=，.证明：
（I）；
（II）.
解析：(Ⅰ)因为
由于，有即，
所以
(Ⅱ)由得，
故，
所以.
由(Ⅰ)得，
又因为，所以，
综上，

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