多项式因式分解的方法与探讨毕业设计.doc

本 科 生 毕 业 论 文

论 文 题 目： 多项式因式分解的方法探讨
作 者：
院 系： 数理学院
专 业： 数学与应用数学
班 级：
指 导 教 师：

2015 年 5 月 13 日

NO.：201121140212
2008200X2XX40XXX
200X2XX40XXX

摘 要
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，在分式运算、解方程和代数式及三角函数式的恒等变形中有着广泛的应用。
论文概述了因式分解的概念及其相关理论，探讨了因式分解的类型，并通过相关实例，对因式分解的方法进行了归纳总结。
关键词：多项式；因式分解；方法

Abstract
Factorization is one of the most important identical deformation in the middle school mathematics and is a powerful tool for solving many mathematical problems, being widely used in fractional arithmetic, solving equations and algebraic and trigonometric identity deformation style.
The paper makes an outline of the concept and the theory of factorization , investigates the types of factorization and generalizes the methods of factorization through some related examples.
Key words: Polynomial; Factorization; methods

I

目 录
第1章 引 言 1
1.1 问题的提出 1
1.2相关文献综述 1
第2 章 因式分解的相关理论 4
2.1多项式的可约性 4
2.2 一元多项式理论 4
2.3二次多项式理论 5
2.4 多元多项式理论 6
2.4.1 特殊多项式的定义 6
2.4.2特殊多项式的性质 7
第 3章 因式分解的方法探讨 8
3.1应用公式法 8
3.2分组分解法 8
3.3提取公因式法 9
3.4 拆项添项法 10
3.5 十字相乘法 11
3.6 主元法 12
3.7 求根分解法 13
3.8待定系数法 15
3.9综合法 16
结束语 18
致谢 19
参考文献 20

第1章 引 言
1.1 问题的提出
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫作多项式的因式分解（也叫作分解因式）。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学的研究之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。例如在分式运算、解方程和各种恒等变换中，我们经常会用到因式分解的方法来解决问题。
多项式的分解变形就是对多项式进行因式分解，因此因式分解的问题主要是涉及多项式的可约性以及如何分解这两个问题。多项式的因式分解是一项重要的基本技能。在分式运算、解方程和各种恒等变换中，都要用到因式分解。因式分解是在学习有理数和整式四则运算的基础上进行的。它为以后学习分式运算、解方程和代数式及三角函数式的恒等变形提供必要的基础。
因式分解方法灵活，技巧性强，进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学基础知识，并且因式分解的途径很多，技巧性很强。学生在学习时容易出现只提取字母因式，不提取数字系数的情况，分解不彻底和不知如何下手等各种问题。学习因式分解的方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且通过对因式分解的学习，还可以培养学生的观察能力、注意能力、运算能力，提高学生综合分析和解决问题的能力。因此，掌握良好的因式分解的方法与技巧，对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，具有十分重要的作用。
1.2相关文献综述
对于多项式的因式分解的研究，许多专家学者给出了自己的意见和看法。他们通过各种方法探讨了如何将多项式进行分解，通过严密的逻辑推理和合理的假设想象，得出了各种结论，对我们研究多项式分解的方法有着良好的指导作用。
例如学者李颖在《一元多项式因式分解一般方法》介绍了因式分解的定义及其局限性，还介绍了多项式因式分解的两种方法：一种是根据多项式的有理根；另一种是根据多项式的标准分解式。其中第二种方法是把原多项式转化成新的多项式进行分解，新的多项式都是次数较低的，比较容易进行分解，而第一种方法则对于多项式的最高次项系数和常数项的约数个数少的比较适用。不足的是，这两种方法未从理论上作出相应的探讨。
学者林乃荣在《初等数学中多项式因式分解方法探析》一文中也给出了几种分解多项式的方法，它们分别是：待定系数法、余数定理、综合除法和行列式分解等方法。这些方法难度较大，技巧性较强，并且需要高等数学的知识，学生不易掌握，比较适合本科生学习，对于初中生和高中生来说，有点超出他们的认知程度。令人遗憾的是，学者林乃荣研究成果并非很完善，方法比较零散，没有一定的系统性。
学者吕希元在《新课标下的因式分解在高中的拓展》一文中，在新课标背景下，初高中数学教学衔接过程中，由于初中和高中对因式分解的要求不同而造成知识脱节的这一现象，介绍了几种在高中阶段因式分解的拓展方法。因为在现行的初中教材中只介绍了“提取公因式法”和“运用公因式法”。在这基础上又介绍了几种方法：“分组分解法”，“十字相乘法”，“添项法”，“裂项法”，“综合除法”等分解方法。这些方法在初中生和高中生对于因式分解的方法的掌握提供了一个桥梁的作用，让学生更好的掌握多项式分解的方法。令人遗憾的是，他的研究并不全面，应思考更多的方法来进行研究。
学者王锋在《多项式因式分解的几种方法》一文中，给出了几种多项式因式分解的方法和多项式因式分解的两个定理。其定理1为：每个次数大于等于1的复系数多项式在复数域中都可以唯一分解成一次因式的乘积；定理2为：每个次数大于等于1的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解为一次因式和二次不可约因式的乘积。从这两个定理可以看出多项式的可约性和分解式形式与数域有关。在此基础上，介绍了在有理数域上的分解方法：多项式除法（多项式相除，微商法）；待定系数法；利用单位根的方法。并通过相关例子给出了方法的应用，这些方法给因式分解提供了参考。
学者毕严河在《因式分解的方法技巧汇总》一文中，则较系统地介绍了因式分解的方法。具体有：提公因式法、公式法、十字相乘法、拆项、添项法、配方法、应用因式定理、换元法、求根法、图像法，主元法、特殊值法、待定系数法、双十字相乘法、利用根和系数的关系等方法。并针对因式分解问题提出了三个原则：（1）分解要彻底，（2）最后结果只有小括号，（3）最后结果中多项式首项系数为正。客观地讲，他所研究的方法相对完善，对因式分解的方法有较全面的总结归纳，为有效地进行因式分解提供了方法和途径。不足之处在于缺乏一定理论深度，且从学生学习和掌握的角度考虑不多。
综上所述，各学者从不同的角度研究了因式分解的问题，应该说各有所长，各有所短,每位学者研究的角度不同以至于研究的内容不同，因此各个学者的研究成果和内容给了我很大的启发，为我的课题研究提供很好的指导和借鉴作用。

第2 章 因式分解的相关理论
我们在以前所学的初中知识中已经了解了多项式的定义，即由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
2.1多项式的可约性
我们在高等代数里已经研究了多项式的可约性，其结果如下：
（1）在复数域C上，只有一次式是既约的，也就是一个多项式可以分解为 一次因式的乘积。
（2）在实数域R上，一次式和二次式（判别式△<0)是既约的，也就是
多项式可以分解成一次式或二次既约式的乘积。
（3）在有理数域Q上，一次式和任何高于一次的多项式都可以是既约的。
例如，对于任意自然数，多项式就是不可约的。
2.2 一元多项式理论
一元多项式可整理为的形式，其中是非负整数。当时，叫做多项式的次数，上式叫做一元次多项式的标准形式。其中叫做多项式的首项，叫做首项系数。
对于一元多项式，有如下的因式分解定理：
定理1 （因式分解及唯一性定理） :
数域P上每一个次数1的多项式都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。所谓的唯一性就是说，如果有两个分解式，那么必有，并且适当排列因式的次序后有是一些非零常数。
2.3二次多项式理论
对于一般的多项式通过一定的技巧和方法把一般多元二次多项式转化为二次齐次多项式，这时可利用二次型理论研究一般二次多项式可分解的判别法及其分解方法。
定理2 对于实系数的二元二次多项式
则.
证明：设

由待定系数法得：

定理3 设，.
证明 ：
分解为两个一次因式之积
为完全平方式
为完全平方式

2.4 多元多项式理论
多元多项式是一元多项式的推广，是多项式理论研究的重要对象，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到．多元多项式的因式分解是代数学的一项基本内容，也是数学研究的重要内容之一，又是一个在数学科学中既重要又极为困难的问题，在许多情况下有些多元多项式是不能进行因式分解的，因此在这里选择特殊多项式来进行相关的研究。
2.4.1 特殊多项式的定义
我们这里所指的特殊多项式主要指对称多项式、交代多项式和轮换多项式，其概念与性质如下：
（1)对称多项式
设是元多项式，如果对于任意的都有=就称这个多项式是对称多项式，简称对称式。如就是一个三元三次对称多项式。
（2）轮换多项式
设是元多项式，如果将变数字母, 按一定顺序轮换，例如以代,以代,...,以代,以代有=就称这个多项式是轮换多项式，简称轮换式。如是一个轮换多项式。
（3）交代多项式
设是元多项式，如果对于任意的都有=就称这个多项式是交代多项式，简称交代式。如是一个交代多项式。
2.4.2特殊多项式的性质
（1）凡对称式都是轮换式，反之不一定。
(2）变数字母相同的两个对称式的和、差、积、商（能整除的）仍是对称式。
(3)变数字母相同的两个轮换式的和、差、积、商（能整除的）仍是轮换式。
(4)变数字母相同的两个交代式的和、差仍是交代式，它们的积、商（能整除的）仍是对称式。
(5)变数字母相同的一个对称式与一个交代式的积、商（能整除的）则是交代式。
(6)多个变数字母的交代式，必有其中任意两个变数字母之差的因式。

第 3章 因式分解的方法探讨
3.1应用公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式因式分解，这种方法叫做公式法。常用的乘法公式有如下几种：
平方差公式：
完全平方式：
立方和公式：
立方差公式：
完全立方公式：
例1
解 原式

在应用公式法进行因式分解时，要注意公式的特点。一般说来，应先观察多项式的特征，主要看它的项数，次数，然后再尝试某种公式进行因式分解，并记住公式的结构特点和运用条件，确保因式中的系数和符号的正确性。
3.2分组分解法
分组分解是分解多项式的一种较复杂的方法。能分组的多项式往往有有四项或大于四项，一般的分组方法有两种：二二分组法、三一分组法。需要说明的是，运用分组分解法，要对多项式进行细致的观察，观察中还要有一定的预见性，能预见到下一步能否继续分解。其中分析多项式特点，进行恰当分组是分组分解法的关键。
例2
解 原式

例3
解 原式

在运用分组分解法进行因式分解时，首先要注意对多项式进行观察，合理进行分组，如二二分组，其次在各个组内进行分解（如运用提取公因式法、平方法等方法将每个组的多项式进行分解），最后组间再进行分解，如果有公因式，应先提公因式；如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取一个负号是完全平方式，一般就选用三一分组的方法进行分组分解。
3.3提取公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法关键是找公因式。其方法是：一看系数、二看字母。公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂。
例4
解 原式

用提取公因式法分解因式的步骤是:第一步，观察多项式进行找公因式，可按照上述确定公因式的方法，先确定系数再确定字母将公因式确定。第二步，提取公因式并确定另外一个因式，注意另一因式的项数应与原多项式的项数相同。第三步，提取公因式后，将公因式与另一因式想乘。
3.4 拆项添项法
拆项添项法是因式分解常用的方法.在多项式乘法运算时,化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项.拆项是把多项式中的某一项拆成两项或多项,添项是在多项式中添上两个仅符号相反的项.拆项添项法的目的是使多项式能进行因式分解.
例5
解 原式

例6
解 添加两项,
则原式

拆项添项法，这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项或几项，使原式适合于提公因式法，运用公式法或分组分解法进行分解, 要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
要对多项式进行细致的观察，观察中还有预见性，能预见到下一步能否继续分解。其中分析多项式特点，进行恰当拆项，添项是拆项，添项法的关键。
用拆项，添项的方法进行因式分解的时候，要拆哪些项，添哪些项并没有一定的规律，主要是依靠对题目的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是多项式因式分解的诸多方法中技巧性较强的一种方法。
3.5 十字相乘法
十字相乘法是针对二次三项多项式而提出的一种方法，基本思想是：将二次式系数和常数项进行分解，然后交叉相乘（即为十字相乘），十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。其方法的依据是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解。
例6
解 令，
则原式

一般地，对于二次三项式,如果二次项系数可以分解两个因数乘积，即,常数项可以分解为两个因数之积，即,把排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到,若它正好等于二元三次项式的一次项系数，即，那么二元三次项式就可以分解成为的乘积，即

这种方法的关键是对二次三项式的三个系数（二次项系数也称首项系数、一次项系数也称中项系数，常数项也称尾项系数）进行观察，然后再进行首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
3.6 主元法
所谓主元法分解因式就是在分解含多个字母的代数式时,选取其中一个字母为主元(未知数),将其它字母看成是常数,把代数式整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式,再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解。
例7
解 原式
现抛开，只看

一般说来，当多项式中的字母过多，项数过多，并且在运用其他的因式分解的方法不是那么容易的情况下，可以考虑采用主元法进行多项式的因式分解。首先选定一个字母为主元，将其他字母看为常数，然后按照降幂的形式将多项式进行重新排列，再进行观察，看能否用其他的方法进行分解，然后进行继续分解最终将原多项式因式分解。
3.7 求根分解法
求根法就是求出多项式的根从而进行因式分解的一种方法。
即如果多项式有根，则可分解为
在初中代数中，曾用一元二次方程的求根公式把二次三项式分解因式。这种方法对于二元二次多项式也适用。一般说来，对于一元二次多项式，可考虑用求根法求解。即将多项式分解可得,其中为的两根，要用求根公式解出。
例8
解 原式=
应用求根公式得：

因式定理分解法、综合除法实质上是求根法，因此在运用这些方法来进行因式分解的本质上都是一样的，都得先求出这个多项式方程的根，进而再次进行分解。我们在运用因式定理来进行分解因式，即：如果多项式，那么多项式必定含有因式。反过来，如果含有因式，那么，。将因式定理与待定系数法配合使用，往往可以更简便的进行因式分解。当是有理数时可用综合除法予以确定，这种方法的依据是：如果整系数多项式有因式，则一定是的约数，一定是的约数。具体做法是：
（1）先写出整系数多项式的首相系数和常数项的所有因数，然后以的因数为分母，的因数为分子，作出所有可能的既约分数(包括整数）。如果有有理根，则必在这些既约分数中。因此它们是可能的试除数。
（2）从上述既约分数中合理的选择试除数。如果的各项系数都是正数或都是负数，就只有选择负的试除数，同理，如果的各项中奇次项系数都是正数，偶次项系数（包括常数项）都是负数，或者奇次项系数都是负数，偶次项系数都是正数，就只有选择正的试除数。
（3)选好试除数后，即用综合除法试除。当选用作为试除数时，可选用视察法看是否为零。如果不为零，就排除，如果为零，再用综合除法求出商式。
例9
解 可能的试除数是，由于的奇次项系数都是正数，偶次项系数都是负数，故只选正的试除数。又由视察法，，1排除，用2试除
2

3 4 17 28
排除，同样都排除，用试除

3 0 9 0

3.8待定系数法
待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，首先按已知条件把原式假设成若干个因式的乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
例10
解 由
可设

比较上式左右两边的同次项系数，
得

解得
例11
解 由于是4次多项式，且最高次项系数为1，
在R上可以先假设它的分解式为
再求出待定系数，然后观察是否可以分解因式
由

比较上式左右两边的同次项系数，
得

解得
在应用待定系数法进行因式分解时，首先要明确待分解的式子分解后是什么形式.如用待定系数法分解有两个字母的二次多项式,且多项式中含有一次项和常数项。其实待定系数法是把分解因式转换成了解方程，使我们能顺利解决问题.又如含有多个字母的对称多项式或轮换多项式就要用因式定理和待定系数法联合求解。
3.9综合法
这里的综合法是指用两种及以上的方法进行多项式的因式分解的方法。如，对于特殊的多元多项式的因式分解，如对称式、轮换式，其因式分解可考虑观察法和待定系数法并用。
例12
解 由观察可知原多项式为交代式和轮换式。
由于为三元齐次交代式，
必有因式
则可设
令求得

例13
解 由观察可知原多项式为三元齐次对称式。
根据特殊多项式的性质，故当时有，
故有因式
由于为三元齐次对称式
可设
令得
令得

一般说来，对称式、轮换式在进行因式分解时，其步骤是：首先用观察法找出其一次因式，然后根据特殊多项式的性质，用待定系数法求其另外一个因式。

结束语
在解决数学问题中，研究多项式因式分解的问题以及多项式因式分解的方法总结与探讨的现实问题，对我具有特别的吸引力，也具有很强的挑战性，同时也是我们学习初等数学研究，用以研究和解决现实问题的魅力、动力之源．本次毕业论文，主要是从多项式因式分解的理论角度，概述了多项式的可约性，一元多项式理论，二次多项式理论，特殊多项式概念及其性质等；从多项式因式分解类型的角度，归纳总结了因式分解的方法技巧；从多项式因式分解的意义的角度，分析多项式的因式分解能培养学生的逆向思维能力，能培养学生的观察分析能力，还可以培养学生的思维的深刻性．总体上讲，论文基本达到设计要求，但仍然存在不足之处．如方法总结归纳不是很全面，对多项式因式分解的意义探索的不细致，因式分解的方法归纳总结不够全面，而这些都是要进一步研究的问题．
通过总结多项式因式分解的方法，让我了解了很多相关的知识，通过比较不同方法的简便程度，查找相关的资料并进行分析总结，并结合相关的实际例子加以验证，这些问题的分析，都将有利于我今后相关研究工作的进一步展开，为研究推广同类问题提供思路．
多项式因式分解的方法探讨作为我的毕业论文设计，是对我大学学习的一个总结．在历时将近半年的时间里，按照处理具体例子的方法对相关问题进行了分析，总结了具体的某一类问题的求解方法，这些都让我从中都受益匪浅．在分析和撰写论文的过程中，也遇到了很多疑惑和困难．在分析问题和解决问题的过程中，方法也逐步越来越多样化，本人也得以学习和成长．

致谢
在论文设计的过程中，我的论文指导教师张清芳老师对各个环节给予了细心指引与教导, 使我得以最终完成毕业论文设计. 导师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模，她高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着我. 这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助. 在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！
经过了三个多月的学习和工作，我终于完成了这篇论文. 虽然我在校期间一直坚持研究多项式的问题，这个论文题目我在此之前已研究过，但当时研究不够深入，写作粗糙，作为毕业论文重新进行研究，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战. 在这段时间里，我学到了很多知识，也有很多感受，查看相关的资料和书籍，了解到国内外关于多项式因式分解的方法与探讨这一问题的独到见解，也让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起来，每一次改进都是我学习的收获，每一次修改的成功都会让我兴奋好一段时间. 虽然我的论文作品可能还有很多不足之处，但是这次做论文的经历会使我终身受益，是对即将走进社会的我们的一次知识和能力的综合考验，我感受到做论文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程. 没有学习就不可能有研究的能力；没有自己的研究，就不会有所突破. 希望这次的经历能让激励我在以后学习中继续前行！
最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢.

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