2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解).pdf

第 1 页（共 12 页）绝密启用前 6 月 7 日 15:00-17:002019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）总分：150 分 考试时间：120 分钟祝考试顺利注意事项：1、本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2、选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第 I 卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019 全国卷文）设，则（）3i12iz|z A.B.C.D.2321【解析】因为，3i(3i)(12i)17i12i(12i)(12i)5z所以.故选 C.2217|255z【答案】C2.（2019 全国卷文）已知集合，则1,2,3,4,5,6,7U 2,3,4,5A 2,3,6,7B（）UBA A.B.C.D.1,61,76,71,6,7【解析】因为，所以.1,2,3,4,5,6,7U 2,3,4,5A 1,6,7UA 又，所以.故选 C.2,3,6,7B UBA 6,7【答案】C3.（2019 全国卷文）已知，则（）2log 0.2a 0.22b 0.30.2c A.B.C.D.abcacbcabbca第 2 页（共 12 页）【解析】由对数函数的单调性可得，22log 0.2log 10a 由指数函数的单调性可得，所以.故选 B.0.20221b 0.300.2100.2cacb【答案】B4.（2019 全国卷文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最512510.6182美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割512比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（）105cm26cmA.B.C.D.165cm175cm185cm190cm【解析】设某人身高为 m cm，脖子下端至肚脐的长度为 n cm，则由腿长为 105 cm，可得，解得.105510.6181052m 169.890m 由头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得，解得.26510.6182n42.071n 所以头顶到肚脐的长度小于.2642.07168.071所以肚脐到足底的长度小于.68.07168.072110.1470.618512所以此人身高.68.071 110.147178.218m 综上，此人身高 m 满足.169.890178.218m所以其身高可能为 175 cm.故选 B.【答案】B5.（2019 全国卷文）函数在的图象大致为（）2sin()cosxxf xxx,第 3 页（共 12 页）A.B.C.D.【解析】因为，所以为奇函数，排除选项 A.22sin()sin()()cos()()cosxxxxfxf xxxxx ()f x令，则，排除选项 B，C.故选 D.x 22sin()0cos1f【答案】D6.（2019 全国卷文）某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从10001,2,1000这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验若号学生被抽到，则下面名100464学生中被抽到的是（）A.号学生B.号学生C.号学生D.号学生8200616815【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为.100010100因为 46 除以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的整数，结合选项知正确号码为 616.故选 C.【答案】C7.（2019 全国卷文）（）tan255 A.B.C.D.23 23 2323【解析】.故选 D.31tan45tan30375tan(tan255tan(4530)2180)tan731tan45 tan303153【答案】D.8.（2019 全国卷文）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ab|2|ab()abbab）A.B.C.632356【解析】设，的夹角为，因为，所以，ab()abb()0Aab b第 4 页（共 12 页）即.又，2|0Aa bb|cos,|2|AAa ba bab所以，所以.222|cos|0bb1cos2又因为，所以.故选 B.03【答案】B9.（2019 全国卷文）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）112122A.B.C.D.12AA12AA112AA112AA【解析】对于选项 A，第一次循环，；第二次循环，此时，不满足1122A 112122A 3k，输出的值.故 A 正确；经验证选项 B，C，D 均不符合题意.故选 A.2k 112122A【答案】A10.（2019 全国卷文）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的2222:1(0,0)xyCabab130C离心率为（）A.B.C.D.2sin402cos401sin501cos50第 5 页（共 12 页）【解析】由题意可得，tan130ba所以.故选 D.22222sin 1301111tan 1301|cos130|cos50cos 130bea【答案】D11.（2019 全国卷文）的内角，的对边分别为，已知ABCABCabc，则（）sinsin4 sinaAbBcC1cos4A bcA.B.C.D.6543【解析】因为，sinsin4 sinaAbBcC所以由正弦定理得，即.2224abc2224acb由余弦定理得，2222222 22(4)31cos2224bcabccbcAbcbcbc 所以.故选 A.6bc【答案】A12.（2019 全国卷文）已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两C11,0F 21,0F2FCAB点若，则的方程为（）22|2|AFF B1|ABBFCA.B.C.D.2212xy22132xy22143xy22154xy【解析】设椭圆的标准方程为，22221(0)bxyaba由椭圆定义可得.11|4AFABBFa因为，1|ABBF所以.1|2|4AFABa又，22|2|AFF B所以，所以.23|2ABAF12|3|4AFAFa又因为，所以.12|2AFAFa2|AFa所以 A 为椭圆的短轴端点.第 6 页（共 12 页）如图，不妨设，(0,)Ab又，所以.2(1,0)F222AFF B 3,22bB将 B 点坐标代入椭圆方程，得，22221(0)bxyaba2229144bba所以.22223,2abac所以椭圆 C 的方程为.故选 B.22132xy【答案】B第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.（2019 全国卷文）曲线在点处的切线方程为 23()exyxx(0,0)【解析】因为，所以.23()exyxx23(31)exyxx 令，得切线的斜率为.0 x 0|3xky又切点坐标为，所以切线方程为.(0,0)3yx【答案】3yx14.（2019 全国卷文）记为等比数列的前项和若，则 nSnan11a 334S 4S【解析】设等比数列的公比为，则.q111nnnaa qq因为，1331,4aS所以，2123314aaaqq 即，解得，24410qq 12q 第 7 页（共 12 页）所以.44111251812S 【答案】5815.（2019 全国卷文）函数的最小值为 3()sin(2)3cos2f xxx【解析】因为，23()sin(2)3coscos23cos2cos3cos12f xxxxxxx 令，则，costx 1,1t 所以.2()231f xtt 又函数的图象的对称轴，且开口向下，()f x3 1,14t 所以当时，有最小值.1t()f x4【答案】416.（2019 全国卷文）已知，为平面外一点，点到两边90ACBPABC2PC PACB，的距离均为，那么到平面的距离为 ACBC3PABC【解析】如图，过点 P 作 PO平面 ABC 于点 O，则 PO 的长度为 P 到平面 ABC 的距离.再过点 O 作 OEAC于 E，OFBC 于 F，连接 PC，PE，PF，则 PEAC，PFBC.又，所以，3PEPFOEOF所以 CO 为ACB 的平分线，即.45ACO在 RtPEC 中，所以，2,3PCPE1CE 所以，所以.1OE 222POPEOE【答案】2第 8 页（共 12 页）三、解答题：本题共 70 分。17.（2019 全国卷文）某商场为提高服务质量，随机调査了名男顾客和名女顾客，每位顾5050客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如表列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020附：，22()()()()()n adbcKab cd ac bd2()P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?95%【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，400.850因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为，300.650因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6（2）22100(402030 10)4.76250507030K由于，故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异4.7623.84195%18.（2019 全国卷文）记为等差数列的前项和，已知nSnan95Sa（1）若，求的通项公式；34a na（2）若，求使得的的取值范围10a nnSan【解析】（1）设的公差为nad由得95Sa 140ad由得34a 124ad于是，18a 2d 因此的通项公式为na102nan（2）由（1）得，故，14ad(5)nand(9)2nn ndS由知，故等价于，解得10a 0d nnSa21110 0nn110n所以的取值范围是n|110,nnnN第 9 页（共 12 页）19.（2019 全国卷文）如图，直四棱柱的底面是菱形，1111-ABCD A B C D14AA 2AB，分别是，的中点60BADEMNBC1BB1A D（1）证明：；1MNC DE平面（2）求点到平面的距离C1C DE【解析】（1）连接，1B CME因为，分别为，的中点，ME1BBBC所以，且1MEB CA112MEB C又因为为的中点，N1A D所以112NDA D由题设知且，可得且，11A BDCA11A BDC11B CA DA11B CA D故且，MENDAMEND因此四边形为平行四边形，MNDEMNEDA又，1MNC DE 平面所以1MNC DEA平面（2）过作的垂线，垂足为C1C EH由已知可得，DEBC1DEC C第 10 页（共 12 页）所以，1DEC CE 平面故DECH从而，1CHC DE 平面故的长即为到平面的距离，CHC1C DE由已知可得，1CE 14C C 所以，故117C E 4 1717CH 从而点到平面的距离为C1C DE4 171720.（2019 全国卷文）已知函数，为的导数()2sincosf xxxxx()fx()f x（1）证明：在区间存在唯一零点；()fx(0,)（2）若时，求的取值范围0,x()f xaxa【解析】（1）设，则，()()g xfx()cossin1g xxxx()cosg xxx当时，；0,2x()0g x当时，,2x()0g x所以在单调递增，在单调递减()g x0,2,2又，故在存在唯一零点.(0)0g02g()2g()g x(0,)所以在存在唯一零点.()fx(0,)（2）由题设知，可得()fa()0f0a 由（）知，在只有一个零点，设为，1()fx(0,)0 x且当时，；0(0,)xx()0fx当时，0(,)xx()0fx所以在单调递增，在单调递减()f x0(0,)x0(,)x又，(0)0f()0f所以，当时，0,x()0f x 又当，时，故0a 0,x0ax()f xax因此，的取值范围是a(,021.（2019 全国卷文）已知点，关于坐标原点对称，过点，且与直线ABO4AB MAAB相切20 x（1）若在直线上，求的半径；A0 xyMA第 11 页（共 12 页）（2）是否存在定点，使得当运动时，为定值?并说明理由PAMAMP【解析】（1）因为过点，MAAB所以圆心在的垂直平分线上MAB由已知在直线上，且，关于坐标原点对称，A0 xyABO所以在直线上，故可设Myx(,)M a a因为与直线相切，MA20 x 所以的半径为MA|2|ra由已知得，|2AO 又，MOAO 故可得，22242aa解得或0a 4a 故的半径或MA2r 6r（2）存在定点，使得为定值(1,0)PMAMP理由如下：设，由已知得的半径为，(,)M x yMA2rx2AO 由于，故可得，MOAO 2224(2)xyx化简得的轨迹方程为M24yx因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，2:4C yx(1,0)P1x 所以|1MPx因为，|2(1)1MAMPrMPxx 所以存在满足条件的定点P22.（2019 全国卷文）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以xOyC2221,141txttytt坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为Oxl2 cos3 sin110（）求和 的直角坐标方程；1Cl（）求上的点到 距离的最小值2Cl【解析】（）由得：，又，12211txt211xtx222 216(1)tyt所以22211614(1)(1)44111xxyxxxxx第 12 页（共 12 页）整理可得的直角坐标方程为：，C2214yx 又，cosxsiny所以 的直角坐标方程为：l23110 xy（）设上点的坐标为：，2C(cos,2sin)则上的点到直线 的距离Cl4sin116|2cos2 3sin11|77d当时，取最小值，则sin16 dmin7d23.（2019 全国卷文）已知，为正数，且满足证明：abc1abc（1）；222111abcabc（2）333()()()24abbcca【解析】（1）因为，又，故有222abab222bcbc222caac1abc 222111abbccaabcabbccaabcabc所以222111abcabc（2）因为，为正数且，故有abc1abc 333()()()abbcca33333()()()abbcac3()()()ab bc ac3(2)(2)(2)abbcac24.所以333()()()24abbcca