2019年高考数学试题全国三卷3理科数学.pdf

2019全国卷(理科数学)1.A1,E3 2019全国卷 已知集合A=-1,0,1,2,B=x|x21,则AB=()A.-1,0,1B.0,1C.-1,1D.0,1,21.A解析 因为A=-1,0,1,2,B=x|x21=x|-1x1,所以AB=-1,0,1.2.L4 2019全国卷 若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+IC.1-iD.1+i2.D解析 z=1+i.21+2(1 )(1+)(1 )3.I2 2019全国卷 西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有 90位,阅读过红楼梦的学生共有 80 位,阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60 位,则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.83.C解析 设只阅读过西游记的学生有x位,则x+60+(80-60)=90,解得x=10,所以阅读过西游记的学生人数为 10+60=70,故该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.701004.J3 2019全国卷 (1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.244.A解析 因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2(1+x)4,所以展开式中x3的系数为+2=12.34145.D3 2019全国卷 已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.25.C解析 设数列an的公比为q,由题知a10,q0 且q1,则解得所以a3=a1q2=4.1(1 4)1 =15,14=312+41,?1=1,=2,?6.B12 2019全国卷 已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-16.D解析 令y=f(x)=aex+xln x,则f(x)=aex+ln x+1,由题意知即(1)=2+,(1)=2,?=2+,+1=2,?解得=1,=1.?7.B8 2019全国卷 函数y=在-6,6的图像大致为()232+2 A BC D图 1-17.B解析 令y=f(x)=,易知f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除选项 C;f(4)=0,排除选项 D;f(6)232+2 2 4324+2 412816+116=6.75,排除选项 A.故选 B.2 6326+2 643264+1648.G5 2019全国卷 如图 1-2,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()图 1-2A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线8.B解析 连接BD,则N为BD的中点,连接MN,CM,BE.如图所示,在EDB中,M,N分别是ED,BD的中点,所以MNBE,MN=BE,则四边形MNBE是梯形,BM,EN是梯形的两条对角线,所以直线BM,EN相交.设正方形ABCD的12边长为a,由题意可得BCM为直角三角形,则BM=a.2+272记CD的中点为H,连接EH,HN,则EHN为直角三角形,则EN=a,故BMEN.综上所述,BMEN,且直2+2线BM,EN是相交直线.9.D3,L1 2019全国卷 执行图 1-3 的程序框图,如果输入的为 0.01,则输出s的值等于()图 1-3A.2-B.2-C.2-D.2-1241251261279.C解析 x=1,s=0,s=0+1=1,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+12121214141214181812141811611612+,x=,0.01;s=1+,x=,0.01;s=1+,x=,ff(314)232223B.fff(314)223232C.fff232223(314)D.fff223232(314)11.C解析 因为f(x)为偶函数且在(0,+)单调递减,log341,020=1,所以f=f(-log34)=f(log34)ff(20)=f(1),所以fff.232223232223(314)12.C4 2019全国卷 设函数f(x)=sin(0),已知f(x)在0,2有且仅有 5 个零点,下述四个结论:f(x)在(+5)(0,2)有且仅有 3 个极大值点;f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点;f(x)在单调递增;的取值范围是(0,10).其中所有正确结论的编号是()125,2910)A.B.C.D.12.D解析 由x0,2,得x+.设 2+=t,由题意及函数y=sin x的图像知,t5,6),则55,2+55,故f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点,而f(x)在(0,2)可能有 2 个极小值点,也可能有 3 个极小值点,故正125,2910)确,不正确,正确;当x时,x+,因为,所以+=,故f(x)在单调递增,正确.故选 D.(0,10)5(5,10+5)125,2910)105291005491002(0,10)13.F3 2019全国卷 已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-b,则 cos=.513.解析 因为|c|=3,ac=a(2a-b)=2a2-ab=2,所以 cos=.23(2 5)242+524+555|2314.D2 2019全国卷 记Sn为等差数列an的前n项和.若a10,a2=3a1,则=.10514.4解析 设数列an的公差为d,由题意得a1+d=3a1,即d=2a1,则S5=5a1+d=25a1,S10=10a1+d=100a1,5 4210 92所以=4.105100125115.H5 2019全国卷 设F1,F2为椭圆C:+=1 的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角236220形,则M的坐标为.15.(3,)解析 不妨设F1为椭圆C的左焦点,由题意知|MF1|=|F1F2|=8,则|MF2|=12-|MF1|=4.过M作MN垂直15于x轴,垂足为N,则在 RtMF1N和 RtMF2N中,分别有|MN|2=|MF1|2-|NF1|2=64-|NF1|2,|MN|2=|MF2|2-|NF2|2=16-|NF2|2,故|NF1|2-|NF2|2=48,又|NF1|+|NF2|=|F1F2|=8,所以|NF1|=7,|NF2|=1,所以N的坐标为(3,0),即点M的横坐标为3,又M为C上一点且在第一象限,可得yM=,故M的坐标为(3,).151516.G1 2019全国卷 学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型,如图 1-4,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.图 1-416.118.8解析 由题易知,四边形EFGH是菱形,且S四边形EFGH=64=12(cm2),四棱锥O-EFGH的高为 3 cm,12其体积为123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为 664=144(cm3),故长方体ABCD-A1B1C1D1挖13去四棱锥O-EFGH后所得几何体的体积为 144-12=132(cm3),1320.9=118.8(g),所以,制作该模型所需原料的质量为 118.8 g.17.I2 2019全国卷 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将 200 只小鼠随机分成 A,B 两组,每组 100 只,其中 A 组小鼠给服甲离子溶液,B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图 1-5 所示的直方图:图 1-5记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为 0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).17.解:(1)由已知得 0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为 20.15+30.20+40.30+50.20+60.10+70.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.05+40.10+50.15+60.35+70.20+80.15=6.00.18.C8 2019全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin=bsin A.+2(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.18.解:(1)由题设及正弦定理得 sin Asin=sin Bsin A.+2因为 sin A0,所以 sin=sin B.+2由A+B+C=180,可得 sin=cos,+22故 cos=2sin cos.222因为 cos 0,故 sin=,因此B=60.2212(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.34由正弦定理得a=+.(120 )3212由于ABC为锐角三角形,故 0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以 30C90,故a2,从而SABC.123832因此,ABC面积的取值范围是.(38,32)19.G3,G5,G10 2019全国卷 如图 1-6,图是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图.(1)证明:图中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图中的二面角B-CG-A的大小.图 1-619.解:(1)证明:由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)作EHBC,垂足为H.因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为 2,EBC=60,可求得BH=1,EH=.3以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,),3=(1,0,),=(2,-1,0).3 设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则即=0,=0,?+3=0,2 =0.?所以可取n=(3,6,-).3又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以 cos=.|32因此二面角B-CG-A的大小为 30.20.B3,B12 2019全国卷 已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间0,1的最小值为-1 且最大值为 1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.20.解:(1)f(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f(x)=0,得x=0 或x=.3若a0,则当x(-,0)时,f(x)0,当x时,f(x)0,故f(x)在(-,0),单调递增,在单调递减;(3,+)(0,3)(3,+)(0,3)若a=0,f(x)在(-,+)单调递增;若a0,当x时,f(x)0,故f(x)在,(0,+)单调递增,在单调递减.(,3)(3,0)(,3)(3,0)(2)满足题设条件的a,b存在.(i)当a0 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以f(x)在区间0,1的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.(ii)当a3 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以f(x)在区间0,1的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当 2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.(iii)当 0a3 时,由(1)知,f(x)在区间0,1的最小值为f=-+b,最大值为b或 2-a+b.(3)327若-+b=-1,b=1,则a=3,与 0a3 矛盾.32732若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与 0a3 矛盾.32733综上,当且仅当a=0,b=-1 或a=4,b=1 时,f(x)在区间0,1的最小值为-1 且最大值为 1.21.H4,H7 2019全国卷 已知曲线C:y=,D为直线y=-上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.2212(1)证明:直线AB过定点;(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.(0,52)21.解:(1)证明:设D,A(x1,y1),则=2y1.(,12)21由于y=x,所以切线DA的斜率为x1,故=x1,1+121 整理得 2tx1-2y1+1=0.设B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.故直线AB的方程为 2tx-2y+1=0.所以直线AB过定点.(0,12)(2)由(1)得直线AB的方程为y=tx+.由可得x2-2tx-1=0.12=+12,=22?于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,|AB|=|x1-x2|=2(t2+1).1+21+2(1+2)2 412设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1=,d2=.2+122+1因此,四边形ADBE的面积S=|AB|(d1+d2)=(t2+3).122+1设M为线段AB的中点,则M.(,2+12)由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+(t2-2)t=0,解得t=0 或t=1.当t=0 时,S=3;当t=1 时,S=4.2因此,四边形ADBE的面积为 3 或 4.222.N3 2019全国卷 选修 4-4:坐标系与参数方程 如图 1-7,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线(2,4)(2,34)(1,2)M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.图 1-7(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.322.解:(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos,M2的极坐标方程为=2sin,M3的极坐标方程为=-(0 4)(4 34)2cos.(34 )(2)设P(,),由题设及(1)知若 0,则 2cos=,解得=;436若,则 2sin=,解得=或=;4343323若,则-2cos=,解得=.34356综上,P的极坐标为或或或.(3,6)(3,3)(3,23)(3,56)23.N4 2019全国卷 选修 4-5:不等式选讲设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3 或a-1.1323.解:(1)由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,当且仅当x=,y=-,z=-时等号成立.43531313所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为.43(2)证明:由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.(2+)234 31 32 23因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为.(2+)23由题设知,解得a-3 或a-1.(2+)2313