2017年高考数学江苏卷试题解析.doc

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
参考公式：
柱体的体积，其中是柱体的底面积，是柱体的高．
球的体积，其中是球的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，，若，则实数的值为 ▲ ．
【答案】1
【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．
2．已知复数，其中i是虚数单位，则的模是 ▲ ．
【答案】
【解析】，故答案为．
3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件．
【答案】18
【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．
4．右图是一个算法流程图，若输入的值为，则输出的值是 ▲ ．

【答案】
【解析】由题意得，故答案为．
5．若则 ▲ ．
【答案】
【解析】．故答案为．
6．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是 ▲ ．

【答案】
【解析】设球半径为，则．故答案为．
7．记函数的定义域为．在区间上随机取一个数，则的概率是 ▲ ．
【答案】

8．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是 ▲ ．
【答案】
【解析】右准线方程为，渐近线方程为，设，则，，，则．
9．等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则= ▲ ．
【答案】32

10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是 ▲ ．
【答案】30
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
11．已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
12．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．

【答案】3
【解析】由可得，，根据向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以．
13．在平面直角坐标系中，点在圆上，若则点的横坐标的取值范围是 ▲ ．
【答案】

14．设是定义在上且周期为1的函数，在区间上，其中集合，，则方程的解的个数是 ▲ ．
【答案】8
【解析】由于，则需考虑的情况，
在此范围内，且时，设，且互质，
若，则由，可设，且互质，
因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，
因此不可能与每个周期内对应的部分相等，
只需考虑与每个周期的部分的交点，
画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，
且处，则在附近仅有一个交点，
因此方程的解的个数为8．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．

求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．

16．（本小题满分14分）
已知向量
（1）若a∥b，求x的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．

（2）．
因为，所以，从而．
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，因此椭圆E的标准方程是．
（2）由（1）知，，．
设，因为为第一象限的点，故．
当时，与相交于，与题设不符．

由①②，解得，所以．
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或．
又在椭圆E上，故．
由，解得；，无解．
因此点P的坐标为．
18．（本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；
（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．

【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．
记玻璃棒的另一端落在上点处．
因为，所以，从而，
记与水面的交点为，过作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，
则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．
因为EG = 14，E1G1= 62，
所以KG1=，从而．
设则．
因为，所以．
在中，由正弦定理可得，解得．
因为，所以．
于是．
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，
故P2Q2=12，从而EP2=．
答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)
19．（本小题满分16分）
对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”．

，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为．
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列．
20．（本小题满分16分）
已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：；
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围．

当时，，故在R上是增函数，没有极值；
当时，有两个相异的实根，．
列表如下：
x

+
0
–
0
+

极大值

极小值

故的极值点是．从而．因此，定义域为．
（2）由（1）知，．设，则．
当时，，从而在上单调递增．
因为，所以，故，即．因此．

记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，．
因为，于是在上单调递减．
因为，于是，故．因此a的取值范围为．
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．
求证：（1）；
（2）．

【解析】（1）因为切半圆O于点C，所以，
因为为半圆O的直径，所以．
因为AP⊥PC，所以，所以．
（2）由（1）知，，故，即．
B．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵
（1）求；
（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为(为参数)，曲线的参数方程为
(为参数)．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
【解析】直线的普通方程为．因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，当时，．
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．
D．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）
已知为实数，且证明：

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，．
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A1D-A的正弦值．

【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E．
因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD．
如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz．
因为AB=AD=2，AA1=，．
则．

（1），
则．
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．

设二面角B-A1D-A的大小为，则．
因为，所以．因此二面角B-A1D-A的正弦值为．
23．（本小题满分10分）
已知一个口袋中有个白球，个黑球()，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉．
1
2
3

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；
（2）随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，是的数学期望，证明：．
【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为：．
（2）随机变量X的概率分布为
X

…

…

P

…

…

随机变量X的期望为．
所以

，
即．

16