2019年浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷(4月份)(解析版).doc

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2019年浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷（4月份）
9．已知二次函数y＝4x2+4x﹣1，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当x取时的函数值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
10．如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形OABC绕点B逆时针方向旋转90°得到矩形BC'O'A'，点O的对应点O'恰好落在此反比例函数图象上．延长A'O'，交x轴于点D，若四边形C'ADO'的面积为2，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
15．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D为AC上的一点，AD＝3CD，AE⊥AB交BD的延长线于E，记△EAD，△DBC的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，若∠A＝25°，则∠C＝　 　°．

三．解答题（共8小题，满分80分）
19．（10分）已知：如图1，在菱形ABCD中，E是BC的中点．过点C作CG∥EA交AD于G．
（1）求证：AE＝CG；
（2）取CD的中点F，连接AF交CG于H，如图2所示．求证：AH＝CH；
（3）在（2）的条件下中，若∠B＝60°，直接写出△AHG与△ADF的周长比．

21．（10分）有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm．如图①，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合； 将直尺沿AB方向平移（如图②），设平移的长度为xcm（ 0≤x≤10 ），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
（1）当x＝0时（如图①），S＝　 　；
（2）当0＜x≤4时（如图②），求S关于x的函数关系式；
（3）当4＜x＜6时，求S关于x的函数关系式；
（4）直接写出S的最大值．

22．（10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．
（1）求证：∠ABC＝∠ACE；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；
（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．

23．（12分）张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择，其中甲种文具每个5元，乙种文具每个3元．如果调整文具购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具．设购买x个甲种文具时，需购买y个乙种文具．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若张老师购买这两种文具共用去540元，则甲、乙两种文具各购买了多少个？
（3）若张老师购买这两种文具共不超过120个，则有多少种购买方案，哪种购买方案总费用最少？
24．（14分）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接AD、CD、OC．填空
①当∠OAC的度数为　 　时，四边形AOCD为菱形；
②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为　 　．

2019年浙江省温州瑞安市中考数学模拟试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据题意可得：﹣，
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：根据中心对称图形的概念，观察可知，
第一个既是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
所以既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
4．【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项解答即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，错误；
B、（a3）2＝a6，错误；
C、2a与3a3不能合并，错误；
D、3ab﹣2ba＝ab，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同底数幂的除法，关键是根据同底数幂的除法、幂的乘方和合并同类项法则判断．
5．【分析】本题可利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°解决问题．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180°＝540°，
解得：n＝5．
故选：B．
【点评】考查了多边形内角与外角，本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式结合方程即可解决问题．
6．【分析】去掉一个最高分和最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：B．
【点评】本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
7．【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠D＝＝110°，
故选：A．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．
8．【分析】根据sin60°＝解答．
【解答】解：∵sin60°＝，
∴∠A＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
9．【分析】先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性得到x2﹣（﹣）＝﹣﹣x1，所以＝﹣，然后计算当x＝﹣时的函数值即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
而自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，
∴x2﹣（﹣）＝﹣﹣x1，
∴x1+x2＝﹣1，
∴x＝＝﹣，
当x＝﹣时，y＝4×（﹣）2+4×（﹣）﹣1＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．【分析】设B（t，），利用旋转的性质得BC′＝BC＝t，BA′＝BA＝，则AC′＝﹣t，从而可表示出O′点的坐标为（t+，﹣t），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到（t+）（﹣t）＝k，再利用四边形C'ADO'的面积为2得到（﹣t）＝2，然后解关于k、t的方程组即可．
【解答】解：设B（t，），则OA＝t，BA＝，
∵矩形OABC绕点B逆时针方向旋转90°得到矩形BC'O'A'，
∴BC′＝BC＝t，BA′＝BA＝，
∴AC′＝﹣t，
∴O′点的坐标为（t+，﹣t），
∵点O的对应点O'恰好落在此反比例函数图象上．
∴（t+）（﹣t）＝k，
变形得（）2﹣t2＝k①，
∵四边形C'ADO'的面积为2，
∴（﹣t）＝2，即（）2＝k+2②，
②﹣①得t2＝2，
把t2＝2代入②得＝k+2，
整理得k2﹣2k﹣4＝0，解得k1＝1﹣（舍去），k2＝1+
即k的值为1+．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了矩形的性质和旋转的性质．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．【分析】首先提取公因式ab，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵ab＝2，a﹣b＝﹣1，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝2×（﹣1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
12．【分析】根据弧长公式l＝，再代入l，r的值计算即可．
【解答】解：∵l＝，l＝πcm，r＝5cm，
∴π＝，
解得n＝48°．
故答案为：48
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解此题的关键．
13．【分析】设红球有x个，根据摸出一个球是蓝球的概率是，得出红球的个数，再根据概率公式即可得出随机摸出一个红球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、黄、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有5个黄球，4个蓝球，
随机摸出一个蓝球的概率是，
设红球有x个，
∴＝，
解得：x＝3
∴随机摸出一个红球的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
14．【分析】根据“原计划所用天数﹣实际所用天数＝4”可得方程．
【解答】解：设原计划每天种植x棵树，则实际每天植树（x+20）棵，
根据题意可列方程：﹣＝4，
故答案为：﹣＝4．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
15．【分析】如图，作DF∥BC交AB于F，作DH⊥AB于H．想办法证明DE：DB＝3：5，推出S△ADB＝•S1，根据＝，即可解决问题．
【解答】解：如图，作DF∥BC交AB于F，作DH⊥AB于H．

∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠DFA＝∠CBA＝45°，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF，
∴DH⊥AF，
∴AH＝HF，
∵DF∥BC，
∴＝＝3，
∴＝，
∵DH⊥AB，AE⊥AB，
∴DH∥AE，
∴＝＝，
∴S△ADB＝•S1，
∵＝，
∴＝，
∴S1：S2＝9：5，
故答案为9：5．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
16．【分析】连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA＝OD，利用等边对等角得到∠A＝∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．
【解答】解：连接OD，

∵CD与圆O相切，
∴OD⊥DC，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA＝25°，
∵∠COD为△AOD的外角，
∴∠COD＝50°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40．
【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
三．解答题（共8小题，满分80分）
17．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；
（2）根据整式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．
（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a
＝1﹣2a
【点评】此题考查整式的混合计算，关键是根据平方差公式解答．
18．【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数m的值，用360°乘以D组人数占总人数的比例即可得；
（2）总人数乘以C组的百分比求得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得E组的人数即可补全图形；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
【解答】解：（1）m＝4÷8%＝50（人），扇形统计图中D组对应的圆心角是360°×＝72°，
故答案为：50，72；

（2）C组人数为50×30%＝15人，E组人数为50﹣（10+15+16+4）＝5（人），
补全图形如下：

（3）估算此次考试数学成绩优秀的学生人数为2000×＝800（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得CB∥DA，又由CG∥EA，即可证得四边形AECG是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可证得AE＝CG；
（2）由四边形AECG是平行四边形，取CD的中点F，E是BC的中点，易证得△ADF≌△CDG，然后由AAS证得△AGH≌△CFH，则可得AH＝CH；
（3）首先连接AC，易得△ACD是等边三角形，则可得AF⊥CD，CG⊥AD，则可证得△AGH∽△AFD，然后由相似三角形周长的比等于相似比，求得△AHG与△ADF的周长比．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB∥DA，
∵CG∥EA，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AE＝CG；

（2）证明：由（1）可知，四边形AECG是平行四边形，
∴AG＝CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CB＝CD，
∵EC＝BC，
∴AG＝GD＝CD，
∵FC＝DF＝DC，
∴AG＝GD＝CF＝DF，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF＝∠DCG，
在△AGH和△CFH中，
，
∴△AGH≌△CFH（AAS），
∴AH＝CH；

（3）解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
∵CG与AF都是△ACD的中线，
∴AF⊥CD，CG⊥AG，
∴∠AGH＝∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝∠HAG，
∴△AHG∽△ADF，
∵在Rt△ADF中，sin60°＝＝，
又∵AG＝AD，
∴AG：AF＝：3，
∴△AHG与△ADF的周长比为：3．

【点评】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．【分析】（1）过平行四边形的对角线的交点任意画一条直线即可，这样的直线可以画无数条，这些直线都经过平行四边形的对称中心．
（2）过平行四边形对边的中点画直线即可，如图2所示：把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个非平行四边形的中心对称图形如图3所示．
【解答】解：（1）过平行四边形的对角线的交点任意画一条直线即可，如图1所示，

（2）过平行四边形对边的中点画直线即可，如图2所示，

把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个非平行四边形的中心对称图形如图3所示，

【点评】本题考查平行四边形的性质、作图﹣应用与设计、图形的拼剪等知识，解题的关键是理解平行四边形是中心对称图形，学会画中心对称图形，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）当x＝0时，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面积为×2×2＝2．
（2）当0＜x≤4时，F在AC上运动（包括与C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均为等腰直角三角形，因此DG＝x，EF＝x+2，可根据梯形的面积公式求出此时S，x的函数关系式．
（3）当4＜x＜6时，F在BC上运动（与B、C不重合），当G在AC上，F在BC上运动时，即当4＜x＜6时，重合部分是五边形CGDEF，可用三个等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面积差来求得．
（4）根据（3）可得出关于S，x的函数关系式，根据函数的性质和各自的自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的x的值．
【解答】解：（1）由题意可知：
当x＝0时，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AE＝EF＝2，
则阴影部分的面积为：S＝×2×2＝2；
故答案为：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A＝45°，
∴DG＝AD＝x，同理EF＝AE＝x+2，
∴S梯形DEFG＝（x+x+2）×2＝2x+2．
∴S＝2x+2；

（3）①当4＜x＜6时（图1），
GD＝AD＝x，EF＝EB＝12﹣（x+2）＝10﹣x，
则S△ADG＝AD•DG＝x2，S△BEF＝（10﹣x）2，
而S△ABC＝×12×6＝36，S△BEF＝（10﹣x）2，
∴S＝36﹣x2﹣（10﹣x）2＝﹣x2+10x﹣14，
S＝﹣x2+10x﹣14＝﹣（x﹣5）2+11，
∴当x＝5，（4＜x＜6）时，S最大值＝11．

（4）S最大值＝11．

【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质、图形面积的求法及二次函数的综合应用等知识．同时还有三角形的面积及不规则图形的面积计算，解题的关键是根据题意正确画出图形，表示出线段之间的关系．
22．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；
（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；
（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．
【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，
∴，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ACE；
（2）如图，连接OB，
∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，
∴∠OBP＝90°，
设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，
则∠PEB＝2x，
∵OB＝OC，AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
∴∠OBE＝90°﹣2x，
∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠PEB＝∠PBE，
∴PB＝PE；
（3）如图，连接OP，
∵点N为OC中点，AB⊥CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴BC＝OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵⊙O半径为2，
∴CN＝，
∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，
∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，
∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，
∴PO＝，
∴PQ的最大值为PO+＝．

【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．
23．【分析】（1）由“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”，即可找出y关于x的函数关系式；
（2）根据总价＝单价×购买数量结合张老师购买这两种文具共用去540元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）由张老师购买这两种文具共不超过120个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出有21种购买方案，设购买这两种文具的总费用为w元，根据总价＝单价×购买数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝2（100﹣x）＝﹣2x+200．
（2）根据题意得：5x+3y＝540，
即5x+3（﹣2x+200）＝540，
解得：x＝60，
∴y＝﹣2x+200＝80．
答：甲种文具购买了60个，乙种文具购买了80个．
（3）根据题意得：x+y≤120，
即x﹣2x+200≤120，
解得：x≥80．
又∵x≤100，
∴共有100﹣80+1＝21种方案．
设购买这两种文具的总费用为w元，
根据题意得：w＝5x+3y＝5x+3（﹣2x+200）＝﹣x+600，
∵﹣1＜0，
∴w随x值的增大而减小，
∴当x＝100时，w取最小值，最小值为500元，
∴当购买甲种文具100个时，总费用最少，最少费用为500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一次函数的最值、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量间的关系，找出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）利用一次函数的性质解决最值问题．
24．【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；
（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF＝OF，AF＝FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；
②由题意可证△AFO∽△ODE，可得，即OD＝2OF，DE＝2AF＝AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．
【解答】证明：（1）∵F为弦AC的中点，
∴AF＝CF，且OF过圆心O
∴FO⊥AC，
∵DE是⊙O切线
∴OD⊥DE
∴DE∥AC
（2）①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，
理由如下：如图，连接CD，AD，OC，

∵∠OAC＝30°，OF⊥AC
∴∠AOF＝60°
∵AO＝DO，∠AOF＝60°
∴△ADO是等边三角形
又∵AF⊥DO
∴DF＝FO，且AF＝CF，
∴四边形AOCD是平行四边形
又∵AO＝CO
∴四边形AOCD是菱形
②如图，连接CD，

∵AC∥DE
∴△AFO∽△ODE
∴
∴OD＝2OF，DE＝2AF
∵AC＝2AF
∴DE＝AC，且DE∥AC
∴四边形ACDE是平行四边形
∵OA＝AE＝OD＝2
∴OF＝DF＝1，OE＝4
∵在Rt△ODE中，DE＝＝2
∴S四边形ACDE＝DE×DF＝2×1＝2
故答案为：2
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．

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