现代信号处理复习题.doc

1、已知式中=100HZ,以采样频率=400Hz对进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题：
（1）写出的傅里叶变换表示式；
（2）写出和的表达式；
（3）分别求出的傅里叶变换和的傅里叶变换。
解：（1）
上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成：
（2）
2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：
（1）最小记录时间
（2）最大取样时间
（3）最少采样点数
（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N值。
解：（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实频率分辩率提高1倍（变成原来的）
3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ采样，然后对采到的N个抽样做N点DFT，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ能有一根谱线，于是他用8KHZ采样，对采到的2N个样点做2N点DFT。问：他的目的能达到吗？
答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。
提高采样频率，固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率总是对应模拟频率。采样频率由到2增加一倍，也增加一倍，但模拟频率的采样间隔一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率，不能提高模拟频率的分辨率。
4、在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？
解：在变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。
在变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。
5、已知，分析其因果性和稳定性。
解：的极点为，
（1）收敛域，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应，这是一个因果序列，但不收敛。
（2） 收敛域，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应，这是一个非因果且不收敛的序列。
（3） 收敛域，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应，这是一个收敛的双边序列。
9：若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部为，求序列的及其傅里叶变换。
解：
10、什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么联系？
答：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与有关，则称这个随机过程是宽平稳的或广义平稳的。所谓严平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。严平稳的随机过程一定是宽平稳的，反之则不然。
取模的平方
FFT
观测数据x(n)
15、如图所示：
1/N
（1）在描述随机信号的频率特性时为什么不用信号的傅里叶变换而改用功率谱估计？
（2）观察上述框图，说出这是哪一种经典功率谱估计的方法，并写出描述估计关系式。
（3）根据维纳-辛钦定理及相关估计方法写出另一种经典功率谱估计描述估计关系式，结合框图或关系式说明上述框图所示方法的优点。
（4）两种经典功率谱估计都有一个致命的缺点，请简要说明并写出常用的改进方法的名称。
解：1.对于随机信号，其傅里叶变换并不存在，因此转向研究其功率谱。
2.图中所示的是周期图法
3.
周期图法简单，不用估计自相关函数，且可以用FFT进行计算。
4.经典谱估计得致命缺点是频率分辨率低，其原因是傅里叶变换域是无限大，而用作估计的观察数据只有有限个，认为剩余的数据为0，造成系统偏差。改进的方法有：1.平均周期法2.窗函数法3.修正的周期图求平均法。
16、如图所示的RC电路，若输入电压的功率谱密度为X（），求输出电压的功率谱密度
Y（）。
R
C
Y()
X()

解：RC电路系统的频率响应函数为
H（）==
H（）=
由线性系统的输出谱密度与输入谱密度之间的关系可得：
Y（）=H（）*X（）=
17、已知LTI系统的传输函数为h（t），输入是实平稳随机过程X（t），输出是Y（t），求三者间的关系？
解：平稳随机过程经过LTI系统输出还是平稳随机过程，所以
其中是卷积运算。
18、常用的自适应滤波理论与算法有哪些？
从理论上讲，自适应滤波问题没有惟一的解。为了得到自适应滤波器及其应用系统，可以采用各种不同的递推算法，这些自适应算法都有各自的特点，适用于不同场合。
常用的自适应滤波理论与算法有：
（1）、基于维纳滤波理论的方法。
（2）、基于卡尔曼滤波理论的方法。
（3）、基于最小均方误差准则的方法。
（4）、基于最小二乘准则的方法。
22、从最速下降法出发：
其中， 是第j+1个抽样时刻的滤波器权矢量，控制收敛稳定性和速率，是误差-性能曲面的真实梯度，推导自适应噪声消除的Widrow-Hopf的LMS算法。
解答：
梯度矢量▽，初级输入与刺激输入的互相关P以及初级输入的自相关R之间的关系为：
=
在LMS算法中，使用的瞬时估计，则有
=-2+2=-2+2(1)
=-
其中
用（1）式替换最速下降法的梯度，我们得到基本的Widrow-Hopf的LMS算法：
其中=
23、自适应滤波器的特点及应用范围
答案：由于滤波器的参数可以按照某种准则自动地调整到满足最佳滤波的要求；实现时不需要任何关于信号和噪声的自相关特性，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要，即具有学习和跟踪的性能。当符合下面几个情况时都可以应用自适应滤波(1)需要滤波器特性变化以自适应改变的情况时（2）当信号和噪声存在频谱重叠时（3）噪声占据的频谱是时变或未知。例如xx回声对消，雷达信号处理，导航系统，通信信道均衡和生物医学信号增强。
25、怎样判断随机过程是宽平稳随机过程？并证明随机过程是宽平稳过程，其中，Y,Z是相互独立的随机变量，且。
答：（1）如果满足，如下条件：
（a）是二阶矩过程；
（b）对任意，常数；
（c）对任意，。则判定是宽平稳随机过程。
（2）
证明：
因为Y,Z是相互独立的随机过程，且，所以
=
=常数
，只与时间间隔有关，与时间起点无关。
所以，是宽平稳随机过程。
26、若为均方连续的实平稳随机过程，则其自相关函数具有那些常用性质？在计算其功率谱时有什么作用？
答：（1）具有如下常用性质：
（a）
（b）=，是实偶函数；
（c）||；
（d）若是周期为T的周期函数，即=，则；
（e）若是不含周期分量的非周期过程，当时，与相互独立，则 。
（2）若，根据辛钦—维纳定理
=
自相关函数和功率谱是一对傅里叶变换对。
27、从随机过程的平稳性上考虑，卡尔曼滤波的适用范围？
答案：卡尔曼滤波不仅适用于平稳随机过程，同样也适用于非平稳随机过程。
29、设有两个线性时不变系统如图所示，它们的频率响应函数分别为和。若两个系统输入同一个均值为零的平稳过程，它们的输出分别为、。问如何设计和才能使、互不相关。
解答：
其中，上式表明与的互相关函数只是时间函数的函数。由
故当设计两个系统的频率响应函数的振幅频率特性没有重叠时，则=0，从而有=0=，即与互不相关。
30、什么叫白噪声?
答:白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大
33、简述经典功率谱估计与现代功率谱估计的差别。
信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，通常是求其功率谱来进行频谱分析。功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，在许多领域都发挥了重要作用。然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计。
功率谱估计分为经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有相关法和周期图法；现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。
34、两个联合平稳信号和的互相关函数为：
其中为单位阶跃函数。求互功率谱密度和。
解：直接查傅氏变换表，得
利用互谱密度的性质有
==
35、观测信号为,其中有信号是为恒量平稳序列，其统计特征已求得为
噪声是零均值白噪声，且与有用信号不相关，即
求维纳滤波器？
解：观测的自相关函数为
观测有与有用信号之间的互相关函数为：
]
则维纳-霍甫方程式为：
由此得维纳滤波器为：
故滤波输出为：
38、设观测量由有用信号和与不相关的零均值白噪声相加而成，即
且已估计出它们的相关函数分别为
（…，-1，0，1…）
求非因果维纳滤波器的频率特性。
解：
又有
故有
最后可得，非因果维纳滤波器的频率特性为
43、卡尔曼滤波的特点
卡尔曼滤波具有以下的特点：
答：(1)算法是递推的状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法，因而适用于多维随机过程的估计；离散型卡尔曼算法适用于计算机处理。
(2)用递推法计算，不需要知道全部过去的值，用状态方程描述状态变量的动态变化规律，因此信号可以是平稳的，也可以是非平稳的，即卡尔曼滤波适用于非平稳过程。
(3)卡尔曼滤波采取的误差准则仍为估计误差的均方值最小。
47、关于维纳滤波器的两个主要结论：
①维纳滤波器最优抽头权向量的计算需要已经以下统计量：（1）输入向量的自相关矩阵；（2）输入向量与期望响应的互相关向量。
②维纳滤波器实际上是无约束优化最优滤波问题的解。
48、已经信号的四个观察数据为分别用自相关法和协方差法估计AR（1）模型参数。
解：自相关法：
协方差法：
49、假定是一个满足差分方程式
的AR（）过程，且该过程是在一与独立的加性观测白噪声中观测的，即，其中的方差为，求的功率谱。
解：由已知差分方程式可得的谱密度
当与互相独立时，
故的功率谱
所以
50、分别解释“滤波”和“预测”。
解：用当前的和过去的观测值来估计当前的信号y(n)=（n）称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号,N≥0,称为预测。
51、介绍维纳滤波和卡尔曼滤波解决问题的方法。
解：维纳滤波是根据全部过去观测值和当前观测值来估计信号的当前值，因此它的解形式是系统的传递函数H(Z)或单位脉冲响应h(n)；卡尔曼滤波是用当前一个估计值和最近一个观测值来估计信号的当前值，它的解形式是状态变量值。维纳滤波只适用于平稳随机过程，卡尔曼滤波就没有这个限制。设计维纳滤波器要求已知信号与噪声的相关函数，设计卡尔曼滤波要求已知状态方程和量测方程。
1. 某独立观测序列其均值为m，方差为。现有两种估计算法：
算法A：均值估计为，算法B：均值估计为
请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）
答：算法A：均值估计为，则
，， 均值估计是无偏估计
6、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。
答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。
（2）此方法的具体步骤是：
①给出观察序列，估计出自相关函数：
②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：
式中，一般取，为一个窗函数，通常可取矩形窗。
可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。
7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。
答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：
离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：
12、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？
答：（1）AR谱估计的基本原理是：阶的AR模型表示为：
其自相关函数满足以下YW方程：
取，可得到如下矩阵方程：
在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关函数，再利用以上矩阵方程，直接求出参数及，于是可求出的功率谱的估计值。
13、已知信号模型为s（n）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均值为零的白噪声，其方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。
解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入Ricatti方程Q=P－a2RP/(R+c2P)
得0.5=P－P/(1+P)
解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。
再计算维纳增益G和参数f:G=cp/(R+c2P)=1/(1+1)=0.5 f=Ra/(R+c2P)=1/(1+1)=0.5
故得因果IIR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下：
Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1)
（n）=0.5(n-1)+0.5x(n)
14、简述AR模型功率谱估计步骤。
步骤1：根据N点的观测数据uN（n）估计自相关函数，得，m=0,1,2,…,p,即
步骤2：用p+1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程式，得到p阶AR模型参数的估计值和
步骤3：将上述参数代入AR（p）的功率表达式中，得到功率谱估计，即
3、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号d(n)的互相关向量分别为
且已知期望相应d(n)的平均功率为E{d2(n)}=30。
（1）计算维纳滤波器的权向量。（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。
解：（1）根据维纳霍夫方程Rω0=p
得ω0=R-1p
（2）误差性能面的表达式为J（ω）=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω
最小均方误差值为将ω0代入上面的误差性能面表达式得Jmin=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω
=σ2d-pHω0=30-14=16。
10．用观测数据（y(n),y(n-1)）自适应估计随机变量x(n).已知Ryy=[10.4;0.41],为保证收敛，μ的值应限制在什么范围？若Ryy=[10.8;0.81],则自适应滤波器的收敛速度将会更快还是更慢？
解：
11、已知满足AR(2)模型，即满足如下差分方程：
其中是均值为零、方差为的白噪声。试用自相关函数来表示系数、。
答案：AR模型的正则方程式可以表示为
和
将带入上面两式为：
和
可以解得
30、白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。
答：设为实值平稳过程，若它的均值为零，
在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；
在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。
33、一个差分滤波器的输出为：y(n)=x(n)+x(n-1),n=1,2……
令x(n)的功率谱为1/(1+f2)，试求差分滤波器输出y(n)的功率谱密度。
解：由题意知，系统的传递函数H(z)=1+z-1,故
所以系统输出y(t)的功率谱密度为：
39、已知输入信号向量的相关矩阵及与期望响应信号的互相关向量分别为
，且已知期望响应的平均功率为。
（1） 计算维纳滤波器的权向量。
（2） 计算误差性能面的表达式和最小均方误差。
解：
45、设随机序列，其中是两两互不相关的随机变量且，序列被称作白噪声。验证白噪声序列是平稳序列。
解：显然均值函数为常数，当时，因为不相关，所以
当
所以，只是时间差的函数，序列是平稳的
46、若序列x(n)为实因果序列，h(0)=1，其傅氏变换的虚部为H1(ejω)=—sinω，求序列h(n)及其傅氏变换H(ejω)。
解：因为H1(ejω)=—sinω=—(ejω—e-jω)=0(n)e-jω
h0(n)==-δ(n+1)+δ(n-1),
h(n)==
所以h(n)=δ(n)+δ(n-1);H(ejω)=1+e-jω
49、简述AR模型功率谱估计的方法
答：（1）根据N点的观测数据估计自相关函数，得，即
（2）用个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程
得到p阶AR模型的参数估计值和。
（3）将上述参数带入AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式，即
50、简述LMS算法
答：（1）初始化，权向量：估计误差：
输入向量：
（2）对权向量的更新：
期望信号的估计：
估计误差：
（3）令，转到（2）
63、请写出ARMA的数学模型表达式，并画出该模型的电路框图。
答：（1）ARMA的数学模型表达式：
式中，为常数，
（2）该模型的电路框图如下所示：
100、AR谱估计中的虚假谱峰是怎样产生的？怎样避免产生虚假谱峰？谱线分裂的原因是什么？相位怎样影响谱线的位置？如何减少这种影响？怎样避免谱线分裂？噪声对AR谱估计有什么影响？怎样减少这种影响？
答：1．如果自相关函数的取样值的估计没误差，模型参数的估计在理论上应该为：，但是实际上自相关函数的估计是有误差的，这使得对大于P的值有，相应的也会产生n-p个额外的极点在单位圆附近，这样就会形成虚假谱峰。2．要避免产生虚假谱峰，要求模型的技术不宜过高，最高不超过N/2，其中N是观测数据长度。3．如果估计的随机过程是由一个正弦信号叠加噪声构成的，那么对某些算法会观察到AR谱估计中存在两个靠的很近的谱峰，似乎在随机过程中还存在着另一个正弦信号，这种现象叫谱线分裂。原因有高信噪比，正弦分量初相位为π/4的奇数倍，数据序列的长度为正弦分量的1/4周期的奇数倍，估计的AR参数数目与数据的个数相比占有较大的百分比，虚假谱峰常伴随着谱线分裂现象，这与观测数据长度太短有关。4．AR谱估计中谱峰出现的位置与正弦信号的初相位有着很密切的关系，谱峰位置对相位的依赖性随着观测数据长度的增加而减少，一般认为谱峰对相位的依赖是由正弦信号的正负频率成分之间的相互作用引起的。5．解决的方法是用解析信号代替真实信号，对解析信号进行欠抽样，并利用复数据进行AR谱的估计。这样就不要求有复共轭极点，而模型的阶数可减少一半。另一种方法是对Burg算法的反射系数估计公式进行修改，用一实值窗函数加权。6．通过增加观测数据的长度，或者利用向前和向后最小二乘算法和Marple递推算法。7．AR谱估计方法对观测噪声比较敏感，噪声会使谱峰展宽，从而导致分辨率下降，而且会使谱峰偏离正确的位置。8．减少噪声对AR谱估计的影响一般使用四种方法：一、采用ARMA谱估计方法；二、对观测数据进行滤波减小噪声；三、采用高阶AR模型；四、补偿自相关函数或者反射系数估计中噪声的影响。