高考数学二轮复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用.pdf

1/12数列求和及数列的综合应用数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题1 数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和这种方法，适用于求通项为的数列的前 n 项和，其中an若为等差数列，则.1anan11anan11d(1an1an1)常见的拆项公式：；1nn11n1n1()；1nnk1k1n1nk()；12n12n11212n112n1()1n nk1knkn2 数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1(或前 n 项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.2/12考点一分组转化求和法例 1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.所以公比 q3.故 an23n1(nN*)(2)因为 bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当 n 为偶数时，Sn2 ln 33n ln 31；13n13n2n2当 n 为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.13n13(n12n)n12综上所述，SnError!Error!在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式(2013安徽)设数列an满足 a12，a2a48，且对任意 nN*，函数 f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足 f0.(2)(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn2，求数列bn的前 n 项和 Sn.(an12an)解(1)由题设可得 f(x)(anan1an2)an1sin xan2cos x，又 f0，则 anan22an10，即 2an1anan2，(2)因此数列an为等差数列，设等差数列an的公差为 d，由已知条件Error!Error!，解得Error!Error!ana1(n1)dn1.3/12(2)bn22(n1)，(n112n1)12nSnb1b2bn(n3)n1n23n1.12n12n考点二错位相减求和法例 2(2013山东)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足1，nN*，求bn的前 n 项和 Tn.b1a1b2a2bnan12n解(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，由Error!Error!得 a11，d2，所以 an2n1(nN*)(2)由已知1，nN*，b1a1b2a2bnan12n当 n2 时，1，b1a1b2a2bn1an112n1得：，又当 n1 时，也符合上式，bnan12nb1a112所以(nN*)，所以 bn(nN*)bnan12n2n12n所以 Tnb1b2b3bn .123225232n12nTn.121223232n32n2n12n1两式相减得：Tn .所以 Tn3.1212(22222322n)2n12n13212n12n12n12n32n 错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题 设数列an满足 a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)由已知，得当 n1 时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而 a12，符合上式，所以数列an的通项公式为 an22n1.(2)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1.4/12从而 22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1，即 Sn(3n1)22n1219考点三裂项相消求和法例 3(2013广东)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，满足 4Sna4n1，nN*,且 a2，a5，a14构成2n1等比数列(1)证明：a2；4a15(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有0，a2.2 22 24a15(2)解当 n2 时，4Sn1a 4(n1)1，2 n4an4Sn4Sn1aa 4，即 aa 4an4(an2)2，又 an0，an1an2，2n12 n2n12 n当 n2 时，an是公差为 2 的等差数列又 a2，a5，a14成等比数列a a2a14，即(a26)2a2(a224)，解得 a23.2 5由(1)知 a11.又 a2a1312，数列an是首项 a11，公差 d2 的等差数列an2n1.(3)证明1a1a21a2a31anan111 313 515 712n12n10)中，a13，此数列的前 n 项和xfx23为 Sn，对于所有大于 1 的正整数 n 都有 Snf(Sn1)(1)求数列an的第 n1 项；(2)若是，的等比中项，且 Tn为bn的前 n 项和，求 Tn.bn1an11an解(1)因为，(x0)成等差数列，xfx23所以 2，整理，得 f(x)()2.因为 Snf(Sn1)(n2)，所以 Sn()2，fx2x3x3Sn13 5/12所以，即，所以是以为公差的等差数列SnSn13SnSn13Sn3因为 a13，所以 S1a13，所以(n1)nn.SnS133333所以 Sn3n2(nN*)所以 an1Sn1Sn3(n1)23n26n3.(2)因为是与的等比中项，所以()2，bn1an11anbn1an11an所以 bn，1an11an132n1 32n1118(12n112n1)Tnb1b2bn.118(113)(1315)(12n112n1)118(112n1)n18n9考点四数列的实际应用例 4(2012湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an1与 an的关系式；(2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)(1)由第 n 年和第(n1)年的资金变化情况得出 an与 an1的递推关系；(2)由 an1与 an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解解(1)由题意得 a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)d a1d4 500 d.3252an1an(150%)d and.32(2)由(1)得 an an1dd2an2 ddn1a1d.3232(32an2d)(32)32(32)132(32)2(32)n2整理得 ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.(32)(32)n11(32)由题意，知 am4 000，即m1(3 0003d)2d4 000，(32)解得 d.(32)m2 1 000(32)m11 0003m2m13m2m故该企业每年上缴资金 d 的值为时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为 4 000 万元1 0003m2m13m2m 用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关 6/12系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千克若做广告宣传，广告费为n(nN*)千元时比广告费为(n1)千元时多卖出千克b2n(1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S；(2)试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；(3)当 a50，b200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n 分别应为多少？解(1)当广告费为 1 千元时，销售量 Sb.当广告费为 2 千元时，销售量 Sb.b23b2b2b227b4(2)设 Sn(nN)表示广告费为 n 千元时的销售量，由题意得 S1S0，b2S2S1，b22SnSn1.b2n以上 n 个等式相加得，SnS0，b2b22b23b2n即 SSnb b(2)b2b22b23b2nb112n111212n(3)当 a50，b200 时，设获利为 Tn，则有 TnSa1 000n10 000(2)1 000n1 000(20n)，12n102n设 bn20n，则 bn1bn20n120n1，102n102n1102n52n当 n2 时，bn1bn0；当 n3 时，bn1bn0.所以当 n3 时，bn取得最大值，即 Tn取得最大值，此时 S375，即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为 375 千克和 3 千元1 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题的关键若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)anError!Error!.(2)递推关系形如 an1anf(n)，常用累加法求通项 7/12(3)递推关系形如f(n)，常用累乘法求通项an1an(4)递推关系形如“an1panq(p、q 是常数，且 p1，q0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法可设 an1p(an)，经过比较，求得，则数列an是一个等比数列(5)递推关系形如“an1panqn(q，p 为常数，且 p1，q0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以 qn转化为类型(4)，或同除以 pn1转为用迭加法求解2 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和(3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的 n1 项中的前 n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零3 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.8/121 在一个数列中，如果nN*，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称 k 为这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积为 8，则 a1a2a3a12_.答案28解析依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 a11，a22，a34，因此 a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.2 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且 an2an1(1)n(nN*)，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有_答案255 解析由于 an2an1(1)n，所以 a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为 2 的等差数列，所以 a1a2a29a30151522255.15 1423 已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和 Sn，且满足：a2a465，a1a518.(1)若 1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求 i 的值；(2)设 bn，是否存在一个最小的常数 m 使得 b1b2bn0，a2a4，a25，a413.Error!Error!a11，d4.an4n3.由于 1i21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，a1a21a，即 181(4i3)2，解得 i3.2 i(2)由(1)知，Snn142n2n，所以 bn，nn1212n12n112(12n112n1)b1b2bn，12(113131512n112n1)n2n1因为 ，所以存在 m 使 b1b2bn0，S160，S168(a8a9)0，a90，0，0，0，0，0，而 S1S2a2a8，S1a1S2a2S8a8S9a9S10a10S15a15所以在，中最大的是.故选 B.S1a1S2a2S15a15S8a85 数列an满足 a11，且对任意的 m，nN*都有 amnamanmn，则等于1a11a21a31a2 012()A.B.C.D.4 0242 0134 0182 0122 0102 0112 0092 010答案A解析令 m1 得 an1ann1，即 an1ann1，于是 a2a12，a3a23，anan1n，上述 n1 个式子相加得 ana123n，所以 an123n，因此2，nn121an2nn1(1n1n1)10/12所以22.1a11a21a31a2 012(112121312 01212 013)(112 013)4 0242 0136 已知函数 f(n)Error!Error!且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a2 012等于()A2 012 B2 011 C2 012 D2 011答案C解析当 n 为奇数时，anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)；当 n 为偶数时，anf(n)f(n1)n2(n1)22n1.所以 a1a2a3a2 0122(12342 0112 012)2 012.二、填空题7 数列an中，已知对任意 nN*，a1a2a3an3n1，则 a a a a _.2 12 22 32 n答案(9n1)12解析a1a2a3an3n1，a1a2a3an13n11(n2)则 n2 时，两式相减得，an23n1.当 n1 时，a1312，适合上式，an23n1(nN*)a 49n1，2 n则数列a 是首项为 4，公比为 9 的等比数列a a a a (9n1)2 n2 12 22 32 n419n19128 设数列an的前 n 项和为 Sn，且 an为复数 isin cos(nN*)的虚部，则 S2 013_.n2n2答案1解析由已知得：ansin(nN*)，a11，a20，a31，a40，n2故an是以 4 为周期的周期数列，S2 013S50341S1a11.9 已知数列an满足 3an1an4(n1)且 a19，其前 n 项之和为 Sn，则满足不等式|Snn6|的最小整数 n1125是_答案7解析由递推式变形得 3(an11)(an1)，an1是公比为 的等比数列13则 an18()n1，即 an8()n11.1313于是 Snn61()nn66()nn8113n1131313 11/12因此|Snn6|6()n|6()n250，满足条件的最小 n7.1313112510气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第 n 天的维修保养费为(nN*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了n4910_天答案800解析由题意得，每天的维修保养费是以 5 为首项，为公差的等差数列设一共使用了 n 天，则使用 n 天的平110均耗资为2，3.2 1045n4910n2n3.2 104nn2099203.2 104nn209920当且仅当时取得最小值，此时 n800.3.2 104nn20三、解答题11已知等差数列an满足：a59，a2a614.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanqan(q0)，求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)设数列an的公差为 d，则由 a59，a2a614，得Error!Error!，解得Error!Error!.所以数列an的通项公式为 an2n1.(2)由 an2n1 得 bn2n1q2n1.当 q0 且 q1 时，Sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2；q1q2n1q2当 q1 时，bn2n，则 Snn(n1)所以数列bn的前 n 项和 SnError!Error!.12将函数 f(x)sin xsin(x2)sin(x3)在区间(0，)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an141412(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2nan，数列bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的表达式解(1)化简 f(x)sin xsin(x2)sin(x3)sin x，其极值点为 xk(kZ)，141412142它在(0，)内的全部极值点构成以 为首项，为公差的等差数列，故 an(n1)n.222(2)bn2nan(2n1)2n，2Tn 12322(2n3)2n1(2n1)2n，2 12/12则 2Tn 122323(2n3)2n(2n1)2n1两式相减，得2Tn 1222222322n(2n1)2n1，Tn(2n3)2n3213在等比数列an中，a2，a3a6.设 bnlog2a 2log2a2，Tn为数列bn的前 n 项和1415122 n2n1(1)求 an和 Tn；(2)若对任意的 nN*，不等式 Tnn2(1)n恒成立，求实数 的取值范围解(1)设an的公比为 q，由 a3a6a q5q5得 q，2 2116151212ana2qn2()n.12bnlog2a 2log2a2log()2n12log()2n12()，2 n2n1121212n12n11212n112n1Tn(1 )(1).1213131512n112n11212n1n2n1(2)当 n 为偶数时，由 Tnn2 恒成立得，2n 3 恒成立，即(2n 3)min，n22n1n2n2n而 2n 3 随 n 的增大而增大，n2 时(2n 3)min0，0.2n2n当 n 为奇数时，由 Tnn2 恒成立得，2n 5 恒成立，n22n1n2n即(2n 5)min而 2n 5259，当且仅当 2n，即 n1 时等号成立，9.2n2n2n2n2n综上，实数 的取值范围为(，0)