高考数学二轮复习名师知识点总结:数列求和及数列的综合应用.pdf
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1、 1/12数列求和及数列的综合应用数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题:1.以递推公式或图、表形式给出条件,求通项公式,考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力,属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题1 数列求和的方法技巧(1)分组转化法有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列通项拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数列,即先分别求和,然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于
2、求数列anbn的前 n 项和,其中an,bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法,也就是将一个数列倒过来排列(反序),当它与原数列相加时若有公式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形,将通项分裂成两项或 n 项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和这种方法,适用于求通项为的数列的前 n 项和,其中an若为等差数列,则.1anan11anan11d(1an1an1)常见的拆项公式:;1nn11n1n1();1nnk1k1n1nk();12n12n11212n112n1()1n nk1
3、knkn2 数列应用题的模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比(3)混合模型:在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型(4)生长模型:如果某一个量,每一期以一个固定的百分数增加(或减少),同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时,我们称该模型为生长模型如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等(5)递推模型:如果容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1(或前 n 项)间的递推关系式,我们可以用递推数列的知识来解决问题.2/12
4、考点一分组转化求和法例 1等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bnan(1)nln an,求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)当 a13 时,不合题意;当 a12 时,当且仅当 a26,a318 时,符合题意;当 a110 时,不合题意因此 a12,a26,a318.所以公比 q3.故 an23n1(nN*)(2)因为 bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln
5、 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3,所以 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当 n 为偶数时,Sn2 ln 33n ln 31;13n13n2n2当 n 为奇数时,Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.13n13(n12n)n12综上所述,SnError!Error!在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解在利用分组求和法求和时,由于数列的各项是正负交替的,所以一般
6、需要对项数 n 进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式(2013安徽)设数列an满足 a12,a2a48,且对任意 nN*,函数 f(x)(anan1an2)xan1cos xan2sin x 满足 f0.(2)(1)求数列an的通项公式;(2)若 bn2,求数列bn的前 n 项和 Sn.(an12an)解(1)由题设可得 f(x)(anan1an2)an1sin xan2cos x,又 f0,则 anan22an10,即 2an1anan2,(2)因此数列an为等差数列,设等差数列an的公差为 d,由已知条件Error!Error!,解得Error!Error!ana1(n1)dn1.3
7、/12(2)bn22(n1),(n112n1)12nSnb1b2bn(n3)n1n23n1.12n12n考点二错位相减求和法例 2(2013山东)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,且 S44S2,a2n2an1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足1,nN*,求bn的前 n 项和 Tn.b1a1b2a2bnan12n解(1)设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,由Error!Error!得 a11,d2,所以 an2n1(nN*)(2)由已知1,nN*,b1a1b2a2bnan12n当 n2 时,1,b1a1b2a2bn1an112n1得:,又当 n1 时,也符合上式,bn
8、an12nb1a112所以(nN*),所以 bn(nN*)bnan12n2n12n所以 Tnb1b2b3bn .123225232n12nTn.121223232n32n2n12n1两式相减得:Tn .所以 Tn3.1212(22222322n)2n12n13212n12n12n12n32n 错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征,即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题 设数列an满足 a12,an1an322n1.(1)求数列an的通项公式;(2)令 bnnan,求数列bn的前 n 项和 Sn.解(1)由已知,
9、得当 n1 时,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而 a12,符合上式,所以数列an的通项公式为 an22n1.(2)由 bnnann22n1知Sn12223325n22n1.4/12从而 22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n1,即 Sn(3n1)22n1219考点三裂项相消求和法例 3(2013广东)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn,满足 4Sna4n1,nN*,且 a2,a5,a14构成2n1等比数列(1)证明:a2;4a15(2)求数列an的通项公式;(3)证明:对一切正整
10、数 n,有0,a2.2 22 24a15(2)解当 n2 时,4Sn1a 4(n1)1,2 n4an4Sn4Sn1aa 4,即 aa 4an4(an2)2,又 an0,an1an2,2n12 n2n12 n当 n2 时,an是公差为 2 的等差数列又 a2,a5,a14成等比数列a a2a14,即(a26)2a2(a224),解得 a23.2 5由(1)知 a11.又 a2a1312,数列an是首项 a11,公差 d2 的等差数列an2n1.(3)证明1a1a21a2a31anan111 313 515 712n12n10)中,a13,此数列的前 n 项和xfx23为 Sn,对于所有大于 1
11、的正整数 n 都有 Snf(Sn1)(1)求数列an的第 n1 项;(2)若是,的等比中项,且 Tn为bn的前 n 项和,求 Tn.bn1an11an解(1)因为,(x0)成等差数列,xfx23所以 2,整理,得 f(x)()2.因为 Snf(Sn1)(n2),所以 Sn()2,fx2x3x3Sn13 5/12所以,即,所以是以为公差的等差数列SnSn13SnSn13Sn3因为 a13,所以 S1a13,所以(n1)nn.SnS133333所以 Sn3n2(nN*)所以 an1Sn1Sn3(n1)23n26n3.(2)因为是与的等比中项,所以()2,bn1an11anbn1an11an所以 b
12、n,1an11an132n1 32n1118(12n112n1)Tnb1b2bn.118(113)(1315)(12n112n1)118(112n1)n18n9考点四数列的实际应用例 4(2012湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了 50%,预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金 d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元(1)用 d 表示 a1,a2,并写出 an1与 an的关系式;(2)若公司希望经过 m(m3)年
13、使企业的剩余资金为 4 000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)(1)由第 n 年和第(n1)年的资金变化情况得出 an与 an1的递推关系;(2)由 an1与 an之间的关系,可求通项公式,问题便可求解解(1)由题意得 a12 000(150%)d3 000d,a2a1(150%)d a1d4 500 d.3252an1an(150%)d and.32(2)由(1)得 an an1dd2an2 ddn1a1d.3232(32an2d)(32)32(32)132(32)2(32)n2整理得 ann1(3 000d)2dn1(3 0003d)2d.(32)(32)n11(3
14、2)由题意,知 am4 000,即m1(3 0003d)2d4 000,(32)解得 d.(32)m2 1 000(32)m11 0003m2m13m2m故该企业每年上缴资金 d 的值为时,经过 m(m3)年企业的剩余资金为 4 000 万元1 0003m2m13m2m 用数列知识解相关的实际问题,关键是合理建立数学模型数列模型,弄清所构造的数列的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题求解时,要明确目标,即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关 6/12系问题,所求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果 某产品在不做广告宣传且每千克获利
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