浅谈数学归纳法及其应用.pdf
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1、 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文浅谈数学归纳法及其应用学生姓名:XXX(XXX 班)指导老师:XXX摘 要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用.关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文On the Mathematical Induction and its
2、ApplicationStudent:X XXInstructor:X XXAbstract:Mathematical induction is one way of the most basic and important mathematical proof,and has a wide application in several mathematics.Using the mathematical induction can solve the complicated problem.This paper begins from the overall structure of mat
3、hematical induction.Then mathematical induction on ideological origin,basic theory and common forms are analyzed and summarized.It is introduced by the application of mathematical induction in basic mathematics,discrete mathematics,probability theory,graph theory and other subjects.Key words:Mathema
4、tical induction;Origin;Theory;Manifestations;Theoretical foundation and its proof;Application 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文目 录1 数学归纳法的思想渊源12 数学归纳法的原理23 数学归纳法3 3.1 数学归纳法的具体表现形式3 3.2 两种归纳法之间的关系44 数学归纳法的理论基础及其证明4 4.1 第一数学归纳法的理论基础及其证明4 4.2 第二数学归纳法的理论基础及其证明55 数学归纳法在各门学科中的简单应用6 5.1 数学归纳法在初等数学中的应用6 5.2 数学归纳法在高等
5、代数中的应用8 5.3 数学归纳法在离散数学方面的应用 11 5.4 数学归纳法在高等数学中的应用 12 5.5 数学归纳法在图论中的应用 14 5.6 数学归纳法在概率论方面的应用 146 结束语15参考文献16 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文01 数学归纳法思想的渊源追根溯源数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹,例如,印度婆什迦罗(Bashkiria 1114约 1185)的“循环方法”和欧几里得素数无限的证明中都可以找到这种踪迹.欧几里得几何原本第九卷命题 20 为:质数比任何指定数目都要多(注:质数也称为素数),即:素数无穷.欧几里得对这个命题的证法是
6、经典的.他假定素数是有限的,不妨设这有限的 个素数为.然后作自然数nnppp,21并证明还存在新的素数,从而得到矛盾.因为若所作的数是素数,则它比121,nppp全部给出的 个素数都要大,因此是一个新的素数,这与假设有 个素数矛盾;又若它nn不是素数,它必能被一素数整除,但它被已知全部的 个素数.除都有余nnppp,21数 1,故整除的素数必定是这 个素数以外的新的素数,从而又与假设有121,npppn个素数的条件矛盾.n欧几里得素数无穷命题即是说,素数的个数与自然数的个数一样多.上述证明可以这样“翻译”,首先,至少有一个素数存在,因为 2 就是素数,这一点在欧几里得的证明中没有指明;此外,上
7、面欧几里得的证明表明,假如有 个素数,那么就必定有n个素数存在.也就是按现代数学归纳法的要求,证明了从 到的递推关系,即1nn1n完成了数学归纳法证明的关键性一步.但欧几里得没有使用任何明显的术语与现在的推理格式,因此,我们只能认为它蕴涵了现代数学归纳法的痕迹.现代形式的数学归纳法被很多人认为是法国数学家、物理学家和哲学家帕斯卡(BPascal,16231662)发现的.例如,德国数学家和数学史家 MB康托尔(MBCantor,18291920)在他最重要的著数学史演讲卷 2 第 749 页中就这样误定,后来他在有关的杂志中作了纠正,他说,华卡(GVacca?)先生告诉我,意大利的莫洛里科斯(
8、FMaurolycus,14941575,意大利的数学家、物理学家和工程师)在其1575 年出版的著作算术中描述并使用了数学归纳法.美国数学史家 H伊夫斯的数学史概论(第六版中译本)也认为帕斯卡 1665 年的论文三角阵算术中有数学归纳法的最早的、可被接受的陈述.其实,帕斯卡在给卡卡维(Carcavi 卒于 1684年)的一封信中已承认是莫洛里科斯引入了这一方法.近代最新研究表明,不仅帕斯卡不是数学归纳法的最早发明人,莫洛里科斯也不是最早使用这一方法的数学家,可被 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文1接受的数学归纳法的使用年代比莫洛里科斯更早,十四世纪法国的数学家、天文学家和哲学
9、家莱维本热尔松在其 1321 年出版的代表作计算技术中已经“本质上使用了数学归纳法”,更有资料表明,在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛(在多种著作中发现)地使用了数学归纳法的归纳推理.中世纪前期的欧洲被称为文化史的“黑暗时代”,文化教育名存实亡,古老学问濒临绝迹,技艺艺术逐渐遗忘,社会秩序严重被毁,暴力宗教肆意顺行.中世纪后期情况有所改观,十字军东征带回了东方文化,并从阿拉伯重新捡回了古希腊文化,此时欧洲数学自身的发展仍然及其缓慢,更多的是传播印度、伊斯兰等东方的数学知识,就连意大利数学家 L斐波那契(Lenardo F bonacci,约 11701250,也称比萨的莱昂那多),写于 1
10、202 年的名作算盘书也主要介绍、引证了许多印度、伊斯兰等国的数学知识和数学问题,包括阿拉伯数字的写法、用法,四则运算、方程解法等,这本书作为教材在欧洲各国几乎使用了近 200 年,可见数学知识更新之缓慢.德国数学家和数学史家汉克尔(HHankel,18391873)风趣地形容这一现象,“人们惊奇地发现,莱昂那多给予欧洲的那一磅钱,在 300 年间竟丝毫没有生出什么利息”.JH伊夫斯则称,十四世纪欧洲相对地是数学上的不毛之地,这不仅因为十四世纪下半叶黑死病扫荡了欧洲三分之一以上的人口,也因为这是一个政治、经济动荡,战争不断的世纪,这种影响一直延续到文艺复兴.如此状况,莱维本热尔松的贡献也算是给
11、中世纪欧洲数学增添了一份光彩.中世纪的伊斯兰则与欧洲大不相同,其商业繁荣,文化活跃,占希腊、印度的数学知识几乎全部传播到那里,被吸收消化并形成自己独特的风格,他们将希腊数学中几何证明的思想,转移到代数学研究中,希望能够证明代数规则的合理性.伊斯兰的代数中充满了证明的思想,很多计算问题都被他们扩展为可以对一般情形也成立的形式,归纳推理思想(这里的归纳推理指的是数学中的递推,而非普通逻辑中的归纳法的推理)就是在这样一种氛围中被逐步凝炼.2 数学归纳法的原理自然科学中的“经验归纳法”,是从某一现象的一系列特定的观察出发,归纳出支配该现象所有情况的一般规律,而数学归纳法则是迥然不同的另种手段,它用来证
12、实有关无限序列(第一个,第二个,第三个,等等,没有一个情况例外)的数学定理的正确性.晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文2数学归纳法原理:假设我们希望证明一系列无限个数学命题,它们合1A2A3A在一起便构成一般的命题.如果Aa)通过某种数学论证可以证明,对于任一整数,如果命题已知为真,则命题rrA随之亦真;1rAb)第一个命题已知为真,那么序列中所有命题必都为真,从而得证.1AA数学归纳法的原理是奠基在下属事实的基础上:在任一整数 之后接着便有下一r个,从而从整数 1 出发,通过有限多次这种步骤,便能达到任意选定的整数.1rn推广后的数学归纳法原理:假设给定一系列命题,其中 是某正
13、sA1sA2sAs整数,如果a)对于每个,的正确性可以从的正确性导出,sr 1rArAb)已知为真 sA则所有命题,均为真;换句话说,对于所有的,为真.sA1sA2sAsn nA我们再次强调指出,在自然科学中,数学归纳法原理与经验归纳法是完全不同的,一般的定律如果被证实了任意有限次,那么不论次数多么多,甚至至今尚未发现例外,都不能说该定律在严格的数学意义下被证明了,这种定律只能算作十分合理的假设,它容易为未来的经验结果所修正.在数学中,一条定律或一个定理所谓被证明了,指它是从若干作为真理接受的假设出发而得到的逻辑推论.人们考察一个定理,如果它在许多实例中是正确的,那么就可猜想定理在普遍意义下将
14、是真的;然后人们尝试用数学归纳法以证明之.如果尝试成功,定理被证明为真;如果尝试失败,则定理的真伪未定,有待以后用其他方法予以证明或者推翻.因此在应用数学归纳法原理是要牢记 a)和 b)必须真正的满足.3 数学归纳法3.1 数学归纳法的具体表现形式归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法,而数学归纳法属于完全归纳法,它又分为有限数学归纳法和超限数学归纳法,前者有两种不同的形式,它们分别叙述为:第一数学归纳法:如果性质在时成立,而且在假设了时性质)(nP1nkn 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文3成立后,可以推出在时性质也成立,那么我们可以断定性质)(kP1 kn)1(kP对一切自然数
15、都成立.)(nPn第二数学归纳法:如果性质在时成立,而且在假设了对所有小于或等于)(nP1n的自然数性质都成立后,可以推出在时性质也成立,那么性kn)(nP1 kn)1(kP质对一切自然数都成立.)(nPn与第一数学归纳法相比,第二数学归纳法把它的归纳假设加强了.3.2 两种归纳法之间的关系定理 3.2.1 第一数学归纳法和第二数学归纳法等价.证明 假设性质在时成立,于是化为证明:“由成立,则可以推出)(nP1n)(kP成立”的充分必要条件为“由(其中)成立,可以推出成)1(kP)(nPkn)1(kP立”.必要性:由已知“由成立,则可以推出成立”,假设时成)(kP)1(kPkn)(nP立,特别
16、成立,所以成立.得证.)(kP)1(kP充分性:(反证法证明)由已知时成立,可以推出成立,对“由kn)(nP)1(kP成立,则可以推出成立”取反,于是,由成立推不出成立)(kP)1(kP)(0kP)1(0kP的所有自然数构成一非空子集,记为该子集的最小自然数.所以,对任一自然数,只0mn要,那么由成立可以推出成立.特别,由成立可知成立,由mn)(nP)1(kP)1(P)2(P成立可知.已知成立,因此、都成立,然而由)1(mP)(mP)1(P)1(P)2(P)(mP此可知成立,所以从成立推出了成立;另一方面,由的选取可)1(mP)(mP)1(mPm知,由成立推不出成立,这就导出矛盾,得证.)(m
17、P)1(mP4 数学归纳法的理论基础及其证明4.1 第一数学归纳法的理论基础及证明第一数学归纳法的理论基础为自然数的序数理论,是由意大利数学家 Peano 于1889 年在他的著作 算数原理新方法 中提出.理论用公理化的方法从顺序的角 晋中学院 XX 学院 20XX 届本科生毕业论文4度揭示了自然数的意义,即我们所说的自然数 1、2、3理解为第 1 个、第 2 个、第 3 个下面用定义的方式给出这个公理的内容.定义4.1.1 一个非空集合的元素叫做自然数,如果的元素之间有一个基本NN关系“后继”(用符号来表示),并满足下列公理:(1),对,N1N1 (2)对任何有唯一的后继元素 N(3)以外的
18、任何元素只能是一个元素的后继元素,即 不排在任何自然数后面11(4)归纳公理:若且 NM M1 则(自然数集)MMNM N定义中的一组公理叫 Peano 公理.它完整地刻画了自然数列.而其中的公理(4)即归纳公理可推出第一数学归纳法.第一数学归纳法:设是一个与自然数有关的命题,如果:成立,假设)(nP)1(P成立,则成立,那么对任意自然数都成立.)(kP)1(kP)(nP证明 设是由满足的自然数组成的集合则M)(nPNM 成立,则)1(PM1又假设成立,则成立)(kP)1(kP即,即.由归纳公理,为自然数集,MkMk1MkMk NM M即对任意自然数都成立.)(nP从上述证明过程可以看出第一数
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