抛物线及其性质知识点大全和经典例题及解析.pdf

1抛物线及其性质【考纲说明考纲说明】1、掌握抛物线的简单几何性质，能运用性质解决与抛物线有关问题。2、通过类比，找出抛物线与椭圆，双曲线的性质之间的区别与联系。【知识梳理知识梳理】1 1抛物线定义抛物线定义：平面内到一定点 F 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹称为抛物线l2 2抛物线四种标准方程的几何性质：抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向右左上下标 准方 程22(0)ypx p22(0)ypx p 22(0)xpy p22(0)xpy p 焦 点位 置X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准 线方 程2px 2px 2py 2py 范 围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR对 称轴X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标（0,0）离心率1e 通 径2p焦半径11(,)A x y12pAFx12pAFx 12pAFy12pAFy 焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦长以为直径的圆必与准线 相切ABl 2若的倾斜角为，AB22sinpAB若的倾斜角为，则AB22cospAB 2124px x 212y yp 的补充AB11(,)A x y22(,)B xy112AFBFABAFBFAFBFAFBFp3 3抛物线抛物线的几何性质：的几何性质：)0(22ppxy(1)范围 因为 p0，由方程可知 x0，所以抛物线在轴的右侧，y 当的值增大时，|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸xy(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距 p1e(,0)2pF2px(4)焦点弦：抛物线的焦点弦，,则)0(22ppxyAB),(11yxA),(22yxBpxxAB21|弦长|AB|=x1+x2+p,当 x1=x2时，通径最短为 2p。4 4焦点弦的相关性质：焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点AB),(11yxA),(22yxB(,0)2pF(1)若 AB 是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。22(0)ypx p11(,)A x y22(,)B xy21 24px x 212y yp(2)若 AB 是抛物线的焦点弦，且直线 AB 的倾斜角为，则（0）。22(0)ypx p22sinPAB(3)已知直线 AB 是过抛物线焦点 F,22(0)ypx p112AFBFABAFBFAFBFAFBFp(4)焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为12直径端点的圆与焦点弦相切。5 5弦长公式：弦长公式：,是抛物线上两点，则),(11yxA),(22yxB221212()()ABxxyy|11|1212212yykxxk【经典例题经典例题】（1）抛物线）抛物线二次曲线的和谐线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率 e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的 1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.3【例 1】P 为抛物线上任一点，F 为焦点，则以 PF 为直径的圆与 y 轴（）pxy22相交 相切 相离 位置由 P 确定.A.B.C.D【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是,02pF.作 PH 于 H，交 y 轴于 Q，那么，:2pl x lPFPH且.作 MNy 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的2pQHOF中位线，.故以111222MNOFPQPHPFPF 为直径的圆与 y 轴相切，选 B.【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的.（2）焦点弦）焦点弦常考常新的亮点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.【例 2】过抛物线的焦点 F 作直线交抛物线于两点，求证：022ppxy 1122,A x yB xy（1）（2）12ABxxppBFAF211【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作l，1AAl11111,2pA BBlBAAx于，则AF.两式相加即得：122pBFBBx12ABxxp（2）当 ABx 轴时，有成立；AFBFp，112AFBFp当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦 AB 的方程为：.代入抛物线方程：2pyk x.化简得：2222pkxpx 222222014pk xp kxk方程（1）之二根为 x1，x2，.1224kxxXYPHMNO(,0)2pF:2pl x=-22ypx=QXYFA(x,y)1 1B(x,y)22A1B1l 4122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx.121222121222424xxpxxppppppxxpxx故不论弦 AB 与 x 轴是否垂直，恒有成立.pBFAF211（3）切线）切线抛物线与函数有缘抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.【例 3】证明：过抛物线上一点 M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）22ypx【证明】对方程两边取导数：22ypx22.py ypyy，切线的斜率.由点斜式方程：00 x xpkyy 20000001pyyxxy ypxpxyy y0y=p（x+x0）20021ypx，代入（）即得：（4）定点与定值）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 xy8202 x（）.4,0.2,0.0,2.0,2ABCD显然.本题是例 1 的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选 B.2.抛物线的通径长为 2p；22ypx3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：22ypx1122,A x yB xy212y yp 以下再举一例【例 4】设抛物线的焦点弦 AB 在其准线上的射影是 A1B1，证明：以 A1B1为直径的圆必过一定点22ypx【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 A1B1=AB=2p，而 A1B1与 AB 的距离为 p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对 AB 的一般情形给于证明.【证明】如图设焦点两端分别为，1122,A x yB xy 5那么：22121112.y ypCACByyp 设抛物线的准线交 x 轴于 C，那么.CFp.2111111.90AFBCFCACBAFB中故这就说明：以 A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.通法通法 特法特法 妙法妙法（1）解析法）解析法为对称问题解困排难为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.【例 5】（10.四川文科卷.10 题）已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点A、B，则|AB|等于（）A.3 B.4 C.3 D.422【分析】直线 AB 必与直线 x+y=0 垂直，且线段AB 的中点必在直线 x+y=0 上，因得解法如下.【解析】点 A、B 关于直线 x+y=0 对称，设直线 AB 的方程为：.由yxm 223013yxmxxmyx 设方程（1）之两根为 x1，x2，则.121xx 设 AB 的中点为 M（x0，y0），则.代入 x+y=0：y0=.故有.120122xxx 121 1,2 2M从而.直线 AB 的方程为：.方程（1）成为：.解得：1myx1yx220 xx，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选 C.2,1x 1,2y 3 2AB（2）几何法）几何法为解析法添彩扬威为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.【例 6】（11.全国全国 1 卷卷.11 题）题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在24yxFlF3轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积（）xAAKlKAKFA B C D43 34 38【解析】如图直线 AF 的斜率为时AFX=60.3AFK 为正三角形.设准线 交 x 轴于 M，则l2,FMpXYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=XYOF(1,0)AK60Y2=2pxL:x=-1M 6xyM(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)OH2:al xc=-r1r2r2 且KFM=60，.选 C.234,44 34AKFKFS【评注】（1）平面几何知识：边长为 a 的正三角形的面积用公式计算.234Sa （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点 A 的坐标，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.（3）定义法）定义法追本求真的简单一着追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.【例 7】（07.湖北卷.7 题）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为22122:1(00)xyCabab，l1F2F2Cl与的一个交点为，则等于（）21FC；2CM12112FFMFMFMFA B C D111212【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距 c，离心率为 e，作，令MHlH 于.点 M 在抛物线上，1122,MFr MFr，1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故这就是说：的实质是离心率 e.12|MFMF其次，与离心率 e 有什么关系？注意到：121|FFMF.1212111122111FFe rrceaeeMFrrre 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.选 A.12112|11|FFMFeeMFMF（4）三角法）三角法本身也是一种解析本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函 7数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例 8】（09.重庆文科.21 题）如图，倾斜角为 a 的直线经过抛物线的焦点 F，且与抛物线交于 A、B 两点。xy82（）求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程；（）若 a 为锐角，作线段 AB 的垂直平分线 m 交x 轴于点 P，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。【解析】（）焦点 F（2，0），准线.;2l x （）直线 AB：tan21.yx代入（1），整理得：28yx 2tan816tan02yy设方程（2）之二根为 y1，y2，则.12128tan16yyyy 设 AB 中点为1200020044cot,2tancot24cot2yyyM xyxy则AB 的垂直平分线方程是：.24cotcot4cot2yx 令 y=0，则224cot64cot6xP，有，0故2224cot624 cot14cosFPOPOF于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.2224csc1 cos24csc2sin8（5）消去法）消去法合理减负的常用方法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.【例 9】是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点 A 和 B；（2）线llxy82段 AB 被直线：x+5y-5=0 垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.1ll【解析】假定在抛物线上存在这样的两点xy821122.A xyB xy，则有：211121212222888yxyyyyxxyx1212128AByykxxyyAM 8线段 AB 被直线：x+5y-5=0 垂直平分，且1l1155lABkk，即1285yy.1285yy设线段 AB 的中点为.代入 x+5y-5=0 得 x=1.于是：12000425yyM xyy，则AB 中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：415M，4512552105yxxy，即：（6）探索法）探索法奔向数学方法的高深层次奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例 10】（10.安徽卷.14 题）如图，抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A，将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为 P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 Q1，Q2，Qn-1，从而得到 n-1 个直角三角形Q1OP1,Q2P1P2,Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时，这些三角形的面积之和的极限为 .【解析】11OAn，图中每个直角三角形的底边长均为设 OA 上第 k 个分点为2220.11.kkkPyxynn ，代入：第 k 个三角形的面积为：21 11.2kkann .22212212114111212nnnnSnnnn故这些三角形的面积之和的极限21411111limlim 1412123nnnnSnnn