(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步易错题集锦.pdf

(名师选题名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步易错题集锦（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步易错题集锦 单选题 1、某正方体被截去部分后得到的空间几何体的三视图如图所示，则该空间几何体的体积为（）A132B223C152D233 答案：C 分析：根据几何体的三视图，可知该几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，根据三棱锥的体积公式即可求解 解：根据几何体的三视图，该空间几何体是棱长为 2 的正方体截去两个小三棱锥，由图示可知，该空间几何体体积为=23(1312 12 1+1312 12 2)=152，故选：C.2、直角三角形的三边满足 ，分别以，三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为、，则（）A B C D 答案：A 解析：求出=13，=13，=13，推导出 ，从而得到 直角三角形的三边满足 ，分别以、三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为、，=13 2 =132=13，=13 2 =132=13，该直角三角形斜边上的高满足12=12，可得=，=13 ()2 =13 22=13，=0，=0，故选：A.小提示：关键点点睛：本题考查旋转体体积的大小比较，解题的关键就是确定旋转体的形状，并据此求出对应的旋转体的体积，结合作差法比较即可.3、如图，在三棱柱 111中，M，N分别为棱1，1的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（）A/B四边形为梯形 C四边形为平行四边形 D11/答案：B 解析：由已知条件及线面平行的性质可得 且 ，可得四边形为梯形，可得答案.解：在11中，=1，=1，.又 平面，平面，平面.又 平面，平面 平面=，.显然在中，四边形为梯形.故选：B.小提示：本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.4、在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面BCD，BCCD，且=4，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）A32B34C33D24 答案：C 分析：画出图形，取的中点，连接，可得/，则所求为，易证 是直角三角形，则可得，进而求解.如图，取的中点，连接，由题，=4，M为AD的中点，所以/，=2，则为所求，由 平面BCD，则 ，又 ，=，所以 平面，则 平面，所以 是直角三角形，即=90，又=12=122+2=23，所以cos=223=33，故选：C 5、若直线和没有公共点，则与的位置关系是（）A相交 B平行 C异面 D平行或异面 答案：D 分析：根据直线与直线的位置关系即可判断 因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，故选：D.6、如图，在梯形中，且=2，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且=+，则+的值为（）A1B57C1417D56 答案：C 分析：由向量的线性运算法则化简得到=(2)+2 和=(1 )+43，结合,三点共线和,三点共线，得出2+3 2=0和3 4=0，联立方程组，即可求解.根据向量的线性运算法则，可得=+=+(+)=+=()+(+)=()+(2+12)=()+2+12 =(2)+2，因为,三点共线，可得 2+2=1，即2+3 2=0；又由=+=+=+43=(1 )+43，因为,三点共线，可得1 +43=1，即3 4=0，联立方程组2+3 2=03 4=0，解得=817,=617，所以+=1417.故选：C.7、锐角 中，角、所对的边分别为、，若=7、=8，=(12,cos)，=(sin，32)，且 ，则 的面积为（）A3B33C53D103 答案：D 分析：先由向量垂直得到=3，利用余弦定理求出=3或=5，利用锐角三角形排除=3，从而=5，利用面积公式求出答案.由题意得：12sin 32cos=0，故tan=3，因为 (0,2)，所以=3，由余弦定理得：cos=64+24928=12，解得：=3或=5，当=3时，最大值为B，其中cos=49+964273 0，故B为锐角，符合题意，此时=12sin=12 8 5 32=103.故选：D 8、如图在正三棱锥 中，,分别是棱,的中点，为棱上的一点，且=12，若=22，则此正三棱锥 的外接球的体积为（）A12B433C83D43 答案：D 分析：根据题意证明,两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.因为在 中，,分别是棱,的中点，所以/，因为 ，所以 ，因为三棱锥 为正三棱锥，所以 （对棱垂直），又因为,面，=，所以 面，因为,面，所以 ,，在 中，2+2=2，因为三棱锥 为正三棱锥，所以 是等腰三角形，是等边三角形，所以=，=,所以2+2=2，即 ，所以,两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为22,则该正方体棱长为2，外接球半径=(22)2+(222)2=3，正方体外接球体积=433=43 (3)3=43,此正三棱锥 的外接球体积和正方体外接球体积相同，为43.故选：D 9、如图，在直三棱柱 111中，棱与直线1异面有（）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 答案：C 分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱 111的棱所在的直线中，与直线1异面的直线有11,1，共 3 条.故选:C.10、正方体中，点，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是（）AB CD 答案：C 分析：对于 A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面，对于 C，利用异面直线的定义推理判断作答 对于 A，在正方体 1111中，连接，11，则/11，如图，因为点，是其所在棱的中点，则有/，/11，因此/，则直线与共面，A 错误；对于 B，在正方体 1111中，连接，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/且=，则四边形为平行四边形，即有/，又/，因此/，直线与共面，B 错误；对于 C，在正方体 1111中，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/1，而1平面11，平面11，则/平面11，平面11，则直线与无公共点，又直线与直线1相交，于是得直线与不平行，则直线与是异面直线，C 正确；对于，在正方体 1111中，连接1，1，如图，因为11/且11=，则四边形11为平行四边形，有1/1，因为点，是其所在棱的中点，有/1，/1，则/，直线与共面，D 错误.故选：C 填空题 11、已知，是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是_（写序号）答案：分析：利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可 中，/，四点共面；中，和是异面直线，故四点不共面；中，/，四点共面；中，/，四点共面；所以答案是：12、我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111，其中 ，若1=1，当“阳马”即四棱锥 11，体积最大时，“堑堵”即三棱柱 111的表面积为_.答案：3+222 分析：依据均值定理去求四棱锥 11取体积最大值时的长度，再去求三棱柱 111的表面积即可.四棱锥 11的体积是三棱柱体积的23，111=12 1=12 14(2+2)=142=14，当且仅当=22时，取等号.所以三棱柱 111的表面积为=2 122222+(22+22+1)1=3+222.所以答案是：3+222 13、已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为 1，1，2，则此三棱锥的高为_ 答案：105 分析：将图形还原为长方体，进而通过等积法得到答案.如图 1，将三棱锥P-ABC还原为长方体PADB-CQRS，由题意可知，=13 =1312 2=26，设P到平面ABC的距离为d，如图 2，M为BA中点，则CMBA，由勾股定理可知，=3 (22)2=52，所以=12 2 52=52，所以=13 =56，由=56=26 =105.所以答案是：105.14、两个平面最多可以将空间分为_部分.答案：4 分析：根据两个平面的位置关系分别计算出它们将空间分成的部分数即可得解.两个平面的位置关系有平行和相交两种，当两个平面平行时，它们可将空间分成 3 部分，当两个平面相交时，它们可将空间分成 4 部分，所以两个平面最多可以将空间分为 4 部分.所以答案是：4 15、已知四棱锥 的底面是矩形，其中=1,=2，侧棱 底面，且直线与所成角的余弦值为255，则四棱锥 的外接球表面积为_.答案：6 分析：利用异面直线所成的角可求的长度，将四棱锥补成长方体后可求外接球的直径，从而可求外接球的表面积.如图，因为/，故或其补角为异面直线与所成的角，因为 平面，平面，故 ，故为锐角，故cos=255，故=2255=5，故=1.将该四棱锥补成如图所示的长方体：则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为1+1+4=6，故表面积为42=(2)2=6.所以答案是：6.解答题 16、如图所示，M是菱形ABCD所在平面外一点，=求证：AC 垂直于平面BDM 答案：证明见解析.分析：设 AC 交BD于点O，由题可得 ,，进而即得.设AC交BD于点O，连接MO,因为 ABCD 是菱形，所以 ,因为=，且=，所以 ，因为MO、BD 是平面 BDM 上的两条相交直线，所以 AC 垂直于平面 BDM 17、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点求证：（1）BF/HD1；（2）EG/平面BB1D1D 答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析 解析：（1）取BB1的中点M，连接MH，MC1，得HD1MC1，再证得MC1BF，可得结论；（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，先证明1与平行且相等，可得GED1O，从而可得线面平行 证明：（1）如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，所以HD1MC1 又因为在平面BCC1B1中，BM/FC1，BM=FC1 所以四边形BMC1F为平行四边形，所以MC1BF，所以BFHD1（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OEDC且OE12DC，又D1GDC且D1G12DC，所以OE/D1G，OE=D1G 所以四边形OEGD1是平行四边形，所以GED1O 又D1O 平面BB1D1D，GE平面BB1D1D，所以EG 平面BB1D1D 小提示：易错点睛：本题考查证明线线平行与线面平行，解题关键是掌握线面平行的判定定理，解题时需要列出定理的所有条件，缺一不可，否则易出现错误 18、如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且=13，=13 (1)求证：，四点共面；(2)求证：，必相交且交点在直线上 答案：(1)证明见解析(2)证明见解析 分析：（1）根据线段成比例得出直线与直线平行，利用平行直线确定一个平面可证结论；（2）根据平面的公理进行证明.（1）证明：连接，因为，分别是，的中点，=13，=13；所以/，/，所以/，所以，四点共面 （2）证明：易知=13，又=12，所以 ，结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线，不平行 设它们交点为，平面，同理 ，所以 平面，又平面 平面=，因此 ，即，必相交且交点在直线上 19、已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.答案：（1）3；（2）98.解析：（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1=，=，再由 11 求出,的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.解：（1）沿母线 AB 剪开，侧展图如图所示：设=，在半圆A中，=23，弧长=23，这是圆锥的底面周长，所以2=23，所以=3，故圆锥的底面积为圆锥=2=3；（2）设圆柱的高1=，=，在 中，=2 2=3，11 ，所以1=11，即33=3，=3 3，圆柱侧面积=2=2(3 3)=23(2 3)，=23(32)2+332，所以，当=32，=32时，圆柱的侧面积最大，此时圆柱=2=98.小提示：关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.