高中数学三角函数基础知识点及答案.pdf

0高中数学三角函数基础知识点及答案高中数学三角函数基础知识点及答案1 1、角的概念的推广、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2 2、象限角的概念、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如x果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3.3.终边相同的角的表示终边相同的角的表示：(1)(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，2()kkZ注意注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如如与角的1825终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。弧度：一周的弧度数为 2r/r=2，360角=2 弧度，因此，1 弧度约为 57.3，即 571744.806，1为/180 弧度，近似值为 0.01745 弧度，周角为 2 弧度，平角（即 180角）为 弧度，直角为/2 弧度。（答：；）25536(2)(2)终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).()kkZ(3)(3)终边与终边关于轴对称.x2()kk Z(4)(4)终边与终边关于轴对称.y2()kkZ(5)(5)终边与终边关于原点对称.2()kkZ(6)(6)终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示x,kkZy为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.,2kkZ,2kkZ如如的终边与的终边关于直线对称，则_。6xy（答：）Zkk,324 4、与与的终边关系的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如如若是第2二象限角，则是第_象限角2（答：一、三）5.5.弧长公式弧长公式：，扇形面积公式：，1 弧度(1rad)|lR211|22SlRR.如如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形57.3的面积。（答：2）2cm6 6、任意角的三角函数的定义、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的(,)x y任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么220rxy，sin,cosyxrrtan,0yxxcotxy(0)y secrx0 x 1。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。csc0ryy如如（1 1）已知角的终边经过点 P(5，12)，则的值为。cossin（答：）；713（2 2）设是第三、四象限角，则的取值范围是_mm432sinm（答：（1，）；)23（3 3）若，试判断的符号0|cos|cossin|sin|)tan(cos)cot(sin（答：负）7 7.三角函数线的特征三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线xxOM“躺在轴上(起点是原点)”、正切线 AT“站在点x处(起点是)”.三角函数线的重要应用是比较三角三角函数线的重要应用是比较三角(1,0)AA函数值的大小和解三角不等式函数值的大小和解三角不等式。如如（1 1）若，则的大小关系为08sin,cos,tan_(答：)；tansincos（2 2）若为锐角，则的大小关系为_,sin,tan（答：）；sintan（3 3）函数的定义域是_)3sin2lg(cos21xxy（答：）2(2,2()33kkkZ8.8.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值：3045600901802701575sin2122230101624624cos2322211010624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.9.同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sincos1,1tansec,1 cotcsc（2）倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,y T A x B S O M P 2（3）商数关系：sincostan,cotcossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如如（1 1）函数的值的符号为_sintancoscoty（答：大于 0）；（2 2）若，则使成立的的取值范围是_220 xxx2cos2sin12x（答：）；0,4,43（3 3）已知，则_53sinmm)2(524cosmmtan（答：）；125（4 4）已知，则11tantan_；_cossincos3sin2cossinsin2（答：；）；35513（5 5）已知，则等于a200sin160tanA、B、C、D、21aa21aaaa21aa21（答：B）；（6 6）已知，则的值为_xxf3cos)(cos)30(sinf（答：1）。10.10.三角函数诱导公式（三角函数诱导公式（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指2kk取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公k式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+,；(2)转化为锐角三角函数。如如02（1 1）的值为_97costan()sin2146（答：）；2323（2 2）已知，则_，若为第二象限54)540sin()270cos(角，则_。)180tan()360cos()180sin(23（答：；）541003随堂练习随堂练习例 1 已知角的终边上一点 P（，m），且 sin=m，求 cos 与 tan 的3值 分析 已知角的终边上点的坐标，求角的三角函数值，应联想到运用三角函数的定义解题，由 P 的坐标可知，需求出 m 的值，从而应寻求 m 的方程 解 由题意知 r=，则 sin=3m2mr又sin=m，=m m=0，m=5当 m=0 时，cos=1，tan=0；当 m=时，cos=，tan=；5当 m=时，cos=，tan=5点评 已知一个角的终边上一点的坐标，求其三角函数值，往往运用定义法(三角函数的定义)解决 例 2 已知集合 E=cossin，02，F=tansin，求集合 EF 分析 对于三角不等式，可运用三角函数线解之 解 E=，F=，或2，454232EF=2例 1 化简 sin(2-)tan(+)cot(-)cos(-)tan(3-)分析 式中含有较多角和较多三角函数名称，若能减少它们的个数，则式子可望简化 解 原式=（-sin）tan-cot(+)(-cos)tan(-)(-sin)tan(-cot)(-cos)(-tan)=1 点评 将不同角化同角，不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法 例 2 若 sincos=，(，)，求 cossin 的值 1842 分析 已知式为 sin、cos 的二次式，欲求式为 sin、cos 的一次式，为了运用条件，须将 cossin 进行平方 解 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 =14344(，)，cossin 42cossin=变式 1 条件同例，求 cos+sin 的值 变式 2 已知 cossin=，求 sincos，sin+cos 的值 点评 sincos，cos+sin，cossin 三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二 例 3 已知 tan=3求 cos2+sincos 的值 分析 因为 cos2+sincos 是关于 sin、cos 的二次齐次式，所以可转化成tan 的式子 解 原式=cos2+sincos=cos2+sincoscos2+sin21+tan1+tan225 点评 1关于 cos、sin 的齐次式可转化成 tan 的式子 2注意 1 的作用:1=sin 2+cos2 等 例 1 已知 sinsin=，coscos=，求 cos()的值 1312 分析 由于 cos()=coscos+sinsin 的右边是关于sin、cos、sin、cos 的二次式，而已知条件是关于 sin、sin、cos、cos 的一次式，所以将已知式两边平方 解 sinsin=，coscos=，13122 2，得 22cos()=1336cos()=7259 点评 审题中要善于寻找已知和欲求的差异，设法消除差异 例 2 求 的值 2cos10-sin20cos20 分析 式中含有两个角，故需先化简注意到 10=3020，由于 30的三角函数值已知，则可将两个角化成一个角 解 10=3020，原式=2cos(30-20)-sin20cos20=2(cos30cos20+sin30sin20)-sin20cos203点评 化异角为同角，是三角变换中常用的方法 例 1 求下列各式的值 （1）tan10tan50+tan10tan50；3(2)(1)解 原式=tan(10+50)（1tan10tan50）+tan10tan50=33（2）分析 式中含有多个函数名称，故需减少函数名称的个数，进行切割化弦 5解 原式=24cos212sin312cos3=48sin21)12cos2312sin21(3224cos12cos12sin212cos312sin3=.3448sin)6012sin(34 点评（1）要注意公式的变形运用和逆向运用，注意公式 tanA+tanB=tan(A+B)（1tanAtanB），asinx+bsinx=sin(x+)的运用；（2）在三角变换中，切割化弦22ba 是常用的变换方法