学位论文-—基于神经网络的时间序列lyapunov指数普的计算.docx
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1、目 录摘 要IAbstractII第一章 绪论11.1 引言11.2 Lyapunov计算方法的定义2第二章 基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算32.1 相空间重构32.2 Oseledec矩阵的确定32.3 QR分解52.4 小波神经网络62.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法92.6 Lyapunov指数实验计算代码102.6.1确定嵌入维数102.6.2确定延迟时间102.6.3计算Lyapunov指数普112.7 Lyapunov指数仿真实验结果132.7.1 实验一132.7.2 实验二14小 结17总 结18参考文献19致 谢20摘 要 Lyapunov
2、指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。利用RBF 神经网络的非线性函数逼近能力, 由实验观察数据列计算系统的Lyapunov指数谱实例计算表明, 此种方法精度较高且计算量较小, 有重要的实际意义.关键词: Lyapunov 指数谱; 相空间重构; 人工神经网络AbstractLyapuno
3、v exponent is an important measure of system dynamics quantitative indicators, It is characterized by the average rate in the phase space between adjacent tracks convergence or divergence. For the existence of chaotic dynamics, can be very intuitive judgment from the largest Lyapunov exponent is gre
4、ater than zero: a positive Lyapunov exponent, means that the system in phase space, regardless of the initial two-rail line spacing, however small, the difference will cannot predict As time evolved exponential increase in the rate of so reached, which is chaos. Lyapunov exponents are one of a numbe
5、r of parameters that characterize the nature of a chaotic dynamical system. We calculate the Lyapunov exponents from an observed time series based on the ability that a RBF neural network can approximate nonlinear functions. The results show that this method needs less computing time and has higher
6、precision, so it has practical significance.Keywords: Lyapunov exponents; Reconstruction of phase space; Artificial neural network21第一章 绪论1.1 引言混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性,两个相差无几的初值所产生的轨迹,随着时间的推移按指数方式分离,Lyapunov指数1就是定量的描述这一现象的量。Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中 相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌, 可以
7、从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来:一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就 是混沌现象。Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。如果耗散系统的吸引子是 一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。不管系统
8、是不是耗散的,只要1 0就会出现混沌。在非线性动力系统分析中,系统的全部Lyapunov指数称为Lyapunov指数谱,它表示相空间中每一维相邻轨道如何随时间分离,具有拓扑映射不变性,且与系统的初始状态无关,是对系统进行刻划和分类的重要指标需确定Lyapunov指数的系统分为两种情况,一种情况是已知系统满足的微分方程或映射关系,另一种情况是只知道实验观察到的数据L在这两种情况下,人们确定其Lyapunov指数的方法不同,对第一种情况,可有规范的方法精确求出系统的Lyapunov指数。假设系统的映射关系为:W (k + 1) = (W (k ) ) (1-1)轨道的扰动满足:W (k + 1)
9、= F (W (k ) ) W (k ) (1-2)其中,是D维空间的映射ZD(W ) 是D D 阶雅可比矩阵,选择一初始状态, 可得到l个矩阵的乘积:D l = D ( l) D ( l - 1) D (1) (1-3)其中,D (k ) = D (W (k ) ) Z 根据Oseledec乘积遍历性定理13 , 系统的Lyapunov指数谱为矩阵 (1-4)本征值的对数。其中T表示矩阵的转置。可利用数值方法求出(1-4)式所示矩阵的本征值,进而求出由映射。从实验观察到的数据确定系统的Lyapunov指数, 可采用Wolf方法5和BBA 4 方法等。其中Wolf方法仅适用于求系统的最大Lya
10、punov指数,BBA法可求出系统的全部Lyapunov指数,但此种方法运算量很大,而且需要的数据点很多,使其应用受到很大限制。1.2 Lyapunov计算方法的定义设在点平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为,显然当时,动力系统关于点具有敏感的依赖性。为初始点经过次迭代后的相点,于是原相距的两点经过次迭代后相距为 (1-8)取极限,得: (1-9) 根据这一原理可以采取跟踪初值相近的两个邻近点演化轨道距离的变化来估计Lyapunov指数。根据初始邻近点的选取,以及跟踪方法的不同又有不同的计算方法。第二章 基于神经网络的Lyapunov指数谱的计算2.1 相空间重构在实验中,对一个多维系统的测
11、量,往往得到的只是一维时间序列。假设对一个确定的动力系统的观测函数为,经过采样后,得到一个单变量的时间序列,其中表示时刻的观测值,为采样时间间隔,为采样起始时间。利用时滞方法可以通过这样一个时间序列在维欧式空间构造一条轨道: (2-1)其中称为嵌入维数,为时滞,是的整数倍,的选取原则是使与之间的相关性最小。根据Taken相空间重构定理12,一般的,如果(其中为原来动力系统的相空间维数),那么得到的就是原来动力学系统相应的一条轨道到中的嵌入。由此可以得到上的一个动力学系统: (2-2)通过研究此系统的性质就可以了解原来动力学系统的性质。需要指出的是,嵌入维只是相空间重构的充分条件,而非必要条件,
12、确定嵌入维有很多种方法,比较常用的是Grassberger-Procaccia相关积分法13。2.2 Oseledec矩阵的确定(2-2)式的映射关系可以写成以下形式: (2-3)令,显然有关系: (2-4)其中是未知映射,若(2-2)式出现微小扰动,则可以得到: (2-5)其中为映射的雅科比矩阵,其形式为: (2-6)上述矩阵的最后一行满足: (2-7)确定雅科比矩阵的过程即为确定(2-7)式的过程。(2-5)式表明,对于重构的相空间向量,它在时刻的微小变化,在雅科比矩阵的作用下,将反映到时刻重构的相空间向量取值的微小变化。依次下去,这种作用将累加到时刻相空间向量取值的变化,其关系如下式表示
13、: (2-8)上式可改写为: (2-9)同样根据Oseledec乘积遍历性定理9,可以构造出式一样的矩阵,当时,则可得到: (2-10)求出上述矩阵的本征值就可求出实验观察数据所反映系统的全部Lyapunov指数。2.3 QR分解在实际应用中,由于(2-10)式定义的矩阵存在着指数和分数幂,此矩阵往往是病态的,难以直接精确计算它的全部本征值。本文采用长乘积矩阵的分解技术对(2-10)式进行求解。首先定义: (2-11)对此长乘积矩阵,递归计算 (2-12)式中为正交矩阵,为上三角矩阵,是阶单位矩阵。按(2-12)式所示过程分解次,得到矩阵的分解如下: (2-13)定义 (2-14)由(2-13
14、)式得到: (2-15)按(2-12)(2-15)式表示的过程重复进行下去,得到一系列矩阵,它们都具有相同的本征值,当时,矩阵的本征值可以通过下式求出: (2-16)进而求得系统的Lyapunov指数谱为: (2-17) 由以上过程可以看出,欲求出实验数据列重构系统的Lypunov指数谱,就要求出(2-10)式中的每个雅科比矩阵。而系统雅科比矩阵具有(2-6)式所示形式,所以问题的关键在于确定每个雅科比矩阵的最后一行矩阵元。下面讨论小波神经网络模型求解该问题。2.4 小波神经网络小波神经网络起源于小波分解,小波神经网络是多层前馈式网络,由一个输入层,一个或多个隐含层,一个输出层组成。每层节点的
15、输入只接收来自上层节点的输出信号。小波神经网络的输入层节点数和输出层节点数由具体问题决定,隐含层数及每层节点数的选取目前还没有确切的理论方法,通常是凭对学习样本和测试样本的误差交叉评价的试错法选取。从目前已有的国内外资料看,还做不到实际应用小波网络。有人分析了其原因,认为有三:一是小波网络出现的时间较晚,二是小波网络需要较高的数学知识,三是没有一个实用的小波网络模型的软件。下面简要介绍小波神经网络的结构和学习算法。式(3-4)的连续形式可写为: (2-18)上式表明框架在中是稠密的。式中,为小波基的个数。于是有如下的所有有限和的全体 (2-19)在中是稠密的。比较式(2-18)与式(2-19)
16、,显然式(2-19)中的参数个数比式(2-18)多,式(2-18)与式(2-19)分别称为小波分解与小波网络。在小波分解中,如果基函数固定,则只有系数是可调参数,而在小波网络中,和均为可调参数,这使得网络学习非线性函数较为灵活,可以满足较高的逼近精度要求,这也恰恰体现了小波逼近的精髓。式(2-19)与下式等价 (2-20)对于具有个输入的多输入网络,式(4-20)变为: (2-21)其对应的网络结构如图21所示(考虑到本论文的目的,只画出了一个输出值的情况)。图21:小波神经网络结构示意图对于输入输出为的个样本对,我们的目的是确定网络参数,使得与两序列拟合最优,其中参数可以通过下述误差能量函数
17、进行优化 (2-22)在本文中,采用人们使用较多的Morlet母小波,即: (2-23)网络学习的具体算法如下:() 网络参数的初始化:将网络的伸缩因子,平移因子以及网络的连接权重和赋予零附近的随机的初始值;() 输入学习样本及相应的期望输出;() 利用当前网络参数计算出网络的输出: (2-24)() 修改网络参数值: 计算 (2-25) (2-26) (2-27) (2-28)其中: (2-29)令 (2-30)(2-25)(2-27)中由下面式子确定: (2-31) (2-32) (2-33)网络参数值修改如下: (2-34) (2-35) (2-36) (2-37)为学习速率,由人为设定
18、。() 计算误差和: (2-38)() 返回第(2)步,向网络加下一个模式对,直到个模式对均循环一遍,再进行第(7)步;若(预先设定的某值)或达到最大训练步数,则停止训练;否则,令,返回第(2)步。2.5 基于RBF神经网络的Lyapunov指数谱计算方法本文采用具有个输入节点,一个输出节点和一个隐含层的三层小波网络。对一个一维的时间序列通过重构产生训练样本集合:,初始化网络的伸缩因子,平移因子以及网络的连接权重和赋予零附近的随机的初始值。通过对样本的学习,使神经网络的实际输出在一定的精度范围内与理想输出相同,这样可以利用此小波网络的输入输出关系 (2-39)代表实际的映射关系式。若小波网络已
19、经训练完成,就可以计算输出函数对自变量的一阶偏导数: (2-40)其中 (2-41)这样,通过(2-40)式可计算雅科比矩阵(2-46)式中最后一行矩阵元的数值。按同样的方法计算所有雅科比矩阵最后一行矩阵元,也就确定了所有的雅科比矩阵,进而可以按式(2-8)(2-18)计算实验观察数据所反映系统的Lyapunov指数谱。2.6 Lyapunov指数实验计算代码2.6.1确定嵌入维数function It=Correlation(X,Taomax)I=zeros(Taomax,1);L=length(X);for t=1:Taomax I(t)=(X(1+t:L)-mean(X)*(X(1:L-
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