数列练习题(含答案)基础知识点.pdf

1数列基础知识点和方法归纳数列基础知识点和方法归纳 1.等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，成等差数列2Axy前n项和11122nnaann nSnad性质：na是等差数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2）数列仍为等差数列，232nnnnnSSSSS，仍为等差数列，12212,nnnaaa公差为；dn2（3）若三个成等差数列，可设为adaad，（4）若nnab，是等差数列，且前n项和分别为nnST，则2121mmmmaSbT（5）na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为 0 的二次函数）nS的最值可求二次函数2nSanbn的最值；或者求出 na中的正、负分界项，即：当100ad，解不等式组100nnaa可得nS达到最大值时的n值.当100ad，由100nnaa可得nS达到最小值时的n值.(6)项数为偶数的等差数列 na，有n2),)()()(11122212为中间两项nnnnnnnaaaanaanaanS，.ndSS奇偶1nnaaSS偶奇（7）项数为奇数的等差数列 na，有12 n，)()12(12为中间项nnnaanS ，.naSS偶奇1nnSS偶奇2.等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy.前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意！）性质：na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa（2）232nnnnnSSSSS，仍为等比数列,公比为.nq注意注意：由nS求na时应注意什么？1n 时，11aS；2n 时，1nnnaSS.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列 na，12211125222nnaaan，求na2解解 1n 时，112 1 52a ，114a 2n 时，1212111121 5222nnaaan 得：122nna，12nna，114(1)2(2)nnnan练习数列 na满足111543nnnSSaa，求na注意到11nnnaSS，代入得14nnSS；又14S，nS是等比数列，4nnS 2n 时，113 4nnnnaSS（2）叠乘法 如：数列 na中，1131nnanaan，求na解解 321211 212 3nnaaanaaan ，11naan又13a，3nan.（3）等差型递推公式由110()nnaaf naa，求na，用迭加法2n 时，21321(2)(3)()nnaafaafaaf n 两边相加得1(2)(3)()naafff n 0(2)(3)()naafff n 练习数列 na中，111132nnnaaan，求na（1312nna）（4）等比型递推公式1nnacad（cd、为常数，010ccd，）可转化为等比数列，设111nnnnaxc axacacx令(1)cxd，1dxc，1ndac是首项为11dacc，为公比的等比数列1111nnddaaccc，1111nnddaaccc（5）倒数法如：11212nnnaaaa，求na由已知得：1211122nnnnaaaa，11112nnaa1na为等差数列，111a，公差为12，11111122nnna，21nan(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比1(2)1(1)nnSSnS nna或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换1nnapaq1()nnapaf n元法)4.求数列前 n 项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.如：na是公差为d的等差数列，求111nkkka a3解：解：由11111110kkkkkkdaaaaddaa11111223111111111111nnkkkkkknna adaadaaaaaa 11111ndaa练习求和：111112123123n 121nnaSn ，（2）错位相减法若 na为等差数列，nb为等比数列，求数列nna b（差比数列）前n项和，可由nnSqS，求nS，其中q为 nb的公比.如：2311234nnSxxxnx 23412341nnnx Sxxxxnxnx 2111nnnx Sxxxnx 1x 时，2111nnnxnxSxx，1x 时，11232nn nSn （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121nnnnnnSaaaaSaaaa 相加 12112nnnnSaaaaaa练习已知22()1xf xx，则111(1)(2)(3)(4)234fffffff 由2222222111()111111xxxf xfxxxxx原式11111(1)(2)(3)(4)1 1 1323422fffffff 二、等差等比数列复习题二、等差等比数列复习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （）（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列中，,且,成等比数列，则的通项公式为 na41a1a5a13a na（）（A）（B）（C）或 （D）或13 nan3 nan13 nan4na3 nan4na3、已知成等比数列，且分别为与、与 的等差中项，则的值为 cba,yx,abbcycxa（）（A）（B）（C）（D）不确定21224、互不相等的三个正数成等差数列，是 a,b 的等比中项，是 b,c 的等比中项，cba,xy那么，三个数（）2x2b2y（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数4列5、已知数列的前项和为,则此数列的通项公式为 nannSnnSn24212（）（A）（B）（C）（D）22 nan28 nan12nnannan26、已知，则 )(4)(2zyyxxz（）（A）成等差数列 （B）成等比数列 （C）成等差数列 （D）zyx,zyx,zyx1,1,1成等比数列zyx1,1,17、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有 nan1nnaS na（）一定是等比数列，但不可能是等差数列 一定是等差数列，但不可能是等比数列 可能是等比数列，也可能是等差数列 可能既不是等差数列，又不是等比数列 可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列 1,前 n 项和为 ,1617,815,413,21（）（A）（B）（C）（D）1212nn212112nn1212nnn212112nnn9、若两个等差数列、的前项和分别为、，且满足，则 na nbnnAnB5524nnBAnn的值为 （）135135bbaa（A）（B）（C）（D）977820198710、已知数列的前项和为,则数列的前 10 项和为 nan252nnSn na（）（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、已知数列的通项公式为,从中依次取出第 3，9，27，3n,项，na5 nan na按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前 n 项和为 （）（A）（B）（C）（D）2)133(nn53 n23103nn231031nn二、填空题二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=na1q875,aaaq14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=na0d1751,aaa18621751aaaaaa15、已知数列满足,则=nannaS411na16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题解答题17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，nad nbaq，求公比及。46,10,1321bbbqnb18、已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于,na nbd)1,0(dd，,求。11ba 333ba 555ba nnba,19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为 216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。520、已知为等比数列，求的通项式。na324202,3aaa na21、数列的前项和记为 nan11,1,211nnnS aaSn（）求的通项公式；na（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又 nbnnT315T 成等比数列，求112233,ab ab abnT22、已知数列 na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列 na的通项公式；（II）若数列 nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；第九单元 数列综合题一、选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD二、二、填空题填空题13.14.15.16.62512926n)31(343三、解答题三、解答题17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d 1b2b3b由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第 bna 项，及 abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-218.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d ,得=2，d2=1 或 d2=,由题意，d=,a1=-。an=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-243151dd5155555()n-155519.设这四个数为aaqaqaqa2,6则 由，得 a3=216,a=6 36)3(216aaqaqaaqaqa代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，1820.解:设等比数列an的公比为 q,则 q0,a2=,a4=a3q=2qa3q2q所以 +2q=,解得 q1=,q2=3,2q20313当 q1=,a1=18.所以 an=18()n1=233n.1313183n1当 q=3 时,a1=,所以 an=3n1=23n3.292921.解：(I)由可得，两式相减得121nnaS1212nnaSn112,32nnnnnaaa aan又 21213aS 213aa 故是首项为，公比为得等比数列 na13 13nna（）设的公差为 nbd由得，可得，可得25b 315T 12315bbb故可设135,5bd bd又1231,3,9aaa由题意可得 251 5953dd解得122,10dd等差数列的各项为正，nb0d 2d 213222nn nTnnn22（I）：*121(),nnaanN112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即2*21().nanN（II）证法一：1211144.4(1).nnbbbbna12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。